椭圆的参数方程(公开课)

1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程 复习回顾复习回顾1.圆的参数方程是什么圆的参数方程是什么?圆圆x2+y2=r2(r0)的参数方程的参数方程:)(sinycos为为参参数数 rrx圆圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程的参数方程:)(sinycos为参数rbrax问题问题:你能仿此推导出椭圆你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？的参数方程吗？12222byax其中参数的几何意义为其中参数的几何意义为:AOP=2.圆参数的几何意义是什么圆参数的几何意义是什么?xyOPA为为圆心角圆心角问题问题:你能仿此推导出椭圆你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？的参数方程吗？12222byax12222byax

2、122byaxsincosbyax令)(sincos为参数byax问题问题:你能仿此推导出椭圆你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？的参数方程吗？12222aybx12222aybx122aybxsincosaybx令)(sincos为参数aybx 1.在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是分别是 椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的长半轴长和短半轴长. ab 2. 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数 的取值的取值 范围是范围是0,2)OAMxyNB注意注意：3. 练习练习1：把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy(1)8 cos10 sinx

3、y(2)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2264100(2)1yx)(sin3cos2) 1 (为参数yx例例1.在椭圆在椭圆 上求一点上求一点P ,使使P 到到直线直线 的距离最小的距离最小.8822 yx04: yxlxylO2|4)cos(3|解法一解法一：)sin,cos22(P设设2|4sincos22|dP则点则点 到直线距离到直线距离 .31sin,322cos，其中其中此时此时,2 2coscos()cos,31sinsin()sin,3 ).31,38( P点的坐标点的坐标1)cos(22当当 即即 时，时，d 取最小值取最小值 . 解法二解法二:把直线把

4、直线 平移至平移至 , 与椭圆相切与椭圆相切,此时的切点此时的切点 就是最短距离时的点就是最短距离时的点. l l lP lxylOP082922mmyy0)8(94422mm3m88022yxmyx由由3mP04: yxl)31,38(P由图形可知：由图形可知： 时时 到直线到直线的距离最小的距离最小,此时此时 .0: myxl即设即设变式变式1:22194xy 己知己知M(x,y)是椭圆是椭圆 任一点，求任一点，求 的取值范围的取值范围_.2uxy 变式变式2、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy变式变式3:已

5、知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx变式变式2、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX变式变式3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交

6、点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:,ABCABP解 椭圆参数方程 设点P(3cos,2sin) S面积一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求点到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值 面积最大4这时点 的坐标为(, 2)（1）椭圆的参数方程）椭圆的参数方程,特别注意参数的几何意义；特别注意参数的几何意义；（2）椭圆的参数方程在求）椭圆的参数方程在求最值，范围最值，范围问题上有其优问题上有其优越性；越性；知识点小结知识

7、点小结当焦点在当焦点在X轴时轴时当焦点在当焦点在Y轴时轴时)(sinycos为参数bax)(sinycos为参数abx例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. 问题：问题：1.如何求点的轨迹。如何求点的轨迹。2.点点M的坐标与的坐标与A,B两点的坐标关系两点的坐标关系 3.怎样引进参数使怎样引进参数使A、

8、B的坐标的坐标建立联系建立联系.OAMxyNB例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. 分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过 引进参数建立联系引进参数建立联系.设设XOA=O

9、AMxyNB例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. OAMxyNB解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程. . sinbycosax)( 为参数为参数 消去参数得消去参数得: :,bya12222x即为即为点点M M的轨迹的轨迹普通普通方程方程. .练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最