数列通项公式的十种求法VIP

1、数列通项公式的十种求法一、公式法例1已知数列an满足an12an32n,ai2,求数列an的通项公式。解：am2an32n两边除以2n1,得某an 所以数列an的通项公式为an n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 an 2n 1转化为an1 an 2n 1 ,进而求an 1)(an 1an2)J a?)a1)a1 ,即得数列an的通项公式。,则之4与3,故数列是2n12n22n12n22n以ai21为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得包1(n1)9,21222n231c所以数列an的通项公式为an(n-)2。22评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an32n转

2、化为巴：an,说明数列2n12n2a-是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an1(n1)：,进而求出数列an的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足an1an2n1,a11,求数列an的通项公式。解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)Ml(a3a2)(a2a1)a12(n1)12(n2)1(221)(211)12(n1)(n2)21(n1)1c(n1)n2(n1)12(n1)(n1)12出(ann例3已知数列an满足an1an23n1,a13,求数列%的通项公式。解：由anian23n1得anian23n1则an(anan1)(an1an2)|(

3、a3a2)(a2)”(23n11)(23n21)”(2321)(2311)32(3n13n2I“3231)(n1)33(13n1)2(.。)(n1)3133n3n133nn1所以an3nn1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为an1an23n1,进而求出an(anan1)(an1an2)HI(a3a?)a1)a1,即得数列an的通项公式。例4已知数列an满足an13an23n1,a13,求数列an的通项公式。解：an13an23n1两边除以3n1,得a4an-,3333则片曳23n 13n 3工3n 1 an3n1(3(33na_J.) zan_2_ an_J.)(曳

4、更)3n 2) (392 3n 3)(32 31 )ai32(n 1)3n3n) (33n)Hl (| 33n3nHI 32)因此邑2n_73n1)11,3n3133223n则an2n3n13n1.3223an 2 3n 1转化为奈|n |333评注：本题解题的关键是把递推关系式an1进而求出亨部帝声)an2(*an33r)1“仔即得数列an3n的通项公式，最后再求数列%的通项公式。三、累乘法例5已知数列an满足an 12(n1)5nan, a13,求数列an的通项公式。解:因为 an 1 2( n 1)5nan?ai3,所以an0 ,则2(nan1)5n ,故ananan 12(nan 1a

5、3 a2an 2a2a1)5112(nai1)S22n 1n(n 1) HI 3 2 5(n。(n 2)I) 2(2II1) 522(1 1) 513 2n 1n (n 1)5 2 n!所以数列an的通项公式为an 3 2n 1n(n 1)5kn!.评注：本题解题的关键是把递推关系 an 12(n 1)5n an转化为 亚 an2(n 1)5n,进而求出 an 皿 也也 an 1 an 2 a2 a1a1,即得数列an的通项公式。例6(2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足a11,ana12a23a3(n1)an(n2),求an的通项公式。解：因为ana12a23a3(n1)

6、an1(n2)所以an1a12a23a3(n1)an1nan用式一式得an1annan.评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 5n转化为an 1 5n 1 2(an 5n),故电ann1(n2)所以ananan1an1an2a2a2n(n1)小43a2(2.由ana12a23a3(n1)ani(n2),取n2得a2a12a2,贝Ua2a1,又知a11,则a21,代入得an1345|nn!o2n!所以，an的通项公式为an一1)an(n 2)转化为亘 n 1(n 2),annn2评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n进而求出n111-a2，从而可得当n2时，an的表达式，

7、最后再求出数列an的an1an2ma2通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an12an35n,a16,求数列为的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n，得35x2x,则x1,代入式得an15n12(an5n)1na5n1n.由a156510及式得an50,则上2,则数列an5是以an5_1._nn1n1_na151为首项，以2为公比的等比数列，则an52，故烝25。从而可知数列an5n是等比数列，进而求出数列an5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式

8、。例8已知数列an满足an13an52n4,ai1,求数列an的通项公式。解：设an1x2n1y3(anx2ny)将an13an52n4代入式，得3an52n42n1y3(anx2ny)整理得(52x)2ny3x2n3y。2x 3x y 3y5，、口，代入式得23(an5 2n 2)an12n1由ai21112130及式,得an2nan152an523,11213为首项，以3为公比的等比数歹U,因此an52n2133n1,贝Uan133n152n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2),从而可知数列an52n2是等比数列，进而求出数列a

9、n52n2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例9已知数列an满足an12an3n故数列an 5 2n 2是以a1 5 214n5,a11,求数列an的通项公式。22、 一解：设 an 1 x(n 1) y(n 1) z 2(an xn yn z) 2将ani2an3n4n5代入式，得2222an3n4n5x(n1)y(n1)z2(anxnynz),则2 22an(3x)n(2xy4)n(xyz5)2an2xn2yn2z等式两边消去2an,得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z,3 x2xx3解方程组2xy42y，则y10,代入式，得xyz52zz18_2_2an13(

10、n1)10(n1)182(an3n10n18),一2_-2_一一由a13110118131320及式，得an3n10n1802则413(n?10(n1)182,故数列an3n2an 3n 10n 18是等比数列，进而求出数列 3n 10n 18的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、对数变换法n 5例10已知数列an满足an 1 2 3 an , a1 7 ,求数列an的通项公式。10n18为以an3n10n182a1311011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此_2_n1_n4_2_an3n10n18322，则an23n10n18。2评注：本题解题的关键是把递推关系式an1

11、2an3n4n5转化为22an13(n1)10(n1)182(an3n10n18),从而可知数列解：因为 an 123na5,a17 ,所以an0,an 10。在 an 123na5 式两边取常用对数得lg an 151g annlg3 lg 2设 Igani x(n 1) y5(1g anxn y)将式代入式，得51g ann1g3 1g2 x(n 1)y 5(1g anxn y),两边消去51g an并整理,得(1g3x)n x y lg 2 5xn 5y ,则1g341g3 1g2164Igan a瞪平5,1g3x5x4y,故xy1g25y1g3,/、1g31g2L“1g31g31g2、

12、代入M式，得1gan11)蚩*5(1gan*n蚩v)lg311g3监幽11g3跖041644164/日.lg31g31g2八得IganM-n、一、一0,4164lgan1所以数列Igan蚂3nlg3蚂马是以Ig7lg3监史为首项，以5为公比的等41644164Ig3Ig3lg2Ig3Ig3lg2n1比数列，则Igan卫一n上一、一(Ig7、一早一、一)5,因此n41644164Ig3Ig3Ig2、：n1Ig3lg31g2lgan(lg7一一一)5n4164464111n11(Ig7lg34lg36lg24)5n1lg3Ig3行lg27111n11lg(7343行24)5n1lg(373G27)

13、111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)5n1n5n115n11lg(75n13431624)5n4n15n11lg(75n13162丁)5n 4n 15n则an75n132评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123na5转化为lgan1/(n1)/星5(lgan密蛆口)，从而可知数列41644164lgan/nlg3蚂3是等比数列，进而求出数列lgan旭3n星蚂3的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。六、迭代法3(n 1) 2n 2 3n2an 2例11已知数列an满足an1a3(n1)2n,&5,求数列an的通项公式。解：因为an1

14、a3(n1)2,所以ana3T32(n an 2a3(333( n an 31) n 2(n 2) (n 1)2) 22)(n35(n 1)n2(n 2) (n 1)1) n 2(n 3) (n 2) (n1)IIIa3n123mm(n2)(n1)n212Hil(n3)(n2)(n1)n(n1)3n1n!22ai又a15 ,所以数列an的通项公式为ann(n 1)3n1 n!25。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an 1a：(n1)2n两边取常用对数得lg an 13(n 1) 2n lg an,即区包lg an3(n1)2n ,再由累乘法可推知, lgan

15、lg anlg an 1lg an 1lg a3 lg a23n 1 n! 22 lg a lg5lg an 2 1 lg a2 lg an(n 1)-2-,从而an3n1 n!252 o七、数学归纳法例12已知数列8(n 1)an满足 an 1 an 2-2，(2n 1)2(2 n 3)2a18 ,求数列an的通项公式。9解：由an 18(n 1)-8 ,口22 及 a1 ,得 (2n 1) (2n 3)9a2a3a48(1 1)88 224(2 12 _ 21) (2 1 3)9 9 25258(2 1)248348(2 22 _ 21) (2 2 3)25 2549 498(3 1)48

16、8480(2 32 _ 一 - 21) (2 3 3)49 498181ana1a2a3,往下用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)2 1由此可猜测an_2(2n 1)(1)当n 1时,a1(2 1 1)2 1(2 1 1)28 ,所以等式成立。9(2)假设当n k时等式成立，即akk鲁卡则当n k 1时ak 1ak8(k1)-Z2_2(2k1)(2k3)(2k1)218(k1)222(2k1)2(2k1)2(2k3)222(2k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)22(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)22

17、2(2k1)2(2k3)22(2k3)21(2k3)22(k1)1212(k1)12由此可知，当nk1时等式也成立。根据(1),(2)可知，等式对任何nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13已知数列an满足an 11-(1 4an . 1 1624&), & 1 ,求数列an的通项公式。解：令bn,124%,则an故an 124(b2 1 D，代入 an一(1 4an16J1 24%)得11) 1161八4 (b241)bn即4b：1(bn3)2因为bn124an0,故bn1也24*013则2

18、bn1bn3,即01-bn22一1可化为bn132(bn3),所以bn3是以b13J124a137124132为首项，以1为公比的等比数，2列，因此bn32(2)n1g)n2,则bn(1)n23,即，124an(-2)n23,得an2 113(4)n (2)n评注：本题解题的关键是通过将124an的换元为bn,使得所给递推关系式转化,1,3.bn1-bn3形式，从而可知数列bn3为等比数列，进而求出数列bn3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21a24例14已知数列an满足an1,a14,求数列an的通项公式。4an1行人21x24/口2斛：令x,得4x4x120x240,

19、则x12,X23是函数f(x)21x243的4x1两个不动点。因为an12an1321an2424an121an244an121an242(4an1)214243(4an1)13an2613an2所以数列9an279an3anan是以t_2a13.一132为首项，以13为公比的等比数列，故9anann1,则ann113。评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)21x2424的不动点,即方程x4x121x24的两4x1个根x12，x23,进而可推出an12an139ananan列，再求出数列a2a_2的通项公式，最后求出数列an3an的通项公式。例15已知数列an满足an17an22an3ai求数列an的通项公式。解：令x7x