2020届高考数学(文)总复习讲义：空间几何体的结构特征、三视图和直观图

1、文科考生、基础知识批注一一理解深一点1.简单几何体多面体是一个I1多面体的结构特征-“封闭”的几何:一体.一-名称棱柱棱锥棱台图形息底面互相平行且相等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相父于 一点，但不-相等疋延长线父于一点侧面形状平行四边形三角形梯形1特殊的四棱柱底面为I平行I侧棱垂直直平行I平行四边形六面体 于底面1六面体上述四棱柱有以下集合关系：正方体 正四棱柱 长方体 直平行六面体 平行六面体四棱柱.空间几何体的结构特征、三视图和直观图基础相对薄弱.一轮复工I更需山视课前基础知识的强化和落实自修区四棱柱底面为-长方体底面边长相等正四棱柱侧棱与底面 边长相等*正方体多面体的关系:棱柱

2、一个底面退化-为一个点棱锥平行于底面的平面截得棱台(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形严Xa母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；球心和截面( (不过球心) )圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=R2-d2.2.直观图(1)画法：常用斜二测画法.规则：1原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45或135,z轴与x轴和y轴所在平面垂直.2原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.

3、平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半_3.三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和 正上方观察几何体画出的轮廓线.三视图的长度特征“长对正、高平齐、宽相等”，即正 俯同长、正侧同高、俯侧同宽.二、常用结论汇总一一规律多一点1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形.(3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形.(4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形.2.斜二测画法中的 “三变”与“三不

4、变”子坐标轴的夹角改变，“三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，.图形改变.干平行性不改变，“三不变”与x轴和z轴平行的线段的长度不改变，.相对位置不改变.三、基础小题强化一一功底牢一点一判一判对的打错的打“x”(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( () )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( () )(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( () )(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( () )(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.( () )答案：(1)x(2)xVX(5)X(二)选一选1

5、用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是D解析：选B俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.2.若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这 个三棱柱的高和底面边长分别为( () )A.2,2 3B.2 2, 2C.4,2二口IMT 止视图 测视图D.2,4解析：选D由三视图可知，正三棱柱的高为2,底面正三角形的高为2.3，故底面边长为4,故选D.3.如图所示，在三棱台ABC-ABC中，沿ABC答案：5利用斜二测画法得到的1三角形的直观图- -定是 三角形；2等腰梯形的直观图可以是平行四边形;3菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是

6、_ .解析：由斜二测画法的规则可知正确；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四 边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误，故结论正确的个数为1.答案：1考点一空间几何体的结构特征典例下列结论正确的是（）A-ABC，则剩余的部分是（）A.三棱锥C.三棱柱解析：选B如图所示，在三棱台A 剩余部分是四棱锥A-BCCB.B.四棱锥D.组合体BC-ABC中，沿ABC截去三棱锥A-ABC,（三）填一填4.如图是水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2,2）,则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离解析:根据斜二测画作BE丄x轴于点E，在RtBCE中，BC =1,CE

7、=45 贝U BE=考点不宜整合太大，挖掘过探稳取120分就是大胜fi（.2r2A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B.六条棱长均相等的四面体是正四面体C有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错.答案B解题技法空间几何体概念辨析题的常用方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型 中的线面关系或增加线、面等基本兀素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特

8、征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要 举出一个反例即可题组训练1下列结论中错误的是（）A由五个面围成的多面体只能是三棱柱B.正棱台的对角面一定是等腰梯形C圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线D各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体解析：选A由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以A选项错误.B、C、D说法均正确.2.下列命题正确的是（）A两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转 体是圆台D用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析：选C如图所示，可排除A、B选项只要有

9、截面与圆柱的母线 平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.考点二 空间几何体的直观图典例已知等腰梯形ABCD,CD=1,AD=CB=2,AB=3,以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面 ，积为_ .解析法一：如图，取AB的中点0为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，0，E在斜二测画法中的对应点为O,E，过E作EF丄x轴，垂足为所以OE =2,EF =-42.所以直观图ABCD的面积为S =2X（1+3） V=242法二：1由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S=-X(1+3)X1=2.答案解题技法原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的

10、平面图形的直观图与原图形面积的关系:S直观图=；2s原图形；(2)S原图形=2 2S直观图题组训练1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正 方形，则原来的图形是( () )解析：选A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.故选A.由S直观图S原图形的关系,S直观图=.2,所以原图因为0E=2.已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图厶ABC的面积为解析：如图，图、图分别表示厶ABC的实际图形和直观图.从图可知，AB =AB=2,所以SAABTABCD =2 X-46答案：严4考点三空间几何体的三视图考法

11、（一）由几何体识别三视图典例（2019长沙模拟）如图是一个正方体，A,B,C为三个顶点，D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是（注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图解析正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.答案A解题技法识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；（3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界 线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.考法（二）由三视图判断几何体特征 典例（1）（）

12、（2018全国卷I）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三 视图如图所示.圆OC=1OC=于，C Dr C sin 45卡丄)( )国ABCD柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( () )A.2 17B.2 5C.3D.2(2)(2019武汉调研) )已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的 面积为.解析(1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M,N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点) )如图所示，连接MN，则图1中MN即为M到N的最短路径.O

13、N=1X16=4,OM=2,4 MN=OM2+ON2=22+42=2 5.(2)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1-BB1C1和一个三棱锥C-BCJD后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D-ABC1D1,其1中侧面ADD1的面积最小，其值为2.答案(1)B(2)2解题技法1.由三视图确定几何体的3步骤定底面T理塹视邑判断出底面业_ia定棱及侧面-i根据正.侧视图确定儿何体的侧械与侧曲的特征10定形状T注意三视图中血线和实线变化 确定几何体形状丨2.三视图还原长方体口诀三视图，要还原，关键在于找顶点;长方体，三向切，三图相交顶点得;查视图，再检验

14、，实线虚线细甄辨.考法（三）由三视图中的部分视图确定剩余视图典例（2018唐山五校联考）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）（）视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.答案A解题技法由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再 找其剩下部分视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验.题组训练1如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中=1,AB=BC=AAi=2,若此几何体的俯视图如图解析由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的,结合正2所示，则

15、可以作为其正视图的是（一 2 一莊视图ABCABC)解析： 选C根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对 角线长，宽应为正方体的棱长，故排除除A.故选C.2.（2017全国卷I）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视 图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.16解析：选B由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角 形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易

16、知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为2+4X2%2=12,故选B.课时跟踪检测1.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.梯形的直观图可能不是梯形C正方形的直观图为平行四边形D正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：选C根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形.2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱解析：选D球、正方体的三视图的形状都相同，大小都相等，首先排除选项A和C.对于三棱锥，考虑特殊情况，如三棱锥C-OAB，当三条棱OA,OB,OC两两垂

17、直，且OA=OB=OC时，正视图方向为AO方向，其三视图的形状都相同，大小都相等，故排除选 项B.选项D，不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不可能完全相同.3.（2019福州模拟）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的B、D;而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排面积为（)A.2 3B.2 2喏41C.4 3D.8 2解析：选D由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2,在斜二测画法画出的直观图中，/BOA =45且OB =2 2,那么 在原图形中，/BOA=90且OB=4 2.因此，原平面图

18、形的面积为2X4 2=8 2，故选D.4.给出下列几个命题：1在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为 正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相 似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3解析：选B错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱 台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一 定相等.5若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）选D.6.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体

19、的块数是（）讥视图解析：选C画出直观图可知，共需要6块.正視图侧视图解析：选D个四棱柱.7.（2018南宁二中、柳州高中联考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为8,则该几何体的俯视图可以是（）（）3解析：选C若俯视图为选项C中的图形，则该几何体为正方体截去1一部分后的四棱锥P-ABCD，如图所示，该四棱锥的体积V=-X（2X2）X23=8,符合题意.若俯视图为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应的几何体不存在，故选C.8.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD-AiBiCiDi（底面ABCD是正方形，侧棱AA1丄底面ABCD）中，点P是正方形A1B1C1D1内 一点，则三棱锥P-BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为（ ）3A.2B.1解析：选A由题图易知，三棱锥P-BCD的正视图面积为1X1X2=1.当顶点P的投影1 1在厶BCD内部或其边上时，俯视图的面积最小，为SABCD=X1X1=2.所以三棱锥P-BCD13的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1+2=；.故选A.9设有以下四个命题：1底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；2底面是矩形的平行六面体是长方体；RCI)3直四棱柱是直平行六面体；4棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是_ .解析：命题符合平行六