圆锥曲线常考题型情况总结(教师版)

1、直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1 1、 中点坐标公式：xXl X2,y /y2，其中x, y是点A(Xi, yi), B(X22)的中点坐标。2 22 2、弦长公式：若点A(x-|, y-i)，B(x2, y2)在直线y kx b(k 0)上，则y!kx-!b, y2kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB J(x X2)2(yy2)2J(x-X2)2(心kx?)2J(1k2)(x-X2)2(1 k2)(x-x2)24x1x2或者AB辰1X2)2(yi(xi-X2)2(y-y?)2J(1占)(力y?)2J(i右)【(y2)24%丫2】。3 3、两条直线l1: y k1x

2、b1, l2: yk2xb2垂直：则k1k21两条直线垂直，则直线所在的向量w?V20” 、2bc4 4、 韦达定理：若一元二次方程ax bx c 0(a 0)有两个不同的根x1, x2，贝 y y 为x2, x,x2aa常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九：四点共线问题 问题十：范围问题(本质是函数问题)2 k2112k22k问题一、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+my=kx+m ，存在实数，

3、存在图形：三角形（等比、等腰、直角）I : y kx 1 过定点(0,1)I : y 2 k（x 1）过定点（1，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题 2 2、过点 T T（-1,0-1,0）作直线I与曲线 N N :y2x交于B B 两点，在 x x 轴上是否存在一点 E E（x,0,0），使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0;若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于设直线l:y k(x 1)，k 0，A(x,y1)，B(x2,y2)。由y2k(x 1消 y y 整理，得k2x2(2 k21)x k20y x由直线和抛物线交于两点，得，四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

4、题型一: 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1 1、 已知直线l :y2xkx 1与椭圆C:421始终有交点，求m的取值范围m解：根据直线I: y kx1的方程可知，直线恒过定点（x20 0，1 1)，椭圆C :41过动点（0, m）,且 m 4，如2 2x y果直线I : y kx 1和椭圆C :1始终有交点,4 m,m 1，且 m 4，即1规律提示：通过直线的代数形式, 可以看出直线的特点:I: y k(x 1) 过定点(1，0）2 k2112k22k2242(2 k 1) 4k 4k即0 k214线段的垂直平分线方程为:由韦达定理，得：xx2吟 Z1。则线段 ABAB 的中点为（

5、k2,21 4k21 4k2111 2k21111y丟k(x页厂)令y=0,得xo2 2，则E(272,0)Q ABE为正三角形，E(丄2k2!,0)到直线 ABAB 的距离2AB。QABaX2)2(y1y2)21 k22k3-1 4k2gE2k21 k解得k2k二39满足式此时X。13题型三：动弦过定点的问题2x例题 3 3、已知椭圆 C C:va上的顶点分别为A Ai(-2,0),A(-2,0),A2(2,0)(2,0)。(I(I)求椭圆的方程;(II(II)若直线l : x t(t 2)与 x x 轴交于点一点，直线PAI,PA2分别与椭圆交于M M、椭圆的焦点？并证明你的结论解：(I

6、I)由已知椭圆 C C 的离心率ea,a2,则得c3,b1。从而椭圆的方程为4(II(II)设，N(x2,y2)，直线A,M的斜率为k1, ,则直线AM的方程为y k1(x 2)，由k/x4y22)消 y y 整42 2 2理得(1 4k1)x 16k2X 16k14 0Q2和&是方程的两个根,2为16kj 41 4k14k12，1 4k122 8k2即点M的坐标为(弋,同理，设直线 A A2N N 的斜率为 k k2,则得点 N N8k22的坐标为(24k2Q ypk1(t 2), ypk2(t 2)时_上k1k2-，Q直线 MNMN 的方程为:tyx xiy2 %X2为2,21 4

7、k21 4k2.3(1 3k2).3(1.3(1 3k3k2) )k令 y=0y=0，得xX2yix2，将点 M M、N N 的坐标代入，化简后得：x x - -y1y2t又Qt 2,04-2Q椭圆的焦点为t(3,0)故当tMNMN 过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4 4、已知点 A A、B B、C C 是椭圆 E E：(a b 0)上的三点，其中点 A A(2 .3,0)是椭圆的右顶点，直线 BCBCuuur ujur过椭圆的中心 O O,且ACgBC 0,uuuuuuBC2AC2，如图。(I)(I)求点 C C 的坐标及椭圆 E E 的方程；(II)(II)若椭圆E

8、E 上存在两点P P、Q Q，使得直线 PCPC 与直线 QCQC 关于直线x ,3对称，求直线 PQPQ的斜率。解：(I)(I)uur QBCLuujr.2 AC,且 BCBC 过椭圆的中心 O O将点 C C( ,3, ,3)代入方程，得b24,(II)(II)Q直线 PCPC 与直线QCQC 关于直线x设直线 PCPC 的斜率为y3 k(x 3),(1 3k2)x26.3k(1uurOCuuurLULTuuurAC Q AC gBC为(3, 3)oACO又Q A (2 . 3,0)2占八、 、C C 的坐标QA A(2 3,0)是椭圆的右顶点,a 2,3，则椭圆方程为:2x122椭圆 E

9、 E 的方程为 L L123对称,k，则直线 QCQC 的斜率为k)xxPg39k2进3即xP1 3k2Q y ykxP3(1 k)9k218k 3 9k2XPxQ-2丫3(1 3k2)则直线 PQPQ 的斜率为定值1o3从而直线kx . 3(1 k)，由kx .3(123y 129k218k 3 0Q x29k 18k 3r冋理可得:、3(1 3k )kxQ3(1 k)=k(xP18k 336k36kPCPC 的方程为:k)消 y y，整理得:03是方程的一个根,XQXQ)yP29k 18k 33(1 3k2)2 3k= =12kV3(1V3(1 3k3k2) )讨Q1PQXPXQ3.3(1

10、 3k2).3(1.3(1 3k3k2) )k(n)设A(Xi, yi),B(X2, y2)。(i i )当AB 丄 x轴时,AB。(2 2)当AB与x轴不垂直时,题型五：共线向量问题判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQPQ 的方程为：y kx 3,k0，由y23消 y y 整理后，得4x29y2361的取值范围是一,5。5题型六：面积问题(I)求椭圆 C C 的方程;B B 两点，坐标原点 到直线l的距离为于，求面积的最大值。解:(I)设椭圆的半焦距为c，依题意；寸，b 1，所求椭圆方程为号y2仁a - 3,2 2例题 5 5、设过点 D(0,3)D(0,3)的直线交曲线 M M :94

11、uuu uuu1于 P P、Q Q 两点，且DP = l DQ, ,求实数 I I 的取值范围。uuu uuu解：设 P(xP(xi,y,yi),Q(X),Q(X2,y,y2),),Q DP = I DQ沪1= =(x(xi,y,yi-3)=-3)= I I (X(X2,y,y2-3)-3)即JI I x x23 3 + + I I (y(y2- -3)3)2 2(4 9k )x54kx 450QP P、Q Q 是曲线 M M 上的两点(54 k)24 45(42 29k )=144k80 0即9k2由韦达定理得:XiX54k贡朴2454 9k2X2)2XiX2XiX2X2Xi542k245(

12、4 9k2)(i)2即5(1369k249k249k2由得019k21，代入，整理得515(136)2解之得当直线 PQPQ的斜率不存在，即X0时, 易知总之实数 I I例题 6 6、已知椭圆 C C:2yb2的离心率为6亍，短轴一个端点到右焦点的距离为(n)设直线 I I 与椭圆 C C 交于A、=px1x2x2)24X2=p(4p2k28p22pQk22.设直线AB的方程为ykxm。由已知3，得m2223(k21)。4把y kx m代入椭圆方程,整理得(3k21)x226kmx 3m 3x-ix26 km2，x1x23k2123(m21)3k21AB(1 k2)(x2xj2( (1 1k

13、k2) )36k36k2m m2(3k(3k21)1)212(m12(m21)1)3k3k21 12 2 212(k1)(3k1 m )(3k21)22 23(k1)(9k1)3 32 2(3k1)9k9k12k12k26k6k21 11212212当且仅当9 k2守时等号成立。当k0时,综上所述|ABmax2。当AB最大时,AOB面积取最大值S题型七：弦或弦长为定值问题例题 7 7、在平面直角坐标系 xOyxOy 中，过定点 C C (0 0 , p p )作直线与抛物线x x2=2py=2py (p0p0 )相交于 A A、B B 两点。(I)若点 N N 是点 C C 关于坐标原点 0

14、0 的对称点，求 ANBANB 面积的最小值;(n)是否存在垂直于 y y 轴的直线 I I，使得 I I被以 ACAC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 I I的方程；若不存在，说明理由。(I)依题意，点N N 的坐标为N N ( 0,-p0,-p )，可设 A A (X X1,y,y1) ,B,B (X X2,y,y2), 直线 ABAB 的方程为 y=kx+p,y=kx+p,与 x x2=2py=2py 联立得x22pyy kx p.消去 y y得x x2-2pkx-2p-2pkx-2p2=0.=0.由韦达定理得 X X1+X+X2=2pk,x=2pk,x1X X2=-2p=-2

15、p2. .于是SABNSBCNSACN2 2PXX2=px1x2x2)24X2=p(4p2k28p22pQk22.2,当 k 0 时，(SABN)min 2 2p?. .解法 2 2 :(I)前同解法 1 1，再由弦长公式得AB 71 _ |为 刈_k27(X1 _X2P_4x1 x2山_k2(4p2k28p2=2p 1k2. k22.-d |AB - 2pJ1 k2A22 =22. 1 k2当 k 0 时，(SABN)max 2 - 2p2.(n)假设满足条件的直线t t 存在，其方程为 y=ay=a，则以 ACAC 为直径的圆的方程为(x 0)(x xj (y p)(y %) 0,将直线方

16、程 y=ay=a 代入得又由点到直线的距离公式得2p(n)假设满足条件的直线l l 存在，其方程为 y=a,ACy=a,AC的中点为O ,t 与 AC 为直径的圆相交于点 P P、Q Q , PQPQ 的中点为 H H，则OH PQ,O 点的坐标为(xiyi2 2P)OPAC2. x；p)2122=2y1p. .OHay12p2a y1p,PHOPOHp2)4(2a y1p)2号,此时|PQ p为定值，故满足条件的直线 l l 存从而，SABN2p2、k2a),0,得a在，其方程为=(a訓1 a(P令af(2PH )2=4 (a号皿a(p a).即抛物线的通径所在的直线X X2XX1X (a

17、p)(ayd0,则=X24(a p)(a yj 4 (aP) y1 a(p a).设直线 I I 与以 ACAC 为直径的圆的交点为 P P （X X2,y,y2）,Q,Q （X X4,y,y4），则有X3X44 (ap)y1a(p a) 2 (ap)y1a(p a).2Y2令a2 ,得a环此时PQ即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题 8 8、（如图（2121 ）图,的轨迹方程；（n）若PM解：（I）由椭圆的定义，点p为定值，故满足条件的直线I I 存在，其方程为M（ -2-2，0 0 ）和N（ 2 2，0 0）是平面上的两点, 动点P满足:PN=，求点1 cos MPN因此半焦距P

18、的轨迹是以c=2=2，长半轴M、N为焦点,( (n) )由PM |gPN1 cosMPN因为cosMPNMN2PM2将代入，得故点P在以M、PMPN6.()求点P长轴长 2 2a=6=6 的椭圆. .a=3=3，从而短半轴2b= =5所以椭圆的方程为9,得PM gPN cosMPNPM gPN 2.1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形 在APMNPN422 PM gPN cosMPN.PMPN22( PM gPN 2).N为焦点，实轴长为23的双曲线由（I）知，点P的坐标又满足1，所以由方程组5X29y9y245,45,3y3y23.3.解得X3 32虽2 .即P点坐标为3 3、3

19、35 5（玄）、3.33.35 5、（丁，書）3 3、3 35 5、_3,33,3V V 盲）或（V V，中，MN 4,由余弦定理有X X2uuuC相交与两不同点 代B时，在线段AB上取点Q，满足AP，解得a24,b22，所求椭圆方程为2 2 2cab(2)(2)方法uuuuuu uuuruuu又 A A , P P, B B, Q Q 四点共线，从而APPB,AQQB于是4xX21y1y211xX?y1y2xy-11从而2 2 22 2 2X1X224x,L L(1 1)y1y22y,L L(2 2)11又点 A A、B B 在椭圆 C C 上，即(1(1) + + (2 2)X2 2 并结

20、合(3 3 ), (4 4)得4s 2y 4即点Q(x, y)总在定直线2x y 2方法问题九：四点共线问题2x例题 9 9、设椭圆Ca1(a b0)过点M(、2,1)，且着焦点为Fi( .2,0)(I)求椭圆C的方程;证明：点Q总在某定直线上解(1)(1)由题意:(n)当过点设点 Q Q、由题设知B的坐标分别为(x, y),(xi, yi),(x2, y2)。uuuAPuuuPBUUUUULTuuruuuAP , PB , AQ , QB均不为零，记UJUAQUU才，则QB2 2X12y14,L L2 2X22y24,L LUUUTUUU0,二 2x y 20即点Q(x, y)总在定直线2x

21、 y 20上问题十：范围问题(本质是函数问题)2x2设Fi、F2分别是椭圆y 1的左、右焦点。4(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PFiPF2的最大值和最小值;(n)设过定点M (0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点A、B，且/AOB为锐角(其中O为坐标原点) 斜率k的取值范围。解：(I)解法一：易知a2,bi,c 3所以Fi.3,0,F2.3,0，设P x,y，则UUUPFiuuuu-PF2 3 x, y :-32x, y x2y3x2i2x- i c 2 c33x 844uur uuuu因为x 2,2，故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时，PFiPF2有最小值2ujir uuur当x 2，即

22、点P为椭圆长轴端点时，PFiPF2有最大值1解法二：易知a 2,b 1,c-3，所以Fi、3,0 , F?.3,0，设P x, y，则设点Q(x, y), A(Xi,yJ, B(X2,y2)，由题设,UUUUUUPA , PBuuur uuuAQ , QB均不为零。uurPAPBuuruuur uuruuu又P,代Q,B四点共线,可设PAAQ,PBBQ(0, i), ,于是4 xi yXi,yi(i)ii4 xi yX2,y2(2 2)ii由于A(xi, yi), Bg y2)在椭圆C C 上，将(i i), (2 2)分别代入C C 的方程x22y/2几2(x 2y4)24(2 xy 2)

23、i40(3 3)z2 c 2(x 2y4)24(2 xy 2) i40(4)(4)且QB4,整理得(4)(4) -(3)(3)得8(2x y 2)0uuur,求直线I的2Xuuu uuunuuuuuuPF1PF2PF1PF21x2ycos FiPF2x 3y2uuurPF112联立Xj又00显然直线y2x44kkx4kk2A0B又yy3.21k40不满足题设条件,消去1,x14X2整理得:4k290cosA0Bkx2k2X1X2uuunPF2x2可设直线k20得:uuuOA2k Xiuuur2PF1l:yumr2PF2tu*r 2PF1uuuu2F1F2uuur-PF23（以下同解法一）kx

24、2, A x,y2, Bx24kx 30uuuOBX2uuuOA3k2.21k4X2, y2,uuuOB密2yM 0k28kj1 14k211k2k2J4k2故由、得问题十一、存在性问题:（矩形、 菱形、 正方形）（存在点， 存在直线，圆）y=kx+my=kx+m，存在实数, 存在图形：三角形 （等比、 等腰、 直角）,四边形22xy设椭圆 E:E:221ab(a,b0(a,b0 )过 M M (2 2 ,& & ）,N N（ ,1,1）两点，O O 为坐标原点,（I I）求椭圆 E E 的方程;（IIII）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆uuu uuuE E 恒有两个交点 A,B,A,B,且OA OB?若存在,写出该圆的方程，并求|AB|AB | |的取值范围，若不存在说明理由。2X解：（1 1 ）因为椭圆 E:E:2yb2(a,b0(a,b0 )过 M M ( 2 2，.2.2),N(N( 、6,1),1)两点, ,所以 a a6 6a a2 2b b1 1b b1 1解得1 1a a1 1b b21 18 8 所以1 14 42ab28椭圆 E E 的方程为 X X482y-14（2 2 ） 假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E E 恒有两个交点uuuA,B,A,B,且OAuuuOB， 设该圆的切线y方程