2021年江苏高考数学一轮复习讲义第2章第6节指数与指数函数

1、1第六节指数与指数函数最新考纲1理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算 2 了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为1 12,3,10, 2，3 的指数函数的图象 3 体会指数函数是一类重要的函数模型.必备知识填充1 根式(1) n 次方根的概念1若 x= a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n 1 且 n N*.式子需叫做根式, 这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2a 的 n 次方根的表示x =当用为奇数且宛 w N . “ 1 时.龙二士辽当丹为偶数且时”(2) 根式的性质1(n,a)n= a(n N

2、*，n 1).a，n 为奇数,2.有理数指数幕课前自主打除乱基xn= a?laa，a0,n 为偶数.2(1)幕的有关概念1正分数指数=2负分数扌旨数幕:J =- = * (Q 0 , m , H e N * ,且兀F in护 a1); 30 的正分数指数幕等于 0,0 的负分数指数幕无意义.(2)有理数指数幕的运算性质1aras= ar s(a0, r, s Q)；2(ar)s= aTS(a0, r, s Q)；3(ab)r= arbr(a0, b0, r Q).3.指数函数的图象与性质xy=aa10vav1图象_ao/_r=1| 尸 i斗|Jo i_ *定义域R值域(0,+ x)过定点 3当

3、 x0 时，y 1;当 x0 时，0vyv1；性质当 xv0 时，0vyv1当 xv0 时，y 1在 R 上是增函数在 R 上是减函数常用结论1.指数函数图象的画法画指数函数 尸 ax(a0,且 a 1)的图象，应抓住三个关键点：(1, a), (0,1),2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y= ax, (2)y= bx, (3)y= cx, (4)y= dx的图象，底数 a, b, c, d与 1 之间的大小关系为 cd 1 ab0由此我们可得到以下规律：在第 一象限内，指3数函数 y= ax(a0, a 1)的图象越高，底数越大.43 指数函数 y= ax(a 0, a

4、 1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a 1 与 Ovav1 来研究.学情自测验收思考辨析(正确的 fJHV错谋的 JT Xfl) (1 ) Ji/匚(% ) M=a.(3)函数?n 的值域是 w. +工(4 )若 ( a A 0 且 a H1),则就 0,且 a 1)的图象经过点 P 2, 2 ,则 f(- 1) =_1J2v2 由题意知 2= a2，所以 a=2,-15所以 f(x) =2，所以 f(1)=2= 2.3._化简416x8y4(xv0, yv0)=答案2x2y63xcvbva Ty= 5 是减函数，1 1333430:5 5 5，则 a b 1,33 430又

5、 c= 2v2= 1， cvbva._一搔线笼生襄 M 课堂考点探究1 指数幕的运算良资指数幕运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幕化成正指数幕的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幕，尽可能用幕的形式表示，运用指数幕的运算性质来解答.咂典题 1.化简(吕-%- (口V 7(0. I)1- (aA3)T0) =_ .J-3-邑虑式詔冥 I 码二 2 心冥 1二邑510 &厂51一4-a则3 _4b, c 的大小关系是_.考点72.计算：(-y-丁1+

6、 ft0O2_T-10( is _ 2)167馬i 3、5门+10( 5 +2)1得十10 JJ-10K-20+1 - -_1丄a2-8ay43+化荀：壬 (461+ 2 4ab + a( 0J原式二丄仔九严门丄亍()5* (2tJ) +(2/fix 訂十 r 占、af = Q (1，bv0B.a1，b0C. Ovav1,b0D. Ovav1,bv0(2)若曲线 y= |3x- 1|与直线 y = m 有两个不同交点，则实数 m 的取值范围是D(0,1) (1)由 f(x)= ax-b的图象可以观察出，函数 f(x) = ax-b在定义 域上单调递减，所以 Ovav1.函数 f(x)= ax-

7、b的图象是在 f(x)= ax的基础上向左 平移得到的，所以 bv0故选 D.(2)曲线- 1|的图象是由函数 y= 3x的图象向下平移一个单位长度后， 再把位于 x轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，而直线 y=m 的图象是 平行于 x 轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y= |3x- 1|与直线 y= m 有两个公共点，则 m 的取值范围是(0,1).母题探究1._ (变条件)若本例(2)条件变为：方程 3|x|1 二 m 有两个不同实根，则实数 m 的取值范围是.(0，+*)作出函数 y= 3xi- 1 与 y= m 的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围

8、是(0，+ s).2.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数 y=31|+m 的图象不经过第二象9限，则实数 m 的取值范围是_ .(-s，-1作出函数 y=一 1|+ m 的图象如图所示.10由图象知 mW1,即 卩 m(X,1.缶疔应用指数函数图象的技巧(1)画指数函数 y= ax(a0,且 a 1)的图象，应抓住三个关键点：(1, a) ,(0,1),1,(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(3) 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到.特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时

9、应注意分类讨论.烁盪 1函数 f(x)= 1ex|的图象大致是()AByl/Q|A f(x)二 1 ex|是偶函数，图象关于y 轴对称，又 e|x| 1, f(x)0,且 a 1)的图象经过第二、三、四象限，贝 U ab的取值范围是_ (0,1)因为函数 y= ax b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y= axb 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上.令 x= 0,则 y= a0 b0vav1,0vav1,=1 b,由题意得解得故 ab (0,1).1bv0,b1,3.已知实数 a, b 满足等式 2 019a= 2 020b，下列五个关系式：0vbva；avbv0 :0

10、vavb :bvav0 :a = b.其中不可能成立的关系式有填序号).作出 y = 2 019x及 y= 2 020 x的图象如图所示，由图可知 ab0, a =b= 0或 avbv0 时，有 2 019a= 2 020b，故不可能成立.考点 3 指数函数的性质及应用匾强指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数 a 决定的，因此解题时通常对底数 a 按 0vav1 和 a 1 进行分类讨论.讥】比较指数式的大小辭已知 a= 20.2, b= 0.40.2, c= 0.40.6,则()A. abcB. acbC. cabD. bca(2)设函数 f(x) =

11、x2a与 g(x) = ax(a 1 且 a2)在区间(0,)上具有不同的10.112单调性，则M= (a 1)0.2与 N= a 的大小关系是()aA.M=NC.MvN13(1) AD 由 0.2V0.6,0.4v1,并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6,即卩 bc.因为 a= 20.2 1, b= 0.40.2V1,所以 ab.综上，abc.(2) 因为 f(x) = x2-a与 g(x) = ax(a 1 且 a2)在区间(0,)上具有不同的单1调性，所以 a2,所以 M = (a- 1)0.2 1, N= -0.1V1,所以 M N.故选 D. a缶疔申 指数式的大小比较，

12、依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1,),若不能化为同底，贝冋化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1).上皿 2 解简单的指数方程或不等式131瑟曲引已知函数 f(x) = a+4x+ 1 的图象过点 1,- 10，若一 6= f(x)0,则实数 x 的取值范围是_ .(2)方程 4x+ |1-2x|= 11 的解为_.113(1) 0,2(2)x= log23 (1)vf(x) = a+的图象过点 1,-石,-a+51D，即a2.1v-6f(x)0,160 时，原方程化为 4x+ 2x-12= 0,1 f(x)= +14x+ 114即(

13、2x)2+ 2x- 12 = 0.(公3 膚+ 4)= 0,2x= 3, 即卩 x= log23.当 XV0 时，原方程化为 4x 2x 10= 0.令 t= 2x,则 t2t 10= 0(0VtV1).1/1+ 40由求根公式得 t=2 均不符合题意，故 xV0 时，方程无解.(1)af(x)= ag(x)? f(x) = g(x). (2)af(x)ag(x),当 a 1 时，等价于 f(x)g(x)；当 Ovav1 时，等价于 f(x)Vg(x).有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题.m与指数函数有关的复合函数的单调性Eh 创函数 f(x)=的单调减区间为(2)函

14、数 f(x) = 4x 2x+1的单调增区间是 _21u(1)( x,1(2)0，+) (1)设 u= x2+ 2x+ 1，Ty= 2 在 R 上为减区间.又 u= x2+ 2x+ 1 的增区间为(一X,1,所以 f(x)的减区间为(一x,1.(2)设 t= 2x(t0),则 y= t2 2t 的单调增区间为1 , +)，令 2x 1,得 x0, 又 y= 2x在 R 上单调递增，所以函数 f(x) = 4x 2x+1的单调增区间是0, +).逆向问题已知函数 f(x) = 2|2x一m|(m 为常数)，若 f(x)在区间2, +)上单 调u= x2+ 2x+ 1 的增函数，所以函数 f(x)

15、=的减区间即为函数15递增，则 m 的取值范围是 _.16令 t=|2x m|,则 t= |2x-m|在区间,+ 上单调递增，在区间一X,m 上单调递减而 y = 2t在 R 上单调递增，所以要使函数 f(x)二 2|2-呵在2，+X)上单调递增，则有 m 2,即 mW4,所以 m 的取值范围是(，4 O 疔申 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.E 向0 在 x (-, 1时恒成立，贝实数 a 的取值范围171x331-；+345-函数 f(x)为奇函数，定义域是 R，则 f(0)= a+ -1b0，函数图象过点 ln 3, 2，则 f(ln 3) = a+41=1.结合可得 a= 1, b=-2,2则 f(x)二 1- .因为 ex0,所以 ex+ 1 1,ex+ 12所以不 14 - 4,+ 2x4+2 二 4,从而得-r+A118缶疔申 指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化.C. (0,4D