必修四三角型复合函数的图像与性质题型归纳学生版

1、三角型复合函数的图像与性质重难点题型归纳【知识点1用五点法作函数y = 4sin（公M + e）的图象】用“五点法”作y = Asin（s + °）的简图，主要是通过变量代换，设z =刃工+夕，由z取0,2，况,况2乃 22来求出相应的X,通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.I知识点2由y = sin A得图象通过变换得到y = A sin （+ °）的图象】1 .振幅变换：y = Asinx, xeR（A>0且AX）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（A>1）或缩短 （0vA<l）到原来的A倍得到的（横坐标不变），它的值域-A, A,

2、最大值是A,最小值是-A.若A<0可先作 y = Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.2 .周期变换：函数），= sind?x, xe/?（G>0且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（。> 1）或 伸长（Ovovl）到原来的/倍（纵坐标不变）.若。<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图.3决定了函数 的周期.3 .相位变换：函数y = sin（x + °）,光£农（其中9工0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当夕>0时）或向 右（当° V0时）平行移动两个单位长度而得到.（用平移法注意讲清方向：

3、9;'左加右减'）一般地，函数y = Asin（5+ （A>0m>0）, xeR的图象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y = sinx的图象上所有的点向左（夕>0）或右（。<0）平行移动图个单位；（2）再把所得各点的横坐标缩短（ty > 1）或伸长（0 v。v 1）到原来的1倍（纵坐标不变）；（3）再把所得各点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<l）到原来的A倍（横坐标不变）.【知识点3正弦型函数和余弦型函数的性质】函数y = Asin（5 + 0）与函数y = Acos（公y + 夕）可看作是由正弦函数y = sinx

4、 ,余弦函数、= cosx复合 而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数、=5由工，余弦函数,，=以“不类似地得到：（1）定义域：R;（2）值域：-AA：（3）单调区间：求形如），= Asin（x, + e）与函数），= Acos（0x + 9）（Ag>O）的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把的+。视为一个“整体”，分别与正弦函数），= sinx,余弦函数），=©。$X的 单调递增（减）区间对应解出x ,即为所求的单调递增（减）区间.比如：由2k-<a）x +（p<2k + -（keZ）解出x的范围所得区间即为增区间，由 222攵万十=<31

5、+夕<2攵江十三（女金2）解出工的范围，所得区间即为减区间. 22（4）奇偶性：正弦型函数y = Asin（3r + 9）和余弦型函数y = Acos（公t+°）（A,勿>0）不一定具备奇偶性.对于函数y = 4sin（0x + ?）,当夕= k/（k ez）时为奇函数，当夕=攵乃±二（攵e z）时为偶函数：对于 2函数），=Acos（5+0）,当夕=女方（k ez）时为偶函数，当e=攵乃土巳（攵ez）时为奇函数.2（5）周期：函数y = 4sin（Gx + s）及函数y = Acos（0x + 8）的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为7 =三.CD（6

6、）对称轴和对称中心与正弦函数y = sinx比较可知，当3% + 8 =攵九±7（女e z）时，函数y = Asin（tyx +。）取得最大值（或最 小值），因此函数y = Asin（公丫 +夕）的对称轴由3x + e = k/r±q（k e z）解出，其对称中心的横坐标cox +（p = k九* £ z）,即对称中心为 -,0 （k e z）.同理，y = Acos（3x + o）的对称轴由 k CD J5+0 =乃（攵ez）解出，对称中心的横坐标由5 + 0 =攵汗土工（攵e z）解出.2三、题型分析（一）五点法作图例1. （2019石嘴山市第三中学高一月考）

7、已知函数y = 3呵的图象,（请先列表，再描点，图中每个小矩形（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在O O的宽度为工）（2）请描述上述函数图象可以由函数y = sinx怎样变换而来? 12【变式训练1】.（2019.全国高三月考（理）把函数/（x） = 2sinx的图象向左平移?（0<9<2）个单位, 2得到函数y = g（x）的图象，函数y = g（=的图象关于直线蜜='对称,记函数万。）=/。）8（%）.6（1）求函数y = /?（x）的最小正周期和单调增区间：（2）画出函数），=。）在区间上的大致图象.（二）函数图像变换 例2. （238浙江高一期末）将函数si

8、n F） 的图象向左平移"单位,所得到的函数图象关于.V轴对称，则函数的最小正周期不可能是（）D. 2乃例3. （2019宁夏高一期末）要得到函数y = 2sin； 2x + *）的图象，只需将函数y = 2cos2x的图象（） 人向左平吟个单位长度乩向右平移/单位长度C.向左平移三个单位长度D.向右平移三个单位长度 66【变式训练11.（2019浙江高二期末）将函数y = sin 2x +y |的图形向左平移。个单位后得到的图象关B-【变式训练2】.（2019安徽高二期末（理）已知曲线G：y = sinx, C2 ： y= COS 2x-yj,则下面结于丁轴对称，则正数9的最小正值

9、是（54D.12论正确的是（A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移g个单位长度，得到B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移子个单位长度，得到C.把G上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移*个单位长度，得到 曲线D.把G上各点的横坐标缩短到原来的！倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5个单位长度，得到 212曲线G （三）已知函数图像求.丫 = Asin（0,x + e）例4. （2019广东高考模拟（理）把函数y = /（x）的图象向左平移三个单位长度，再把所得的图象上每 个点的横、纵坐标都变

10、为原来的2倍，得到函数g（力的图象，并且履工）的图象如图所示，则“X）的表 达式可以为（）例5. （2017 .浙江高二期中）函数/（x） = 2sin（3 + 0）（。0, 加。0）的部分图象如图所示，则【变式训练11.（2016.浙江高考模拟（理）函数外乃=45出（3彳+8）（幺0,口0,3£用的部分图象如图所示，则将y =八犬）的图象向右平移?个单位后得到以行，得到的函数图象对称轴为，函数50）解(四)函数y = Asin(0x + o)综合应用 例6. (2019湖北高二月考)已知函数/(6 = $m(3工+。)(口。,1夕13),其相邻两条对称轴之间的距离为。，将y=/(x

11、)的图象向右平移J个单位后，所得函数的图象关于轴对称，则( 26D. /(x)在区间单调递增A.的图象关于点已.0)对称B. "X)的图象关于直线x = 7兀对称c. /(x)在区间一丁，不单调递增 6 3/例7. (2018浙江诸暨中学高一月考)已知函数/3 = 4。以+ 0)040,卬0,图9)在一个周期内 2的简图如图所示，则函数的解析式为，方程/(1) =m(其中1团2)在0,3划内所有解的和为.【变式训练1】.(2019.甘肃兰州一中高一月考)己知函数/(x) = Asin(5 + e),xeR(其中 rrA0,30,0ld3)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为彳

12、，且图象上一个最低点为-2).0(1)求函数/("的最小正周期和对称中心：(2)将函数 = /("的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的;，再把所得到的图象向左平 移*个单位长度，得到函数y = g(x)的图象，求函数产g(x)在区间 W 上的值域.四、迁移应用1. （2019山西高二期中（文）若。>0,函数y = cos（5 + g）的图象向右平移!个单位长度后关于原点对称，则0的最小值为（）11° 5卜 3A. B. -C. -D.-22222. （2019.宁夏高一期末）若函数/（x） = sin（2x + e）（O<0V/r）的图象上

13、所有的点向右平移二个单位长度 6后得到的函数图象关于1:,。对称，则。的值为（）（4 ）A.冗B.4C.史D.女4633. （2019安徽高二期末）函数/（x） = 4sin的+ £>0）的最小正周期是3%，则其图象向左平移三个 3 76单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）加tc5ttc19左A. x = B. x = C. x = 一D. x =43612/4.（2019.安徽高二期末（理）己知曲线e：）'=而“,。”），= （：0$ 2x-，则下而结论正确的是（） 3）A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移三个单位长度，得到 曲

14、线GB.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移三个单位长度，得到 曲线C.把G上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移看个单位长度，得到曲线D.把G上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移专个单位长度，得到5. (2019.辽宁高一期中)已知函数/(x) = 2cos 2x + f , xeR k 4 J（1）求函数/*）的最小正周期和单调递减区间:（2）将函数/W = 2cos（2x + 7）的图象向右平移皿>0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐 标伸长到原来的2倍，得到的函数武用的图象关于y轴对称，求？的最小值.6 （2018秋海淀区期末）已知函数/'（x） = 2sin 2x + g< I ）求丁的最小正周期r；（II）求/（X）的单调递增区间：（ni）在给定的坐标系中作出函