全国初中数学竞赛试题正题及答案

1、2012年全国初中数学竞赛试题（正题）题号一一三总分1561011121314得分评卷人复查人答题时注意：1 .用圆珠笔或钢笔作答；2 .解答书写时不要超过装订线；3 .草稿纸不上交.一、选择题（共 5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为 A, B, C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号里 ： 不填、多填或错填都得 0分）1 （甲）.如果实数 a, b, c在数轴上的位置如图所示，那么代数式在一口+。|+斤 4 + |力+ C I可以化简为（）.(第1 (甲)题)(A) 2ca(B) 2a-2b(C)q (D)1+7p-1 (乙).

2、如果口二一2+，那么 3(A)-亚(B)点I a的值为（）.（C） 2（D）2 （甲）.如果正比例函数 y = ax （a丰0与反比例函数 y = K b b w 0）的图象有两 个交点，其中一个交点的坐标为（一 3, 2）,那么另一个交点的坐标为（）.（A）（2,3）（B）（3,2）（C）（2,3）（ D）（3,2）2 （乙）. 在平面直角坐标系 电'中,满足不等式 x2+y2W2x+2y的整数点坐标（x,y)的个数为().(A) 10(B) 9(C) 7(D) 53（甲）.如果加b为给定的实数，且1S& ,那么L a + L白 + b + l这四个数据的平均数与中位数之差的

3、绝对值是（(A) 12a-1(B) 4(C) 2(D) 43(乙).如图，四边形ABCD中，AC, BD是对角线，ABC是等边三角形. 4比二 30。,AD = 3, BD = 5,则CD的长为 ().B C(第3 (乙)题)(A) 3、份 (B) 4(C) 25(D) 4.54 (甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的 n倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44 (乙).如果关于x的方程-g = O ® g是正整数)

4、的正根小于 3,那么这样的方程的个数是().(A) 5(B) 6(C) 7(D) 85 (甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3, 4, 5, 6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是 0, 1, 2, 3的概率为而如的h,则加你小h中最大的是().(A)孙 (B) Pl(C) A(D) A5 (乙).黑板上写有 -100共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数弧。，然后删去如,并在黑板上写上数 a+b+ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是().(C) 100(D) 99(A) 2012(B) 101二、填空题（共 5小题，每小

5、题7分，共35分）6（甲）.按如图的程序进行操作， 规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487? ” 为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .1（第6 （甲）题）111101卜6 （乙）.如果 a, b, c 是正数，且满足 a + 8+t = 9, a+b h + c c+a 9 ,a b cF1那么B+r c +a n+占的值为.7 （甲）.如图，正方形 ABCD的边长为2后，E, F分别是AB, BC的中点，AF与 DE, DB分别交于点 M, N,则4 DMN的面积是.（第7 （甲）题）（第7 （乙）题）7 （乙）.如图，口。的半径为20,幺是口 0上一点.以

6、0幺为对角线作矩形。朋C , 且OC二12.延长BC,与口。分别交于D, 3两点，则CE-BD的值等于.398 （甲）.如果关于x的方程x2+kx+ 4 k23k+ 2 = 0的两个实数根分别为'1 , 那么 3011马 的值为8 （乙）.设M为整数，且1点.2012.若便一播+3）（冏'+月+3）能被5整除，则所有R 的个数为.9 （甲）.2位八年级同学和 m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得。分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为 130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则 m 的值

7、为.10 （乙）.如果正数 x, V, z可以是一个三角形的三边长，那么称 （工，y，Z）是三角形J Lb£数-若Q, b 8和ab c均为三角形数，且awbwc,则匚的取值范围是 .11 （甲）.如图，四边形 ABCD内接于。O, AB是直径，AD = DC.分别延长BA, CD, 交点为E.作BFXEC,并与EC的延长线交于点 F.若AE = AO, BC = 6,则CF的长为.12 （乙）.已知火是偶数，且1W用w 100.若有唯一的正整数对 （a 使得/二9+打 成立，则这样的H的个数为.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）13 （甲）.已知二次函数 了二/十（湖+3）

8、彳+冽+2，当一1 工工3时，恒有J 。； _2_关于X的方程? +（+3）幽+2 = 0的两个实数根的倒数和小于10 .求刑的取值范围.414 （乙）. 如图，在平面直角坐标系 xOy中， AO = 8, AB = AC, sin/ABC=5 .CD与y轴交于点E,且 字coe = Saade.已知经过B, C, E三点的图象是一条抛物线，求这 条抛物线对应的二次函数的解析式 （第11 （乙）题）15 （甲）.如图，口 0的直径为AB , 口 °i过点0,且与口 0内切于点B . C为口。 上的点，0C与口 °i交于点D，且0D > CD.点£在0D上，且

9、DC二DE , be的延长 线与0 °i交于点B ,求证： boca DOF .（第12 （甲）题）16 （乙）.如图，O O的内接四边形 ABCD中，AC, BD是它的对角线，AC的中点I是 ABD的内心.求证：（1） OI是AIBD的外接圆的切线；（2） AB+AD = 2BD.13 （甲）.已知整数 a, b满足：ab是素数，且ab是完全平方数.当a>2012时, 求a的最小值.13 （乙）.凸耳边形中最多有多少个内角等于 15伊？并说明理由14（甲）.求所有正整数n,使得存在正整数 耳 即砒，满足看 仃如,122012一+- 41-二月且一 .二二，.14 （乙）.将2

10、, 3 ，加（n2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数%b, c （可以相同）使得 以二匕，求弘的最小值.2012-04-16 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1 （甲）.C解：由实数a, b, c在数轴上的位置可知b<a <0<c，且,所以一 ：.二- '1 （乙）.B解：-二 = 1 +2 +育2 + 0T = 1 + = 1 + >/2 = 2J2 +12 （甲）.D2 j _ .解：由题设知，-2 = 1“（-3）, （-3 （-2）=占，所以“y = 2.2 y- 7 3解方程组所以另一个交点的坐标为（3, 2）.

11、可知两个交点关于原点对称，因注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性, 此另一个交点的坐标为（3, 2）.2 （乙）.B解：由题设 x2+y2< 2x+ 2y,得 0 w QT)" + (厂了 < 2.因为嘉y均为整数，所以有o-iy = 口，(7)，= o, s-iy = l Q-甲=l(y-1)2 = o； l(y-1)2 = is l(y-1)2 = 口;1(y-厅=L解得z-1j Jx- L- b Px- 0) Jx- Oi Jx = 0j j- 2i x- 2i x-2ily = b ly-2； ly=l; V- ft y=-2； y-li |_y= ft

12、 y=2.以上共计9对（北）.3 （甲）.D解：由题设知，1<$+b + l <2白+!?,所以这四个数据的平均数为1 + (。+1) +。+8+1) + (21+目 3+4a-b 264 二 4(口+1)+ + A +1) 4 + 4c?+ 2b中位数为24,4 + 4a + 2b 3 + 4fl+ 1于是:".3 (乙).B解：如图，以CD为边作等边 CDE,连接AE.（第3 （乙）题）2n=- 一.可得x+2 = «(y- 2),j+厘=2(1一川),消去x得(2y 7)n = y+4,由于 AC = BC, CD = CE, / BCD=/ BCA+/A

13、CD = /DCE + /ACD =Z ACE,所以 BCDACE, BD = AE.又因为 ZADCTO。，所以/如睚好.在RtA ADE 中，AE = 5i AD = 3于是 DE =山IE' - AD2 = 4 ,所以 CD = DE =4.4 （甲）.D解：设小倩所有的钱数为 x元、小玲所有的钱数为 y元，冗J均为非负整数.由题设15因为2y-7为正整数,所以2y7的值分别为1,3, 5, 15,所以y的值只能为4, 5, 6, 11.从而n的值分别为8, 3, 2, 1; x的值分别为14, 7, 6, 7.4 （乙）.C解：由一元二次方程根与系数关系知， 两根的乘积为二&#

14、176;，故方程的根为一正一负.由 二次函数J=/一闪一g的图象知，当时，J>0,所以3° 3衣即 3#+0<9.由于P，9都是正整数，所以P = l, 1WqW5；或二2 , 1wqW2,此时都 有人=9'+40.于是共有7组g）符合题意.5 （甲）.D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以9g91036363636,因此处最大.5 （乙）.C解：因为。+6+4）+1=Q+D0+D,所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加 1后的乘积不变.设经过99次操

15、作后黑板上剩下的数为 X ,则x+l= (1+ 1)(-+1)(-+1)0-0；+1)23'100解得二、填空题6 （甲）.7VXW19解：前四次操作的结果分别为3x2, 3(3x2) 2 = 9x-8, 3(9x8) 2 = 27x 26, 3(27x 26) 2 = 81x80.由已知得27x26W 487,81x-80>487.解得 7vxW19.容易验证，当7V xW19时，3l-2w 487 91gw 487,故x的取值范围是 7<x< 19.6 (乙).7解：由已知可得a b c 9-b-c 9-c-a 9-a-b H111 B+e c+a a+b b+c

16、 c+a a+b999 ,b+c c+a a+b= 9x-3-797 （甲）.8所以解：连接df ,记正方形儿BCD的边长为2。.由题设易知 B理fD煦,AD AN EN _2 而.歹而- 1,A（第7 （甲）题）在RtAABF中，因为45 = 2鼻EF = d ,所以<F=J咫+加=后,cosZBX- -= /!.由题设可知 ADEA BAF,所以 AAED = AAFB ,一二-一一一_.>!-.1.皿=4£ cosN融F =毡5Jl-AN-AM = -A-AM = a 315 ,_ 4二 £ 一.11gSi.(2r)(2仪)=2flf-£h ij

17、im =R。又 2,所以 1515因为以=而，所以%般=8.287 （乙）.5解：如图，设de的中点为般,连接0M ,则QM 1_ DE .因为0B二也0 一12叱16, 所以加"三型=竺BC 205 ,CM = OC2-OM2 = y, 5M = y（第7 （乙）题）64 36 28/= BM - CM 所以 广.-.F:55._28 （甲）.J解：根据题意，关于x的方程有Q（l-3k+-）0 =k2 4 42 >0,由此得（k-3）2<0.93 _又（k3）2>0,所以（k3）2=0,从而 k=3.此时方程为 x2+3x+4 =0,解得 xi=X2= 2 .20

18、 n 故为 =与=3.8 （乙）.1610解：因为一： I I = /1.1=I：? . i'"!'.当日被5除余数是1或4时，”1或刊+ 1能被5整除，则（一浮+3）（. +总+3）能被5 整除；当月被5除余数是2或3时，+1能被5整除，则（.-即+3）（以，黑+3）能被5整除；当R被5除余数是0时， /一并+3）（附。国+3）不能被5整除.所以符合题设要求的所有H的个数为201010x8+2 = 16109 （甲）.8解：设平局数为&，胜（负）局数为 力，由题设知 :弘1叩,由此得0WbW43.人(施+ 1)侬+2)又2 ，所以为+2b=0+1)3+2).

19、于是o< i=130-(ffl?+l)(ffl+2) <43,87< (那 + D(川+2) < 130,当切=8时，故阳=8 9 （乙）.解：由题设得所以即整理得（由二次函数a+b 55=4口，a = 5 ；当期=。时，=20,白=爷，22，不合题设1 1>-，二二一：.）2-3（-）+l<0匕,> 凸1 1 1一+ 不 ） 一c b a3彳+1的图象及其性质，得又因为 c W1,所以 2至10 （甲）.2解：如图，连接AC, BD, OD.（第10 （甲）题）由AB是。O的直径知/ BCA = / BDA = 90 ° .依题设/ BFC

20、 = 90° ,四边形 ABCD是。O的内接四边形，所以/ BCF =/ BAD,SC BA二所以 RtABCFRtABAD ,因此 CF AD .BC,因为OD是。O的半径，AD = CD,所以OD垂直平分AC, ODDE OE 、于是DC OB .因此二 2C；D 二：二二。.但 _BA由 AED CEB,知口E，EC =乂& 8E .因为 2 'fid 32AD-3AD= -S.4,、f-所以2 2, ba=2V2 ad ,故ADsc 32CF 二也 BC 二三：'：.10 （乙）.12解：由已知有（&-»）（4+8）二月，且已为偶数，

21、所以a-h, a+占同为偶数，于是1H是 4的倍数.设北二4例,则1&断& 25.（I）若浓二1,可得6二0 ,与b是正整数矛盾.（n）若州至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对（为母满足 a-b a + b =m22；若那恰是一个素数的哥，且这个哥指数不小于3,则至少有两个正整数a-b a + b对（色点满足 22（出）若朋是素数，或朋恰是一个素数的哥，且这个哥指数为2,则有唯一的正整数a-b a + b对QX）满足 22因为有唯一正整数对（电汇 所以m的可能值为2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,23, 25,共有12个.三、解答题11

22、（甲）.解：因为当 -1<i<3时，恒有J ,所以=（冽+3羊-4冽+2）>0,即（汹+1>>0,所以溺H-1.当i二-1时，/w。；当工二？时，yw。，即（一 1）* + （然+3）（一1）+沼,+2 £ 1,3,+3细+力+加+2 <0 ,io分）设方程+（海+3）i+（加+2）=。的两个实数根分别为 / I,由一元二次方程根与 系数的关系得二一（那+3），为二那+2119一+ 因为公马10 ,所以解得幽-12,或例-2.因此册012.20分）A0 411 （乙）.解：因为 sin/ABC=M 5, 乂。= 8,所以AB = 10.由勾股定理，

23、得 BO=.：.（第11 （乙）题）易知 ABOA ACO, 因此 CO = BO = 6.于是 A （0, 8） , B （6, 0） , C （ 6, 0）.设点 D 的坐标为（m, n）,由 Sacoe = Sade）得 SA cdb = SAaob.所以-BCQn =-AOWO22,= -x8x622,解得n= 4.因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3, 4）.（10 分）因此CD, AO分别为AB, BC的两条中线，点 E为4ABC的重心，所以点 E的坐标为设经过B, C, E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a （x6） （ x+6）.将点_2_E的坐标代入，解得 a =

24、27 .故经过B, C, E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为2 2 8v x 2 一 二.（20 分）12 （甲）.证明：连接BD,因为 0B 为口。1的直径，所以 £ODB = 90° .又因为DC二DE ,所以 cbe是等腰三角形.（第12 （甲）题）（5 分）设鸵与口。1交于点"，连接OM , 则，OM8二好. 又因为 OC = OB ,所以Z50C 二 2ND。"二 2/网二江吸二ZW.（15 分）又因为Ng尸分别是等腰 3OC，等腰 "°F的顶角，所以 BOCs DO产（20 分）12 （乙）.证明：（1）如图，根据三角

25、形内心的性质和同弧上圆周角的性质知小 m ABAD BDA 小 z£C1D =+= NC皿，（第12 （乙）题）所以CI = CD.同理，CI = CB.故点C是4旧D的外心.连接OA, OC,因为I是AC的中点，且 OA = OC,所以 OI ± AC,即 OIXCI.故OI是 IBD外接圆的切线.（10 分）（2） 如图，过点I作IE LAD于点E,设OC与BD交于点F.由上T ,知 OCLBD.因为/ CBF = Z IAE , BC = CI = AI,所以RtA BCFRtAAIE ,所以BF = AE.又因为I是4ABD的内心，所以AB+AD-BD = 2AE

26、= BD.故 AB+AD = 2BD.（20 分）13（甲）.解：设a b = m（m是素数），ab = n2 （n是正整数）因为（a+b）2 4ab = （ab）2,所以（2a m）24n2 = m2,（2a m+2 n）（2 a m 2 n） = m2.（5 分）因为2am+2n与2am2n都是正整数，且 2am+2n >2am2n （m为素数），所 以2am+2n= m 2, 2a m 2n= 1.（切 + 1）苏-1解得a二4 ，力二4 .a于是=a m -.（10 分）（幽十一又 a>2012,即 4>2012.（89 + 1）'又因为m是素数，解得 m&g

27、t;89.此时，a>4=2025.当。二 2025 时，阴二 89, 6二 1936, « = 1980.因此，a的最小值为2025.（20 分）13 （乙）.解：假设凸耳边形中有七个内角等于150°,则不等于150°的内角有nk个.（1）若上二四，由汉xl50。二卜-2卜180。得卷二12 ,正十二边形的12个内角都等于9；（5 分）若上 用，且为m3,由上xl50 +1一上）黑18。，伊一平18。，可得上12, 即上w 11 .当上二11时，存在凸月边形，其中的ii个内角等于150°,其余超一E个内角都等于（附-2）x180-11x1500 “1、“口 二（6）x30°盟-11”11,0°180°）/15。.（io分）（3）若上也，且11.当上二m一1时，设另一个角等于 a.存在凸力边形，其中的N一1个内角等于15俨，另 一个