实变函数题库集

1、实变函数试题库及参考答案本科、题1 设A,B为集合，贝U ABUB_AUB（用描述集合间关系的符号填写）2设A是B的子集，贝UA_B（用描述集合间关系的符号填写）3如果E中聚点都属于E，则称E是闭集4.有限个开集的交是开集5设Ei、E2是可测集，则m HUE?_mE!mE?（用描述集合间关系的符号填写）n*6 设E ?是可数集，则m E=07设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1,E x f x a是可测集，则称f x在E上可测8 可测函数列的上极限也是可测函数9设fnx f x,gnx g x，贝V仁X gnx f X g x10 设f x在E上L可积，贝y f x在E上可积11设

2、代B为集合，则B A UA A（用描述集合间关系的符号填写）12设A 2k 1 k 1,2丄，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）13 设E ?n，如果E中没有不属于E，则称E是闭集14 任意个开集的并是开集15.设E1、E2是可测集，且E1E2，则mE1mE216. 设E中只有孤立点，贝Um*E=017设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1,E x f x a是可测，则称f x在E上可测18 可测函数列的下极限也是可测函数19设fnx f x,gnx g x，贝卩fnx gnx f X g X20设nx是E上的单调增收敛于f x的非负简单函数列，贝yf x dxlimnx dxE

3、n E21 设A, B为集合，则A B UB B22设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）23设E ?n，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集24 有限个闭集的交是闭集25设E ?n，则m*E0 26设E是？n中的区间，贝Um E=E的体积27设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1,E x f x a是可测集，则称f x在E上可测28 可测函数列的极限也是可测函数29.设fnx f x，gnx g x a.e.，贝yfnX g x30设fnx是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于f x，由勒维定理，有f x dxlim fnx dxEn En31 设A, B为集合，

4、则B AI B U A=AU B32设A为无理数集，则A=c(其中c表示自然数集0,1的基数)33设E?n，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集34. 任意个闭集的交是闭集nn*c35.设E?，称E是可测集，如果T ?,m T mTIE mTIE36设E是外测度为零的集合，且F E,则m*F=037设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1,E xa f x b是可测，(a b)则称f x在E上 可测38.可测函数列的上确界也是可测函数39设fnXf x,gnx g xa.e.，贝yfnx；g.x f x g x40设fnxf x，那么由黎斯定理，fnx有子列fnkx，使fnkxf x

5、 a.e.于E41设代B为两个集合，则A B_ AI Bc.(等于)42. 设E R，如果E满足E E(其中E表示E的导集),则E是闭.43. 若开区间(，)为直线上开集G的一个构成区间，则(，)满(i)(a,b) G(ii)a G,b G44. 设A为无限集.则A的基数A_a(其中a表示自然数集N的基数) 答案：45.设E1,E2为可测集，mE2，则口(巳E2)_mE1mE?.答案：46. 设f(x)是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有Ex f(x) a是可测集E上的可测函数.47. 设X。是E(R)的内点，则m*E_0. 答案48. 设fn(x)为可测集E上的可测函数列，且fn

6、(x)f(x)，x E，则由_黎斯定理可知得 存在fn(x)的子列a.efnk(x)，使得fnk(x) f (x) (x E).49.设f(x)为可测集E(Rn)上的可测函数 贝U f (x)在E上的L积分值不一定存在且| f(x)|在E上不一定L可积.50.若f(x)是a，b上的绝对连续函数，则f (x)是a，b上的有界变差函数51 设A, B为集合，则AU B_(B A)UA答案=52设E Rn，如果E满足E0E(其中E0表示E的内部)，贝U E是开集53设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b) G且a G,b G，则(a,b)必为G的构成区间54设A x|x 2n,n为自然数

7、，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数)55设A, B为可测集，B A且mB，则mA mB_m(A B)答案=56设f (x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a b)，都有Ex a f(x) b是可测集57若E( R)是可数集，则mE_O答案=a.e58 设fn(x)为可测集E上的可测函数列，f (x)为E上的可测函数，如果fn(x) f (x)(X E),则fn(x) f (x)x E不一定成立59设f (x)为可测集E( Rn)上的非负可测函数，则f (x)在E上的L积分值一定存在60若f (x)是a,b上的有界变差函数，则f (x)必可表示成两个递增函数的差(或递减函数

8、的差)多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)1设E 0,1 中无理数，则(ACD )A E是不可数集B E是闭集C E中没有内点D mE 12设E ?n是无限集，则(AB )A E可以和自身的某个真子集对等BE a(a为自然数集的基数)C EDm*E 03设f X是E上的可测函数，则(ABD )A函数f x在E上可测B f x在E的可测子集上可测C f x是有界的D f x是简单函数的极限4.设f x是a,b上的有界函数，且黎曼可积，则( ABC )A f x在a,b上可测B f x在a,b上L可积C当E是不可测集时,Ex可以是可测函数C f x在a,b上几乎处处连续D f x在a,b上几

9、乎处处等于某个连续函数m E可以等于0 Bm E 0C E可能是可数集D E不可能是可数集函数f x在E上可测f x是非负简单函数列的极限f x是有界的f x在E的可测子集上可测8.设fx是a,b上的连续函数，则（ABD )Af x在a,b上可测Bf x在a,bb上L可积，且Rf x dxLf x dxaba,bCf x在a,b上L可积，但Rf x dxLf x dxaa,bDf x在a,b上有界贝 9( ABDE是可测集B E的任何子集是可测集C E是可数集D E不一定是可数集n,Ex1 x E，则(AB)E0 x Ec当E是可测集时，Ex是可测函数Ex是可测函数时，E是可测集5. 设E ?

10、n，如果E至少有一个内点，则（BD ）6.设E ?n是无限集，则（AB ）E含有可数子集B E不一定有聚点CE含有内点D E是无界的7.设f x是E上的可测函数，则（BD )9.设D x是狄利克莱函数，即0,10,1中有理数，则（BCD ）中无理数x几乎处处等于1几乎处处等于0 x是非负可测函数是L可积函数10.设11.D当Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集12.设f x是a,b上的连续函数，则（BD ）A f x在a, b上有界B f x在a, b上可测C f x在a, b上L可积D f x在a,b上不一定L可积13 设f x在可测集E上L可积，则（AC ）A f x，f x都是E上的非

11、负可积函数B f x和f x有一个在E上的非负可积C f x在E上L可积D f x在E上不一定L可积14.设E ?n是可测集，则（AD）A Ec是可测集B mEC E的子集是可测集D E的可数子集是可测集15设fnx f x，则（CD ）A fnx几乎处处收敛于f xB fnx一致收敛于f xC fnx有子列fnx，使fnx f x a.e.于ED fnx可能几乎处处收敛于f x16. 设f x是a,b上有界函数，且L可积，则（BD ）Af x在a,b上黎曼可积Bf x在a,b上可测Cf x在a,b上几乎处处连续Df x在a,b上不一定连续17. 设E 0,1中的无理点，则（CD）（A）E是可

12、数集 （B）E是闭集 （C）E中的每个点均是聚点（D）mE 0D当Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集18. 若E（R）至少有一个内点，则（BD）(A)mE可以等于0(B)m E 0( C)E可能是可数集(D)E不可能是可数集(B)E是闭集(D)E中的每一点均为E的内点(A)E是可测集(C) E 一定是可数集(B)mE 0(D)E一定不是可数集fn(x)f(x),(x E)，则下列哪些结果不一定成立(ABCD(A)Ef (x)dx存在(B)f (x)在E上L-可积a.e(C)fn(x)f (x) (x E)(D)limfn(x)dxf (x)dxnEE24.若可测集E上的可测函数f (x)在

13、E上有L积分值，则( AD )(A)f (x)L(E)与f(x)L(E)至少有一个成立(B)f (x)L(E)且f(x)L(E)(C)| f (x)|在E上也有L-积分值(D)| f(x)|L(E)、单项选择1.下列集合关系成立的是(A)AB A I ABA B I ACA B UB ADB A U A B2. 若ERn是开集， 则(B)AEE B E0ECEED E E22若E( R)的外测度为0，则( AB )23 .设mE，fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列,f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，如果19.a,b是可测集，E的特征函数E(x)是(ABC )20.21.(A)(B)a

14、,b上的符号函a,b上的可测函(C) E 上的连续函数(D)a,b上的连续函数设f(x)是a,b上的单调函数，则(ACD)(A)(C)f (x)是a, bf (x)在a,b上几乎处处收敛0,1中的有理点，则( AC(B)f (x)是a,b上的绝对连续函数(D)f(x)在a,b上几乎处处可导(A)E是可数集4.设fnx是E上一列非负可测函数, 则（ B)Elim fnE ndxlimnx dxdxlimnx dxElim fnE ndxlimnx dx血Efnn匚dxEJmfn匚n5.F列集合关系成立的是（UAUAcIAcUA6.Rn是闭集，则E07.A9.设E为无理数集，E为闭集B下列集合关系

15、成立的是（C ）E是不可测集B ）则（mED mE 0IAcAcUAAcUAc10.设Rn,P为康托集,11设A P是可数集13下列集合关系成立的是（则(BB mPP是不可数集D P是开集B则BcAcB则AcBcB则AIB则AU B14.设ERn，则E015设Ex,0A mEmEC E是R2中闭集E是R2中完备集16.设f x,g x是E上的可测函数，则（B ）21 下列集合关系成立的是(A )(A)E0(C) E 23.设Q的有理数集，则(f (x)为E上的可测函数，若f (x)dxE四、判断题AE xf x g x不疋疋可测集BE xf x g x是可测集CE xf x g x是不可测集D

16、E xf x g x不疋疋可测集17下列集合关系成立的是(A)(A)(A B)U BAU B(B)(A B)U B A(C)(B A) U AA(D)B A A18.若ERn是开集，则(B )(A)E的导集E(B)E的开核E(C)E E(D)E的导集E19.设P的康托集，则(C)(A)P为可数集(B)P为开集(C)mP 0(D)mP 1设20、E是R1中的可测集，(x)是E上的简单函数，则(A)mQ 0(B)Q为闭集(C)mQ 0(D)Q为不可测集(A)在E上，f (x)不一定恒为零(B)在E上，f (x)(C)在E上，f (x)0(D)在E上，f (x)(A)(x)是E上的连续函数(B)(x

17、)是E上的单调函数(C)(x)在E上一定不L可积(D)(x)是E上的可(A)AI(BUC) (AI B)U(AI C)(B)(A B)I A(C)(BA)I A(D)AUBAI B22.若ERn是闭集，则(B)(D)24.设E是Rn中的可测集,X可数个闭集的并是闭集. 可数个可测集的并是可测集 相等的集合是对等的.可数个可测函数的和使可测函数 对等的集合是相等的.可数个开集的交是开集 可测函数不一定是连续函数 对等的集合有相同的基数可列个闭集的并集仍为闭集 任何无限集均含有一个可列子集26.设f x为可测集E上的可测函数，则f x dx一定存在.E五、简答题1. 简述无限集中有基数最小的集合，

18、但没有最大的集合答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集 合A,A的幕集2A的基数大于A的基数.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系答：内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限19. 设E为可测集，则一定存在G集G，使E G，且E 0.20. 设E为零测集，f x为E上的实函数，贝U f x不心曰定是E上的可测函数（21. 设f x为可测集E上的非负可测函数，则22.

19、23.可列个开集的交集仍为开集任何无限集均是可列集(X(X)24. 设E为可测集，则一定存在F集F，使F E，且mE0.25. 设E为零测集，则f x为E上的可测函数的充要条件是：实数a都有E x f(x) a是可测集1.2.3.4. 称f x ,g x在E上几乎处处相等是指使f xg x的x全体是可测集.5. 可数个F集的交是F集.6.7.8. 称f x ,g x在E上几乎处处相等是指使g x的x全体是零测集.9. 可数个G集的并是G集.10.11.零测集上的函数是可测函数对等的集合不一定相等.12. 称f x ,g x在E上几乎处处相等是指使的x全体是零测集.13.14.15.16. 称f

20、 x ,g x在E上几乎处处相等是指使的x全体的测度大于17.18.4.a,b上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差 .5.简述集合对等的基本性质 .答：A: A;若A: B，贝U B: A;若A: B，且B:C，贝U A: C.6.简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系 . 答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.7.可测集与开集、G集有什么关系？答：设E是可测集， 贝0， 开集G，使G E，使m G E，或G集G，使G E，且m G E0.8.a,b上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什

21、么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然;有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数.9.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理 .答：若A: B B，又B: AA，贝U A: B10. 简述R1中开集的结构 .答：设G为R1中开集，则G可表示成R1中至多可数个互不相交的开区间的并.11. 可测集与闭集、F集有什么关系？答：设E是可测集，则0,闭集F E，使m EF或F集FE，使m EF .12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？ 答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限 的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微 .13.

22、 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由 .答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.14. 简述Rn中开集的结构 .答：Rn中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？答：设fnx , f x是可测集E上的一列可测函数，那当mE时，fnx f x , a.e于E，必有fnx f x.反之不成立，但不论mE还是mE，fnx存在子列fnkx，使fnx f x ,a.e于E.当mE时，fnx f x ,a.e于E，由Egoroff定理可得fnx近一致收敛于f x，反之，无需条件mE，结

23、论也成立 .16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？ 答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几 乎处处可微 .17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？2x1 1答：不一定，如I 1丄，1丄1,1n 1n n18.可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式19.a,b上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差20.简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？1

24、 1答：不一定 如U 1, 11,1n 1n n21.可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系？答：E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上可测函数在E上是“基本上”22.a,b上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、计算题2xx E，其中E为0,1中有理数集，求11.设f X3x:x dxx 0,1E0,1解：因为mE0，所以f xx3, a.e于0,1， 于是f x dxx3dx，0,10,1而x3在0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系,因此lim fnx dx 0.n0,1

25、3 .13 .x dxRx dx00,1因此fx dx10,14.4XTl2.设rn为0,1中全体有理数,fnX1 x甘2丄rn0 X 0,1甘2丄，求limfnx dx.n0,1解：显然fnx在0,1上可测，另外由fnx定义知,fnx0,a.e于0,1 n 1所以fnx dx0,10dx 00,1连续的函数2x解：因为mP 0，所以f xx2,a.e于0,13.设f Xsin xx Px 0,1 PP为康托集，求x dx.0,1解：因为fnx在0,1上连续，所以可测n 1,2丄于是f x dxx2dx0,1 0,12而X在0,1上连续，所以02而cosx在0,上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布

26、尼公式2cosxdx0,1Rcosxdx0sin x |o1因此fx dx16.设fnxnxcos nx0,1， 求limfnx dxn0,1122，入x2dx0,11x2dx|0因此0,1x dx4.设fnxnxsin nx0,1，求limfnx dx.n0,1解：因为fnx在0,1上连续，所以可测n 1,2丄又fnxnxsin nxnx nx 1行壬2nx 2,x 0, ,n ,而limL 0，所以lim fnx 0.n1 n2x2nlimfnx dxlimfnx dx0dx 00,10,10,13xxE5.设fx，E为0,中有理数集，求1:x dxcosxx0,E22%因此由有界控制收敛

27、定理解：因为mE 0，所以x cosx,a.e于0,1于是f x dx cosxdx又fnnxcos nxnx1 n x因此由有界控制收敛定理而limn0，所以limn0,1dx0,1limn7.设f X.3sin x解：因为mP所以fnx1 n xlim fnxnx dx0,1nx 12nx 2,x0.0dx 00,1P为康托集,x,a.e于0,1而x在0,1上连续，所以12x211xdx RX dx b -0,102 2因此f x dx】.0,12lnx nx8.求lim- e cos xdxn0,nnln x n解：令fnx0,nxn显然fnx在0,上可测，且ln x n-e cos x

28、dxfn0,nn0,In x nx因为fnxe cosxn于是f x dx xdx0,1 0,1xe cosxx dx0,1 ,n0,11,2,Lx dx.In x n,x 0, ,n 1,2丄n、In x n不难验证gnx，当n足够大时，是单调递减非负函数，且nlim gnx 0，所以nlimn0,ln x n dx nlimn0,gnx dxHm gnx0,0dx 00,由勒贝格控制收敛定理limfnx dx 0n0, ln x nx故lim -e cosxdx 0.nn0,n119.设D x1 x 为 0,1 上的有理点0 x 为 0,1 上的无理点，求D x dx.0,1证明记Ei是0

29、,1中有理数集，E2是0,1中无理数集，则0,1E1U E2,E1I E2,mE10,mE21,且E2，所以D x dx 1mE10mE20,10.10求nim0ln x nx-e cosxdx.n证明易知limnln x nxe cosx 0 n对任意0,nxcosxIn x nf(y)In xy 3时,f(n)Inlnlimnlimn再由limnln x n0y 0,则ln x yf (y)丄lnx y2y,f(y) 0.是单调减函数且非负（n 3）；limn0，由Levi单调收敛定理得- dxn0 nimln x n dx n00dx 0，ln x nL(E),Lebsgue控制收敛定理

30、得ln x nxe cosxdx0nln x limnnnxe cosxdx0dx2x11.设f X3x x 0,1，其中P为康托集，求0,1dx.解：因为P为康托集，故mP 0,m 0,1 P 1x 0,1 , n 1七、证明题证明 设rn为全体有理数所成之集，则g(x)UEx|f(x) rnI Ex|g(x)儒n 1所以f xx320,1 PxP所以0,1x dx23x mP x m0,1 P12.求fnnxE0,1， 求limndx.解：易知:令fnxnxlimn1 n xnx2 2,gx0,1nx1 n2x2223n x nxnx2-2巧1 n x21nxnxn2所以0又因为g x在0

31、,1上Lebesgue可积，所以由控制收敛定理，得limn&xE1 n x0dxE1 证明集合等式：(A B)U BAU B证明c(A B)UB (AI B ) U Bc(AI B )U(AI B)U BAI (BU B )U B AU B2设E是0,1中的无理数集，则E是可测集，且mE 1证明 设F是0,1中的有理数集，则F是可数集，*p从而mF 0,因此F是可测集，从而F可测，E 0,1 F 0,1 I Fc，故E是可测集由于EI F，所以1m0,1 m(EUF) mE mF 0mF，故mF 13设f (x),g(x)是E上的可测函数，则Ex|f(x) g(x)是可测集Ex| f(

32、x) g(x)UEx| f(x) rnn 1因为f (x),g(x)是E上的可测函数，所以Ex| f (x) rn,Ex|g(x)制是可测集，n 1,2丄，于是由可测所以f(x)在E上可测的充要条件是对每个n 1,2丄，f (x)在每个En上可测集性质知Ex| f (x)g(x)是可测集因为f(x)在E上可测，所以|f(x)|在E上非负可测，由非负可测函数积分性质,Ex|f(x) | aadxEx|f(x)|a| f (x)dxE| f ( x) | dxEx|f(x)| aadx 9 mEx|f(x)| a，所以m(AUA) m A (A I A)UA mA (A I A) mA mA m(

33、A I A2) mA,m(A(I A2) mA(mA2m(A(U A2)0n 1,2, L)，且EUEn，则f (x)在E上n 1可测的充要条件是f (x)在每个En上可测证明对任何实数a，因为4.设f (x)是E上的可测函数，则对任何常数a 0，有mEx|f(x)| a1；E|f(x)dx证明5.设limnmEx | f(x)|f (x)是E上的L可积函数,f (x)dx 0En证明因为lim mEnn0，所以对连续性,0,0,当e于是当n N时,mEn6.证明集合等式:(A B)证明A (A B)7.设证明1a；E|f(x)dxEn是E的一列可测子集，且lim mE,0，则0, NE, m

34、e因此|EIAl BAI (AI Bc)cAI(AI Ac)U(AIA,A2是0,1的可测子集，且mA因为A 0,1, A20,1，所以另一方面,1，当n N时，mEn，又f (x)在E上L时| f (x)dx|ef (x)dx|，即lim f (x)dx 0nEn可积，所以由积分的绝(AcU(Bc)c)B) AI BmA21，则AI(AcUB)m(A I A2)0AUA20,1，于是m(A1U A2)m0,1 1A u A?A (Al A2)UA2，所以&设f (x)是定义在可测集E Rn上的实函数，En为E的可测子集所以f(x)在E上可测的充要条件是对每个n 1,2丄，f (x)在

35、每个En上可测Ex| f(x) aUEnx| f (x) aU(EnI Ex| f(x) a)9.设f(x)是E上的可测函数，则对任何常数a 0，有mEx| f (x) a eaEef(x)dxaf (x)f (x)e dxe dx e dxExf(x) aE x|f (x) aE/ ,aa而Ex|f(x) aedx e mEx| f(x) a，fn(x) gn(x) f(x) g(x)证明对任何正数0,由于|( fn(x) gn(x)( f (x)g(x)|fn(x) f(X)|(x) g(x) |所以Ex|(fn(x) gn(x) (f(x)g(x)|Ex I fn(x) f(x)| -U

36、Ex|gn(x) g(x)| -于是mEx|(fn(x) gn(x) (f (x)g(x) |证明 因为f(x)在E上可测，所以ef(x)是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，所以mEx| f (x) aeaef(x)dxE10设f (x)是E上的可积函数,En为E的一列可测子集，mE，如果lim mEnmEn则limnEf(x)dxEnEf (x)dx证明因f (x)在E上L可积,由积分的绝对连续性知，对任意对任何A E，当mAmEAf (x)dx |,由于lim mEnmEn，故对上述的0，存在ko，且有mEnm(E En)|Ef(x)dxEnf(x)dx| |E Ef(x)dx|E

37、 Enlim f (x)dxn EnEf(x)dx11.证明集合等式：(AUB)C (A C)U(B C)证明(AUB) C (AU B)I Cc(AI Cc)U(BI Cc)(AC)U(B C)12 设ERn是零测集，则E的任何子集F是可测集，且mF证明设F E,m E 0，由外测度的单调性和非负性,m F mE 0,所以m F 0,于是由卡氏条件易知F是可测集13 .设fn(x), gn(x), f (x), g(x)是E上几乎处处有限的可测函数，且fn(X)f (x),gn(x)g(x)9.设f(x)是E上的可测函数，则对任何常数a 0，有mEx| f (x) a eaEef(x)dxm

38、Ex I fn(x) f(x)| - mEx|gn(x) g(x)| -0(n)故fn(X)gn(X)f(X)g(X)14设f (x),g(x)是E上L可积函数，则. f2(x) g2(x)在E上也是L可积的证明 因f(x), g(x)是E上L可积，所以| f(x)|,|g(x)|在E上L可积，从而|f(x)|g(x)|L可积，又，f2(x)g2(x), (| f(x) Hlg(x) |)2| f(x)|g(x) |故 .f2(x) g2(x)在E上L可积15设f (x)是可测集E上的非负可测函数，如果ef (x)dx 0，则f (x) 0ae于E证明 反证，令A Ex| f (x) 0，则由

39、f(x)的可测性知，A是可测集下证mA 0，若不然，则mA 01由于A Ex| f (x)0UEx| f (x)-，所以存在N 1,使n 1n1mEx| f(x)-Nd0于是Ef(x)dx1f (x)dxEx|f(x)丄N1111dxmEx | f (x)Ex|f(x)RNNNN 0因此f (x)dxE0,矛盾，故f(x)0a.e于E16证明等式：A (BUC) (A B)l (A C)证明cccccA (BUC) AI (BUC) AI (B I C ) (AI B )I (AI C ) (A B) I (A C)17设ERn是有界集，则m E证明 因为E是有界集，所以存在开区间I，使E I

40、由外测度的单调性，m*Em*I,而m*l |I |118.R上的实值连续函数f(x)是可测函数证明 因为f(x)连续，所以对任何实数a,x| f (x) a是开集，而开集为可测集，因此f(x)是可测函数19设mE，函数f (x)在E上有界可测，则f(x)在E上L可积，从而a,b上的连续函数是L可积的 证明 因为f(x)在E上有界可测，所以存在M 0,使| f (x)| M,x E,| f(x)|是非负可测函数，由非负可测 函数的积分单调性，J f(x)|dxEMdx M mE故|f(x)|在E上L可积，从而f (x)在E上L可积因为a,b上的连续函数是有界可测函数，所以L可积的证明 对任何常数0,mEx|fn(x)|fn(x)|dx1所以mEx| fn(x)| Ex|fng |fn(x)|dX1E| fn(x)|dx 0(n)因此fn(x)021.证明集合等式：AUB C ACUBC.证明AU B C AU B I CcAI CcU BI CcACU