概率论和数理统计之随机变量及其分布

1、概率论和数理统计之随机变量及其分布例 总机某段时间内接到的 次数， 可用一个变量 X 来描述：X = 0，1，2， 例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可能出现的两个结果 ， 也可以用一个变量来描述也可以用一个变量来描述: 正正品品次次品品,0,1)(X 例 考虑考虑“测试灯泡寿命测试灯泡寿命”这一试验，以这一试验，以 X 记灯泡的寿命（以小时计）则：记灯泡的寿命（以小时计）则：X = t， ( t0 )设 S 是随机试验E的样本空间， 若定义定义SX() 按按一一定定法法则则实实数数则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量随机变量一般用大写英文字母X， Y ，Z ， 或小写

2、希腊字母 ， ， ，表示随机变量 是SR上的映射， 此映射具有如下特点:v 定义域定义域 事件域 S ；v 随机性随机性 随机变量 X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；v 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值或某些 值 。 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件，就有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。可以通过随机变量的关系式表达出来。 如：单位时间内某如：单位时间内某 交换台收到的呼叫次数用交换台收到的呼叫次数用 X 表示，它是一个随机变量。表示，它是一个随机变量。 收到不少于收到

3、不少于1次呼叫次呼叫 X1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X =0 可见，随机事件这个概念实际上是包容在可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。也可以说，随机随机变量这个更广的概念内。也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。量与变量的区别那样。 非非离离散散型型随随机机变变量量随随离离散散型型随随机机变变量量机机变变量量随机变量分类所有取值所有取值可以逐个可以逐个一一列举一一列举全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还

4、不无穷多，而且还不能一一列举。能一一列举。 连连续续型型随随机机变变量量X 的可能取值为：的可能取值为：解：解：4000，400，40，4，0 。 若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限个的可能取值是有限个或可列个，或可列个， 则称则称 X 为离散型随机变量。为离散型随机变量。定义描述描述X 的概率特性常用概率分布列或分布列的概率特性常用概率分布列或分布列kkP( Xx )p , k1,2, X 12kxxxp 12kppp即即或1) kp0, k1,2,非负性非负性2) 1p1kk 正则性正则性概率分布的特征例例1 1 一批产品的次品率为一批产品的次品率为8% ，从中抽取，从中抽取1件件

5、进行检验，令进行检验，令 写出写出 X 的分布律的分布律. 1,X0, 次次品品正正品品X 的分布律为的分布律为: X 10p 08. 092. 0概率分布图概率分布图 : 0.080 1 x y0.92 解：解：两点分布( 01分布) 只取两个值的概率分布分布律为： X 1 0pk p 1 - p0 p 11,0k,)p1(p)kX(Pk1k 或应用场合 凡试验只有两个可能结果，常用0 1分布描述，如产品是否合格， 人口性别统计， 系统是否正常， 电力消耗是否超标等。1010件产品中，有件产品中，有3 3件次品，任取两件，件次品，任取两件，X是是“抽得的次品数抽得的次品数”，求分布律。，求分

6、布律。X 可能取值为可能取值为 0，1，2。P X0 P X1 例例2解：解：76710915 27210CC 2174515 1137210C CC P X2 115所以，所以，X的分布律为：的分布律为：注 求分布律，首先弄清 X 的确切含义及其所有可能取值。例例3 上海的“天天彩”中奖率为p ，某人每天买 1 张， 若不中奖第二天继续买 1张， 直至中奖为止。求该人购买次数 X 的分布律。X= k 表示购买了表示购买了 k 张，张， 前前 k-1张都未张都未中奖，中奖， 第第 k 张中了奖。张中了奖。 ,2,1k)p1( p)kX(P1k 几何分布适用于试验首次成功的场合适用于试验首次成功

7、的场合解：解：1 2 3 k-1 k 例例4 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等灯显示的时间相等. 以以 X 表示该汽车首次遇到红表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布。的概率分布。Ai = 第第 i 个路口遇红灯个路口遇红灯 ， i=1，2，3解解:设设依题意，依题意， X 可取值可取值 0，1，2，3。 P X=0 =P (

8、A1 ) =P X1路口路口3路口路口2路口路口112P( A A )1(1p)p4路口路口3路口路口2路口路口1p =1 / 2 ， P X2 123P( A A A )21(1p) p8路口路口3路口路口2路口路口1P X3123P( A A A )31(1p)8路口路口3路口路口2路口路口1概率分布：二项分布贝努里概型和二项分布例例 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p，生女孩的概率为，生女孩的概率为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿中个婴儿中“男孩男孩”的个数。的个数。我们来求我们来求X的概率分布。的概率分布。X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男

9、孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.04C04p (1p) 14 1p (1p) 14C34C24C44C24 2p (1p) X=0X =1X =2X =3X =434 3p (1p) 44 4p (1p) kk4 k4P(Xk)C p (1p)k0,1,2, 3,4 设试验设试验 E 只有两个结果：只有两个结果：和和 ，记记: :将将 E 独立地重复独立地重复 n 次，则称这一串重次，则称这一串重复的独立试验为复的独立试验为 n 重贝努利重贝努利( Bernoulli )试试验，简称为贝努利验，简称为贝努利( Bernoulli )试验试验P( A)p,P( A

10、)1pq(0p1)A在在n重贝努利试验中重贝努利试验中，事件，事件A可能发生可能发生0, 1,2, n 次次kkn knP(Xk)C p (1p)k0,1,2,n L L称称 X 服从参数为服从参数为 p 的二项分布的二项分布( (binomial) )。X B( n, p )记作：记作： 当当n=1时，时， P(X=k) = pk (1-p)1-k k = 0,1 即即0-1分布分布（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ， A 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试

11、验条件相同； 且且P(A)=p ， ； P( A)1p（3）各次试验相互独立。）各次试验相互独立。二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现“成功”次数 X 的概率分布。 二项分布二项分布 的分布特点：的分布特点： XB(n,p) 当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k) 在在 k=(n +1)p 和和 k =(n+1)p-1 处达到最大值；处达到最大值；当当(n+1)p不为整数时，二项概率不为整数时，二项概率P(X=k)在在 k=(n+1)p 达到最大值。达到最大值。计算计算例例5 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回地取有放回地取3次

12、，每次任取次，每次任取1个，求在所取个，求在所取的的3个中恰有个中恰有2个次品的概率。个次品的概率。解解:依题意，依题意，p = 0.05设设 X 为所取的为所取的3个中的次品数。个中的次品数。则则 X B( 3, 0.05 ) ,于是，所求概率为于是，所求概率为：2213P X=2= C 0.05 0.950.007125 计算计算例例6设有设有80台同类型设备，各台工作是相互独立台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由工人的方法

13、，其一是由4人维护，每人负责人维护，每人负责20台；其二是由台；其二是由3人共同维护人共同维护80台。试比较这两台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。率大小。 kP Xk 1 1=0=0=1-=1-002011192020C0.01 0.99C0.01 0.99 =1-=1-X = 第第1人维护的人维护的20台中同一时刻故障台数；台中同一时刻故障台数；Ai ：第：第i人维护的人维护的20台故障不能及时维修台故障不能及时维修” （i1， 2， 3， 4）；）；1234P( AAAA ) P X21P( A ) =0 0169. .解：解

14、： 按第一种方法。按第一种方法。而而Xb（20， 0.01），），故有故有80台中发生故障而不台中发生故障而不能及时维修的概率为：能及时维修的概率为：计算计算 P Y4 设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；按第二种方法。按第二种方法。0.0087 k80 kk800.010.99k 3 3=0=0=1-=1- N ) N) 300kk300 k300kN1C( 0.01) ( 0.99 ) k3300kN13 ek! n大，大， p小，小， np=3，用用 =np=3的泊松近似的泊松近似 我们求满足我们求满足k3kN13 e0.01k! 的最小的的最小的N.查泊松分布表得查泊松分布表得3k

15、k 9e30.0038,k! 3kk 8e30.012,k! N+1 9，即即N 8即至少需配备即至少需配备8个维修人员个维修人员.计算计算x定义 设 X 为随机变量， x 是任意实数 ， 称函数xxF()P()xX, 为X 的分布函数。几何意义：Xx分布函数的基本性质1. 单调性单调性1212xxF( x )F( x )有有2. 有界性有界性1x0F( x )1有有F()0F()1 且且，3. 右连续性右连续性000 xxxlim F( x )F( x )， 有有鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。数的充分必要条件。x 由定义知 X 落在

16、区间( a ，b 里的概率可用分布函数来计算：P(aXb) P( Xb) P( Xa) F(b)F(a) baaxP( X)a P( Xa)?PaxXa x0 limP( Xa) F(a)F(a0 ) aa-xxF(a)F(ax ) x0 limXa1P() 1F(a ) 用分布函数表示概率P( aXb )F( b )F( a ) P( Xa)F(a)F(a0 )P(aXb)P(aXb)P(aXb)请填空F(b)F(a0 )F(b0 )F(a)F(b0 )F(a0 )解 ：X 的分布律为 例例1 1 求例2中的分布函数 并作图. F(x)012x715115 分布函数为 F(x) PXx 0

17、x0 70 x115 141x215 1x2 xxxx012x1F(x)的图形为:)(xF7/157/151/15一般情形为:F( x)P( Xx) x2x1x1xnxkpkp2p1pnxkkk: xxp kkk: xxP( Xx ) U U例2 设随机变量设随机变量 X的分布函数为的分布函数为:F xABxx ( )arctan ,试求：（试求：（1）系数）系数 A， B ; （2）X落在（落在（-1，1）内的概率）内的概率解：由性质解：由性质F()0, F()1 AB()0 ,AB()12211A,B2 P 1X1F(1)F( 1) 111p=arctan( )-arctan(- )12

18、柯西分布函数离散随机变量的分布函数 F( x) 是分段阶梯函数，是分段阶梯函数， 在在 X 的可能取值的可能取值 xk 处处发生间断，发生间断， 间断点为第一类跳跃间断点，间断点为第一类跳跃间断点， 在间断在间断点处有跃度点处有跃度 pkkkk: xxF( x)P( Xx)p kkkk 1pP(Xx )F(x ) F(x) xyy = f(x)F(x)PxX xf tt ( )dxf tt ( )dxX返回返回 对任意实数 x ， 若随机变量 X 的分布函数可写成：定义定义2.3xF xf ttx ( )( )d其中其中 ，则称，则称 X 是连续型随机是连续型随机变量，称变量，称f ( x )

19、为为X 的概率密度函数，的概率密度函数， 简简称为密度函数或概率密度。称为密度函数或概率密度。 记为记为:f( x )0 X f(x)概率密度概率密度 f(x) 的性质的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。f( x )0 1.f tt1 ( )d2.3. 在在 f (x) 的连续点处有的连续点处有f( x)F ( x) 4. 对连续型随机变量对连续型随机变量 X 有：有：P(aXb) 1.P(Xa)F(a) F(a 0) 0 P(aXb) P(aXb) baf(t)dt F(b)F(a) P(aXb)2.P xXxxf xxd ( )d3.图形

20、图形例例1 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续随机变量， 其密度函数为：2cf ( x ),x1000 x0 其其他他(1) 求常数求常数 c ； (2) 计算P( X17001500X2) ;000 (3) 已知一设备装有3个这样的电子管， 每个电子管能否正常工作相互独立， 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率。解：解：(1) 令令21000cf(xxxx1 )dd1000cx c = 1000(2) P( X17001500X2000 ) P( X1700,1500X2000) P(1500X2000) P(1500X1700) P(1500X2000) 170021500

21、1000 xx d2000215001000 xx d451162451 c1000(3)设设A 表示一个电子管的寿命小于表示一个电子管的寿命小于1500小时小时15000P(A)P 0X1500f xx ( )d15002100010001xx3 d设在使用的最初设在使用的最初1500小时三只晶体管中小时三只晶体管中损坏的只数为损坏的只数为Y1 B ( 3 ,)313 1134911P(Y1)C133 20,x0F( x )x ,0 x11,x1 例例2 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为：的分布函数为：(1) 求求X取值在区间取值在区间 (0.3，0.7)的概率；的概率；(2) 求求X

22、的概率密度。的概率密度。解解: (1) P(0.3X0.7）= 0.72- 0.32 = 0.4=F(0.7)-F(0.3)20,x0F( x )x ,0 x11,x1 例例3 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为F xxd( )d解解: (2) f(x)=注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值。F ( x ) F ( x ) 2x,0 x10, 其其它它若随机变量若随机变量 X 的的密度函数为：密度函数为：1axbf ( x )ba0 其其他他xf ( x)ab则称 X 服从区间 a ， b

23、上的均匀分布。均匀分布。X U(a,b )记作记作均匀分布例例4 4 若X U( a,b )，求 F (x) 。解：解：xF xf tt ( )( )dxf ( x)abx 1xb xaaxbba 0 x 0为未知参数，则称为未知参数，则称 X 服从参数服从参数为为，的正态分布，记为：的正态分布，记为：2X N (,) 正态分布 正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨量正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨量, ,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误

24、差，射击目标的水平或垂直穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。布。0-+1222( x)12ye xy正态分布密度函数正态分布密度函数00.20.40.60.811.21.40.512动态动态演示演示,当=0, =1时当=0, =1时称 X 服从标准正态分布标准正态分布概率密度函数为：概率密度函数为：2x21( x )e2 分布函数为：分布函数为：2tx21( x )edt2 ( x ) 的函数值可查正态分布表。的函数值可查正态分布表。例：例：X N(0,1)P X1 求求P X1 (1) 查表查表0.

25、8413记为：记为：X N(0,1 )1( x ) (x ) 对标准正态分布，有：对标准正态分布，有：0 x-x2X N(,) 一一般般，ZFZ( x )证：的分布函数为：证：的分布函数为：引理：2.XX N(,)ZN(0,1) : :若若，则则P Xx22( t)x21edt2 tutudtdu 令令或或2ux21edu2 ( x ) XP ZxPx 2X N(,) 若若XxP XxPxF()ZxxP ZF ()x() 于是：2211F( xP xXx)F( x12xx()()例例3：2X N(,)1 ) P X2 ) P X23 ) P X3 设设求求：P X1 ) 解解：()() (1

26、)(1 ) PX PXF()F()20.841368.26%1 2(1)1 2 )PP X22X2 2()2() ( 2 )(2 )2( 2 )121 095.44%.9772 P2X2 F(2)F(2)3 )PP X33X3 ( 3 )(3 )2( 3 )121 099.74%.9987 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 “3 准则准则” （三倍标准差原则）。）。可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3 区间内区间内. . 分位点分位点2X N(,) 设设zP Xz 若若满满足足条条件件：则则 称为标准正态分布的上称为标准正态分布的上 分位点。分位点。 z

27、0 z 1z 1zz 常用 值：z z 问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.例如，已知例如，已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V 的分布，的分布，t0t0求功率求功率 W = V 2/R 的分布的分布 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分的分布？布？ 这个问题无论在实践中还是在理论上这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。都是重要的。下面进行讨论。下面进行讨论。例例 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的

28、分布求求 Y 1= 2X 1 与与 Y 2= X 2 的分布律的分布律解:Y 1= 2X 1 的分布律的分布律:解:Y 2= X 2 的分布律的分布律:结论设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为：kkP( Xx )p , k1,2, L L由已知函数由已知函数 g( x)可求出随机变量可求出随机变量 Y 的所有的所有可能取值，则可能取值，则 Y 的概率分布为：的概率分布为：kiikk: g( x ) yP(Yy )p , i1,2, L L连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布分布函数法分布函数法问题：XYXf ( x )Yg( X ),Yf ( y) 已知：随机变量的概率密度函数为已知：随机变量的概率密度函数为随机变量求 的概率密度函数 随机变量求 的概率密度函数 YYYF ( y),Yf ( y)先求出 的分布函数先求出 的分布函数再求 的概率密度函数 再求 的概率密度函数 方法：例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度Xf ( x )x, ， -， -2YYXf ( y) 求的概率密度函数 求的概率密度函数 解：解：YF ( y )PYy Q Qy 0PyXy XXF (y )F (y )yxy yyy2P Xy XXY1 f (y )f (y )y02yf ( y )0y0 XX11f (y )f (y