第5章远期、期货和互换定价

1、第第5章章 远期、期货和互换定价远期、期货和互换定价n5.1 远期和期货合约定价远期和期货合约定价n5.2 期货的预期收益和风险期货的预期收益和风险n5.3 商品资产价格风险套期保值商品资产价格风险套期保值n5.4 金融资产价格风险套期保值金融资产价格风险套期保值n5.5 多元风险期货对冲多元风险期货对冲n5.6 互换合约定价互换合约定价n在金融衍生工具市场，交易量最大的是利率远在金融衍生工具市场，交易量最大的是利率远期、期货和互换。本章将推导远期和期货合约期、期货和互换。本章将推导远期和期货合约无套利定价关系。利用期货合约为商品资产和无套利定价关系。利用期货合约为商品资产和金融资产套期保值。

2、互换合约是多个远期合约金融资产套期保值。互换合约是多个远期合约的组合。的组合。n可以证明，当远期合约和期货合约的无风险利可以证明，当远期合约和期货合约的无风险利率相同率相同(而且为常数时而且为常数时)、标的资产的当前价格、标的资产的当前价格相同、签约日和到期日相同时，远期合约的价相同、签约日和到期日相同时，远期合约的价格等于期货合约的价格。格等于期货合约的价格。5.1 远期和期货合约定价远期和期货合约定价n假设标的资产的当前价格为假设标的资产的当前价格为S S元，远期价格为元，远期价格为f f，期货价，期货价格为格为F F元，远期和期货的期限均为元，远期和期货的期限均为T T年，期限为年，期限

3、为T T年的无年的无风险利率为风险利率为r r。如果标的资产为持有人支付连续复利。如果标的资产为持有人支付连续复利（或成本）（或成本）q q，期货合约（或远期合约）的持有成本，期货合约（或远期合约）的持有成本( (或或价格价格) )为：为：n在远期或期货有效期内，如果标的资产为持有人支付离在远期或期货有效期内，如果标的资产为持有人支付离散现金流，则远期或期货的持有成本为散现金流，则远期或期货的持有成本为: :n其中：其中：nn n为期货合约有效期内标的资产支付现金流的次数；第为期货合约有效期内标的资产支付现金流的次数；第i i次支付的现金流为次支付的现金流为D Di i。TqrSeFf)( F

4、VDSeFfrTnitTriieDFVD1)(n如果远期和期货价格等于持有成本没有如果远期和期货价格等于持有成本没有套利机会，原因是投资者以利率套利机会，原因是投资者以利率r从银行从银行借钱，买入借钱，买入S元的标的资产，元的标的资产，T年后必须年后必须偿还银行偿还银行SerT元，再减去标的资产支付元，再减去标的资产支付的现金流终值的现金流终值FVD。5.2 期货的预期收益和风险期货的预期收益和风险n与其他风险资产一样，期货价格也有预期收益和风险。与其他风险资产一样，期货价格也有预期收益和风险。n（1）期货的预期收益）期货的预期收益n为了建立期货收益率和标的资产收益率之间的变化关系，为了建立期

5、货收益率和标的资产收益率之间的变化关系，我们重新考察期货合约的定价关系。我们重新考察期货合约的定价关系。n这里我们在期货价格和标的资产价格上加上时间下标这里我们在期货价格和标的资产价格上加上时间下标t，用于表示期货到期前的任某一时刻。两边取对数得到：用于表示期货到期前的任某一时刻。两边取对数得到：n在在t-1时刻的对数关系为时刻的对数关系为:)(tTqrtteSFttStTqrFln)(ln11ln) 1)(lnttStTqrFn两式相减，可以得到期货价格变动对数收益率。两式相减，可以得到期货价格变动对数收益率。n其中其中 为标的资产价格对数收益率。为标的资产价格对数收益率。n期货价格收益率小

6、于标的资产价格收益率，差额为期货价格收益率小于标的资产价格收益率，差额为r-q。 )/ln()()/ln(11ttttFSSqrFFr)(qrrrSF)/ln(1ttSSSrn（2）期货的收益和风险关系）期货的收益和风险关系n期货价格收益率和标的资产价格收益率均为随机变量，期货价格收益率和标的资产价格收益率均为随机变量，他们的方差关系为：他们的方差关系为：nr-q因为为常数，因此因为为常数，因此n也就是说，期货合约的贝塔系数等于标的资产的贝塔也就是说，期货合约的贝塔系数等于标的资产的贝塔系数。系数。)()(qrrVarrVarSF)()(SFrVarrVarSMMSMMSMMFFrVarrrC

7、ovrVarrqrrCovrVarrrCov)(),()(),()(),(n根据资本资产定价模型，标的资产的预期收益为：根据资本资产定价模型，标的资产的预期收益为：n因为因为 而期货合约的预期收益为：而期货合约的预期收益为：n投资者买入标的资产时，相当于买入两种资产，无风投资者买入标的资产时，相当于买入两种资产，无风险资产和风险溢价。买入期货时，投资者只承担了风险资产和风险溢价。买入期货时，投资者只承担了风险，而没有获得无风险收益。险，而没有获得无风险收益。n（3 3）利用期货对收益率套期保值）利用期货对收益率套期保值n利用期货合约可以对标的资产的收益率进行套期保值。利用期货合约可以对标的资产

8、的收益率进行套期保值。为了说明问题，我们假设持有一单位标的资产和为了说明问题，我们假设持有一单位标的资产和 单位期货合约，投资组合的预期收益率为：单位期货合约，投资组合的预期收益率为：SMSqrrqrr)(SMFqrrr)()(qrrrFSFnn n因为因为 为常数项，因此组合标准差为：为常数项，因此组合标准差为：n如果如果 时，投资组合中只有风险资产没有期货，风时，投资组合中只有风险资产没有期货，风险资产没有被保值。险资产没有被保值。n如果如果 时，投资组合中包括时，投资组合中包括1单位风险资产，卖出单位风险资产，卖出1单位期货合约，风险资产完全被保值，投资组合的风单位期货合约，风险资产完全

9、被保值，投资组合的风险等于零。险等于零。n如果如果 ，都会降低投资组合风险。，都会降低投资组合风险。n如果如果 ，或者，或者 ，都会增加投资组合的风险。，都会增加投资组合的风险。)()1 ()(qrnrnqrrnrrnrrFSFSFSFFSPSFPn)1 ( )(qrnF0Fn1Fn02FnFn20Fn5.3 商品资产价格风险套期保值商品资产价格风险套期保值n利用期货合约套期保值的目的是让投资组合的市场价利用期货合约套期保值的目的是让投资组合的市场价格变化最小。因此，投资组合的目标函数是投资组合格变化最小。因此，投资组合的目标函数是投资组合的市场价格方差最小。的市场价格方差最小。n5.3.1

10、价格风险最小化价格风险最小化n为了推导标的资产价格风险最小化套期保值策略，假为了推导标的资产价格风险最小化套期保值策略，假设我在设我在t时刻买入某种商品，时刻买入某种商品，t时刻的现货价格为时刻的现货价格为St 。假设假设t时刻的期货价格为时刻的期货价格为Ft ，执行价格为，执行价格为F。假设买入。假设买入N份期货合约，在份期货合约，在t时刻投资组合的净成本为：时刻投资组合的净成本为：n当当N=0时，标的资产没有套期保值，时，标的资产没有套期保值，t时刻按现货市场时刻按现货市场价格买入标的资产。价格买入标的资产。)(FFNSVtttn为了求出买入（或卖出）期货数量，计算净持为了求出买入（或卖出

11、）期货数量，计算净持有成本的方差。因为有成本的方差。因为N N和和F F为常数，因此投资组为常数，因此投资组合的净持有成本的方差为：合的净持有成本的方差为：n其中：其中： 为标的资产现货价格的方差；为标的资产现货价格的方差； 为期货价格的方差；为期货价格的方差； 为标的资产现货为标的资产现货价格与期货价格之间的协方差。价格与期货价格之间的协方差。)()()(tttttNFSVarFFNSVarVVar),(2)()(2ttttFSNCovFVarNSVar)(tSVar)(tFVar),(ttFSCovn为了求出为了求出 最小化的期货合约数量，求期货合约最小化的期货合约数量，求期货合约数量的偏

12、导数，并令其等于零。数量的偏导数，并令其等于零。n组合价格风险最小化的期货合约数量为：组合价格风险最小化的期货合约数量为：n其中：其中： 为标的资产现货价格与期货价格之间的相关为标的资产现货价格与期货价格之间的相关系数；系数； 为现货价格的标准差；为现货价格的标准差； 为期货价格的标为期货价格的标准差。准差。n因为标的资产的现货价格标准差和期货价格标准差均因为标的资产的现货价格标准差和期货价格标准差均为正数，而且两者的相关系数也为正数。为正数，而且两者的相关系数也为正数。 为负数，为负数，表示如果投资者持有标的资产多头，就必须持有期货表示如果投资者持有标的资产多头，就必须持有期货空头。空头。)

13、(tVVar0),(2)(2)(ttttFSCovFNVardNVdVarFSSFtttFVarFSCovN)(),(*SFSF*Nn因为标的资产的现货价格与期货价格到期时相因为标的资产的现货价格与期货价格到期时相等，等， ，因此，因此 ， 。也就是说，套。也就是说，套期保值的有效性取决于标的资产的现货价格与期货价格的期保值的有效性取决于标的资产的现货价格与期货价格的相关性。相关性。n如果标的资产的现货价格与期货价格完全正如果标的资产的现货价格与期货价格完全正相，相， ， ，卖出一份期货合约，套期保值是完，卖出一份期货合约，套期保值是完全的。全的。n如果标的资产的现货价格与期货价格完全负相如果

14、标的资产的现货价格与期货价格完全负相关，关， ， ，买入一份期货合约，套期保值也，买入一份期货合约，套期保值也是完全的。是完全的。n如果如果 ，套期保值不完全有效，相关系数越接近于，套期保值不完全有效，相关系数越接近于零，套期保值的效果越差。零，套期保值的效果越差。n如果如果 ，标的资产的现货价格与期货价格相互独，标的资产的现货价格与期货价格相互独立，套期保值没有意义。立，套期保值没有意义。TTSF SFSFN*1SF1*N1SF1*N11SF0SFn5.3.2 5.3.2 方差和协方差的估计方差和协方差的估计n为了求出组合价格风险最小化的期货合约数量，我们为了求出组合价格风险最小化的期货合约

15、数量，我们必须求出标的资产的价格方差必须求出标的资产的价格方差 和期货价格方和期货价格方差差 。为了方便起见，我们假设期货合约的期。为了方便起见，我们假设期货合约的期限为天，保值期间标的资产的收盘价格限为天，保值期间标的资产的收盘价格为为 , , ,时间序列的方差为：时间序列的方差为：n其中：其中： ，满足独立同分布。标的资产价格，满足独立同分布。标的资产价格的方差为：的方差为：)(tSVar)(tFVarTSSSS,210Tt, 2 , 1TtttTttSSVarSSVar1112)()()()(ttSTVarSVar1tttSSSn同理，期货价格的方差为：同理，期货价格的方差为：n标的资产

16、价格与期货价格之间的协方差为：标的资产价格与期货价格之间的协方差为：n组合价格风险最小化的期货合约数量可以表示组合价格风险最小化的期货合约数量可以表示为：为：)()(ttFTVarFVar),(),(ttttFSTCovFSCovFSFSttttttFTVarFSTCovFVarFSCovN,*)(),()(),(n其中：其中：n有了标的资产的市场价格和期货合约的市场价格后，有了标的资产的市场价格和期货合约的市场价格后，我们首先计算它们的价格增量，然后再计算价格增量我们首先计算它们的价格增量，然后再计算价格增量的平均值，然后计算它们的标准差和相关系数。的平均值，然后计算它们的标准差和相关系数。

17、TttSSST12)(11TttFFFT12)(11TttTttTtttFSFFSSFFSS12121,)()()(n5.3.3 用线性回归求期货合约数量用线性回归求期货合约数量n除了用现货和期货市场价格增量计算风险最小化期货除了用现货和期货市场价格增量计算风险最小化期货合约数量外，我们还可以用二者的线性回归计算风险合约数量外，我们还可以用二者的线性回归计算风险最小化期货合约数量。只要价格增量时间序列数据足最小化期货合约数量。只要价格增量时间序列数据足够多，就可以回归。够多，就可以回归。n回归系数定义如下：回归系数定义如下：n风险最小化期货合约数量为：风险最小化期货合约数量为：tttFS10)

18、(),(1tttFVarFSCov1*Nn线性回归方法的保值效果用拟合优度线性回归方法的保值效果用拟合优度 表示。表示。n其中：其中： 为未保值方差。如果为未保值方差。如果 ，表示，表示资产价格风险得到完全保值；如果资产价格风险得到完全保值；如果 ，表，表示资产价格无法得到保值。示资产价格无法得到保值。2R)()(1)()()()()(212tttttttSVarVarSVarVarSVarSVarFVarR)(tVar12R02R5.4 金融资产价格风险套期保值金融资产价格风险套期保值n基金经理的主要任务就是最小化组合的风险，组合风险基金经理的主要任务就是最小化组合的风险，组合风险用组合的方

19、差来衡量。用组合的方差来衡量。n其中：其中： 为组合的市场价格；为组合的市场价格； n 为金融资产组合的市场价格；为金融资产组合的市场价格； n 为金融期货合约的市场价格；为金融期货合约的市场价格；n 为期货合约数量。为期货合约数量。n金融资产与商品不同，金融资产的价格变化来源于两个金融资产与商品不同，金融资产的价格变化来源于两个因素，一是金融资产随时间的价格变化，二是金融资产因素，一是金融资产随时间的价格变化，二是金融资产派息。这里假设金融资产的派息都投资于该金融资产。派息。这里假设金融资产的派息都投资于该金融资产。因此在计算金融资产风险最小化期货合约数量时，使用因此在计算金融资产风险最小化

20、期货合约数量时，使用组合价格的自然对数，而不是组合价格本身。组合价格的自然对数，而不是组合价格本身。)()(tttNFSVarVVartVtStFNn假设期货合约的期限为假设期货合约的期限为T T天，每天的价格对数天，每天的价格对数为为 。组合收益率的方差为：。组合收益率的方差为：n其中：其中： 是组合连续复利收益率，并且是组合连续复利收益率，并且服从独立同分布，组合对数方差等于收益率的方差服从独立同分布，组合对数方差等于收益率的方差乘以乘以T T。n同理，期货价格对数的方差为：同理，期货价格对数的方差为：)()lnln(1,112TttSTtttrrVarSSVarSTSSSSln,ln,l

21、n,ln210)/ln(1,tttSSSr)()(ln,tStrTVarSVar)()(ln,tFtrTVarFVarn组合价格对数与期货价格对数之间的协方差为：组合价格对数与期货价格对数之间的协方差为：n从零时刻到从零时刻到T T时刻，组合风险最小化期货合约数量为：时刻，组合风险最小化期货合约数量为：n其中：其中： 为组合价格对数收益率的标准差；为组合价格对数收益率的标准差； n 为期货价格对数收益率的标准差；为期货价格对数收益率的标准差；n 组合收益率和期货收益率之间的相关系数。组合收益率和期货收益率之间的相关系数。),()ln,(ln,tFtSttrrTCovFSCovFSFSrrrrt

22、FtFtStttrTVarrrTCovFVarFSCovN,*)(),()(ln)ln,(lnSrFrFSrr ,n组合对数最小化卖出期货合约的数量也可以用线性回组合对数最小化卖出期货合约的数量也可以用线性回归求出。组合价格的对数与期货价格的对数存在下列归求出。组合价格的对数与期货价格的对数存在下列关系：关系：n其中斜率其中斜率 为价格弹性系数，表示期货价格对数变为价格弹性系数，表示期货价格对数变化百分之一，组合价格对数的变化百分比化百分之一，组合价格对数的变化百分比, ,即即 。n为了套期保值，我们需要知道单位期货价格的变化，为了套期保值，我们需要知道单位期货价格的变化，组合价格的变化数量组

23、合价格的变化数量 。我们知道组合价格的。我们知道组合价格的变化为零时风险最小。变化为零时风险最小。tttFSlnln1011ln/lnFdSddFdS/0)(tttttttdFdFdSdSNdFdSdVn其中期货合约数量其中期货合约数量 。根据导数的乘。根据导数的乘法规则，我们可以通过法规则，我们可以通过 , ,求求 。n也就是说，卖出期货合约的数量也就是说，卖出期货合约的数量为为 。dFdSN/1ln/lnFdSddFdS /)(1lnlnlnln11ttttttttttttFSFSdFFdFdSdSddSdFdS)/(1ttFSNn对公式对公式 求一级差分，得到求一级差分，得到组合价格对数

24、收益率和期货价格对数收益率之组合价格对数收益率和期货价格对数收益率之间的关系。间的关系。n其中：其中： ， ，并且，并且误差项误差项 服从独立同分布。尽管服从独立同分布。尽管 和和 ，但是斜率相同。，但是斜率相同。tttFSlnln10tttttFFSS)ln(lnlnln1101,10,ttFtSrr)/ln(1,tttSSSr)/ln(1,tttFFFr00ttt5.5 多元风险期货对冲多元风险期货对冲n用多元回归计算价格风险最小化期货合约数量，不仅用多元回归计算价格风险最小化期货合约数量，不仅形式简单，而且可以规避多种风险来源组合价格风险。形式简单，而且可以规避多种风险来源组合价格风险。

25、假设投资组合集中于石油股票，如果石油价格上涨，假设投资组合集中于石油股票，如果石油价格上涨，石油股票价格也上涨，但是其他股票会下跌，会引起石油股票价格也上涨，但是其他股票会下跌，会引起股票价格指数下跌。因此，为了规避组合价格风险，股票价格指数下跌。因此，为了规避组合价格风险，我们会选择多种期货对冲工具。对冲组合风险所需要我们会选择多种期货对冲工具。对冲组合风险所需要的期货合约数量，可以用多元回归系数来表示。的期货合约数量，可以用多元回归系数来表示。n其中：其中： 为第为第 种期货价格对数收益率种期货价格对数收益率 ； n 为第为第 种期货合约数量种期货合约数量 ；n如果如果 ，买入该期货合约，

26、买入该期货合约，n如果如果 ，卖出该期货合约。，卖出该期货合约。, 22, 110,ttnntttSrrrrtir,ni, 2 , 1i0i0iiin对于前面介绍的石油股票价格，与石油期货价对于前面介绍的石油股票价格，与石油期货价格成正比，与股票指数期货价格成反比。为了格成正比，与股票指数期货价格成反比。为了规避石油股票价格风险，卖出石油期货合约，规避石油股票价格风险，卖出石油期货合约，买入股票指数期货合约。卖出（或买入）期货买入股票指数期货合约。卖出（或买入）期货数量为：数量为：n因为组合价格与期货价格每时每刻都在变化，因为组合价格与期货价格每时每刻都在变化，因此，卖出（或买入）期货数量也在

27、变化。因此，卖出（或买入）期货数量也在变化。)(,*titiiFSN5.6 互换合约定价互换合约定价n互换合约就是交换未来的现金流。例如，利率互换就互换合约就是交换未来的现金流。例如，利率互换就是浮动利率交换固定利率，浮动利率一般参考银行间是浮动利率交换固定利率，浮动利率一般参考银行间拆借利率。互换合约由多个远期合约组成，互换合约拆借利率。互换合约由多个远期合约组成，互换合约的标的资产可以是金融资产，例如股票、债券，也可的标的资产可以是金融资产，例如股票、债券，也可以是实物资产，例如原油、黄金等。与期货和远期一以是实物资产，例如原油、黄金等。与期货和远期一样，互换交易双方必须履约，因此，不需要

28、交纳费用。样，互换交易双方必须履约，因此，不需要交纳费用。n如果到期期限越长，商品的远期价格越高，商品处于如果到期期限越长，商品的远期价格越高，商品处于顺价状态。如果期限越长，商品的远期价格越低，商顺价状态。如果期限越长，商品的远期价格越低，商品处于逆价状态。一般情况下，商品都处于顺价状态。品处于逆价状态。一般情况下，商品都处于顺价状态。n假设珠宝商每季度需要假设珠宝商每季度需要10公斤黄金，为了规避黄金价公斤黄金，为了规避黄金价格上涨带来的风险，珠宝商买入黄金互换合约，把黄格上涨带来的风险，珠宝商买入黄金互换合约，把黄金价格锁定在固定价位。也就是说，珠宝商支付黄金金价格锁定在固定价位。也就是

29、说，珠宝商支付黄金固定价格，收取黄金浮动价格。固定价格，收取黄金浮动价格。n假设在互换合约期限内，珠宝商共购买假设在互换合约期限内，珠宝商共购买n n次黄金；次黄金；n每次购买黄金的时间为每次购买黄金的时间为 年，年， ，n期限为期限为 年的无风险利率为年的无风险利率为 ，n期限为期限为 年的单位黄金的远期价格为年的单位黄金的远期价格为 ，n单位黄金互换合约价格为单位黄金互换合约价格为 。n单位黄金远期价格的现金流的现值应该等于互换价单位黄金远期价格的现金流的现值应该等于互换价格现金流的现值，否则会出现套利机会。格现金流的现值，否则会出现套利机会。iTni, 2 , 1iTiriTiffniTrn