p-q变换及d-q变换的理解及推导

1、11本质上的区别。另外，从上式可知，用矩阵表示时，可写成ia!|ib Jcjja2ai2等于h的共轭值，所以i2不是独立变量。C120a2l(1-1(1-1)p-q 变换与 d-q 变换的理解与推导1.120 变换和空间向量120120 坐标系是一个静止的复数坐标系。120120 分量首先由莱昂（LyonLyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120120 变换。ia、ib、ic为三相电流瞬时值，120120 坐标系与 abcabc 坐标系之间的关系为：iai2i。“ ib= a2h +ai2+i02ic=ah +a i2+iJ式中a和a2分别为定子绕组平面内的120120 和

2、 240240。空间算子，a二ej120，a2二ej240，上式的逆变换为：12h =?（ia+aib+a ic）12* i2 =3仏+a * +aij1i=a+ib+ic）i 3可以看出，120120 变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的ia、ib、ic是瞬时值而不是矢量，h h、i i2是瞬时复数值，所以 120120 变换亦称为瞬时值对称分量变换。 由于是瞬时值之间的变换，所以120120 变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于a和a2是空间算子，所以i1和i2是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对

3、称分量具有92此变换矩阵为等幅变换如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？3所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势(MMFMMF: MagneticMagnetic MotiveMotiveForceForce )和变换后的电流形成的磁动势MMF幅度一样。由于本文中 120120 变换的目的是生成电压电流的空间矢量。而电流矢量的定义为其单 独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abcabc 到 120120 的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值 变换，在计算功率的时候就会出现功率不守

4、恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还 有等功率变换。所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。对实线性空间，由于正交变换保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内 积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化(单位化)，即可保证变换前后的功率形 式不变。程SI令i =ib，u =ub，变换矩阵为 C Co-ic一juc一原三相系统中功率为：p二(u,i)二uTi变换后的功率为：p =(Cu,Ci) =(Cu)TCi =uTCTCi二uT(CTC)i当CTC =E，即CT=C，可使变换前后功率不变，满足此条件的C即为正交矩阵。在 120120 分量中，由于负序分量i2不是一个独立变量

5、，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量h。为此定义定子电流的空间矢量iri，它等于i1的 2 2 倍，即式中的 1 1、a和a2分别表示 a a 相、b b 相和 c c 相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电流为 0 0,iri在 a a、b b、c c 相轴线上的投影即为ia、ib、ic,如图 1-11-1 所示。从式(1-21-2 )可以看出，定子电流的空间矢量iori既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子 三相绕组所组成的基波合成磁动势。正交变换：变换矩阵C为正交矩阵

6、，满足CT= 考虑这里为什么空间矢量是正序分量的2 倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和iori=| (1iaaiba2ic)3(1-2(1-2)4图 1-11-1 电流的空间向量 电压矢量同理可得。2.Park 变换与 Clarke 变换(1) Clarke 变换角，0 0 序则是一个孤立的系统以电流为例，说明 abcabc 与a坐标系之间的坐标变换。把图中a和侪由线上的电流i:.和i分别投影到 a a、b b、c c 三相轴线上，再加上孤立的零序电流io，可得ia、ib和a(D坐标系是一个两相坐标系，其中琏由与 a a 相绕组轴线重合， 佛由超前a轴 9090 电5ia=k io1

7、. *73.2匕2 100i.V3.丄.ial Aib=Cp0Jo.LIip =CPoJo.ialib-1d其中Cpo= -1/21/2-1 23 2.1 2-1/2 1-V 3/ 2601 1-12 -12v3/2 1,3=2o 4312-4312-屈2 1一|_1/2 1/21/2一不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把C.0进行单位正1T交化，变为正交矩阵，使得C.0二C.0，得到等功率变换矩阵为(2) Park 变换dqOdqO 坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸极，则 d d 轴与凸极的中心轴线重合，q q 轴超前 d d 轴 909

8、0。电角，如图 1-31-3 所示。dq0dq0 变换 是从静止的 abcabc 坐标系变换到旋转的 dq0dq0 坐标系的一种变换。图 1-31-3 dq0dq0 变换7以定子电流为例。设定子三相绕组中电流为ia、ib、ic，转子 d d 轴与定子 a a 相绕组轴线之间夹角为二（电角），dq0dq0 变换后定子电流的 dq0dq0 分量分别为id、iq、i。把 旋转的 d d、q q 轴上的id、iq分别投影到定子 a a、b b、c c 三相轴线上，再加上零序电流i0, 可得到ia、ib和ic:ia= idco 史-iqsinT +i0*ib=idcos 2 兀/3)iqsin(T 2

9、兀/3) + i0ic =idcos 但 +2 兀/3) iqSi 呦 + 2 算/3)+%其中- cos日-si n日1Cdqo=cos但一2兀/3） sin（日2兀/3） 1gos（B+2兀/3） -sin（0+2x/3）1一cos：cos（v -2二/3） cos（）2- /3）2Cdq0=-sin日 一sin（日一2兀/3） -sin（日+2兀/3）3- 1/2 1/2 1/2一式中“ =：t，为转子的角速度，入为 0 0 时刻时，d d 轴与 a a 轴夹角，转子旋转 时，Cdq0是一个时变阵。若 v v - - 0 0 ,即转子不转，且 d d 轴与 a a 轴重合时，dq0dq0

10、 坐标系退 化为a（0 0 坐标系。实际上，由图 1-31-3 可知，若二-0-0，就意味着。与图 1-21-2 致。显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交 矩阵Lcos日cos 2兀/3) cose十2兀/3)Cdq0=J2 -sin日-sin(日一2兀/3) -sinp+2/3)则Cdq0- Cdq0，此时变换将成为等功率变换。ClarkeClarke 变换也是a变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着 abcabc 三相值的变化而变化的。它的主要用途是瞬时无功功率控制。ParkPark 变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSCVSC

11、（voltagevoltage sourcesourceconverterconverter ）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dqdq 量可以abcd q oJoQd q o-Jiabc-I o8保持恒定。VSCVSC 控制就是控制变换过的 dqdq 量从而对系统的电压电流等参数进行控制的303.瞬时无功理论b、ic。为分析问290图 1-41-4 :-:-:系中电压、电流矢量l la ai iib-1 232此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为由下面的变换可以得到、i：。:两相瞬时电1 1 两相瞬时电流 i i：. .、l.eaeal(1-3(

12、1-3)(1-4(1-4)设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为ea、eb、Q和ia、i10不难推导出，120120 分量与a分量之间具有下列关系1壽（S邛）1以电流为例推导过程如下：e eori=23（e：je：）匕矢量e、eiei 和i-、i -。分别可以合成为（旋转）电压矢量 e e 和电流矢量i用于瞬时功率计算中的ClarkeClarke 变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为等功率变换。电压电流矢量的原始定义中采用的120120 变换为等幅值变换，ClarkeClarke 等幅值变换矩阵。电压电流矢量应用到等功率变换体系中应相Jo二230蓄2 f 32 1/2 3 2 J1/

13、2奶胪胪_， . 1/2 占/2沖(1-5(1-5)Ji2J0一laiC120J0.1aa112a a#3111-1/203 2-32屁 lip 屁 io一j1o空间矢量与-100 l_ij ip0Lia分量的关系为iori= 2i1=身（A）在图 1-41-4 所示的二平面(1-6(1-6)2系数为一，等功率变换矩阵系数为3应改变系数，因此此处的等功率变换中应用的电压电流矢量应为原始定义的电压电流c211. 3矢量的，3倍:e = - jeori=e：. e，：e 12(1-7(1-7)式中 e e、i为矢量 e e、i的模（黑体 e e、i为矢量，非黑体 e e、i为矢量的幅值），;e、分

14、别为矢量 e e、i的相角【定义 1 1】三相电路瞬时有功电流ip和瞬时无功电流iq分别为矢量i在矢量 e e 及其法线 上的投影。即(1-8(1-8)式中，。：一 平面中的ip和iq如图 1-41-4 所示。【定义 2 2】三相电路瞬时有功功率p p 为电压矢量 e e 的模 e e 和三相电路瞬时有功电流ip的乘积，三相电路瞬时无功功率q q 为电压矢量 e e 的模 e e 和三相电路瞬时无功电流iq的乘积，即卩”P=eip（1-91-9）q =eiq把式(1-81-8 )及二 -匚代入式(1-91-9 )中，并写成矩阵形式得出p = eicos(e- ) = ei(cosecos si

15、n;:esin ) = e.L亠e：i:q =eisin( 订)=ei(sinecos - cosesin ) =e L - e i -丹芈ep1(1-101-10)2ea話 -1/2ec03 2eb-1】-1/2L-1/2-1 23 2-12-.3 2町“I eb231_120. 3 2T_1-1/2 -1/2- 3 2| 03 2 - 3 2-1 2r1a Lib-ic一-1/2 -12 几 11-12-1 2 1ib=3 a-1 2eb-1 2ec3T/2ea+eb-1/2ec-12e -V2e+ec |ibJcj由于eaebec- 0，所以上式可以写为iaP13q郅-电一把式（1-31

16、-3 ）、式（1-41-4 ）代入上式，可得出p p、q q 对于三相电压、电流的表达式14-0-v32您 2 叽屁20一罔2ib屁2V3.20一 JcJ骨3232ec-32e-32ec1Jyjeceaea _eb ic 1由上述推导得到:P=eaiaebibOJcq =吉2 -ec ）a +（ec -ea ）b +（ea -Q ）c就三相电路而言，其功率的瞬时值实际上应该理解为：把瞬时值分别置于各轴成120的 abc 坐标系中，按有功无功理论进行数乘，有功是电流在电压方向上的 分量与电压数乘，无功是电流在电压法向上的分量与电压数乘。显然，从式（1-1-1111 ）可以看出，三相电路瞬时有功功

17、率就是三相电路的瞬时功率。4.派克变换与瞬时功率之间的关系当电网电压三相对称且波形无畸变时，设电网电压角频率为 ，且 A A 相电压初相角为;0 （0,2二），E E 为电网电压基波即电网电压的有效值，则电压瞬时值为q 士ej：-23；a2 p = 3/ 2ea3/ 2eb3/ 2e。】i3上一eaiaebibecicL 仁0门忌QL 區；01 一10%丿讣bdl1 0i-1 232-1/2 卄-冋 2-12 -12 11、泪/2 寸2 1 0 j0 +3 -岛匕-12-32eb0.231_120.32J1/2 1/2 T -0lib（1-111-11）15（1）第一种推导方式则将式（1-12

18、1-12 ）代入式（1-31-3 ）将得到:sin (to)sin(cot + 申0_ 2 兀/3)sin(mt +% + 2 代/3)sin( t G -1 2sin(，t - 2 二 3) -1 2sin(，t 02：卜;3 2sin( t 一 2 二 3)-3 2sin( t 2 二 3)ealeb= 2 E旦一| sin(，t亠)si n(cot2叫sin (oot + +2兀/3)(1-12(1-12)二3Esin (to)|t-cos()沪Ef；O：；tQ(1-13(1-13)将式（1-131-13）代入式（1-101-10）计算出瞬时有功和无功为P3Esin(t：。)3Eq_co

19、s(to)-cos(to)i- -sin( to)卩 i(1-14(1-14)对于式（1-141-14）中系数的理解为：原系统电压幅值为2E，由于是等功率变换,由等幅值与等功率变换矩阵系数可知，a系统中的电压向量 e e 的幅值，即e，为. 3 2* 2E= =3E。因此由式（1-91-9 ）可知与式（1-141-14 ）对比可得6 就L严:；10-COSt cos( to)i:. -sin(to).(1-15(1-15)其中Cpq_Q为从坐标系到 pqpq 坐标系的转移矩阵F面推导卩坐标到 dqdq 坐标的变换矩阵Cdq_op=23EJ1617dqdq 坐标逆时针以角频率-同步旋转，d d

20、轴与 a a 轴的夹角为 v - -t为 t=0t=0 时刻 d d 轴与 a a 轴的夹角，二厂（0,2 二），q q 轴位于在旋转方向上比 d d 轴超前 9090。的位置上 从 abcabc 坐标到 dqdq 坐标的转移公式为 ：:id1a 1=Cdqibq1ic其中 abcabc 坐标到 dqdq 坐标的转移矩阵:拓展为可逆转移矩阵为由 ClarkeClarke 等功率逆变换得出下式:代入式（1-161-16）:得出:（1-161-162 cos（ t）、3 |-sin（-t0）cos （，t v0一 2 二 3）-sin（，t r0-2 二 3）cos（ t v02 二 3）-sin

21、t +日0+&/3）cost +日0）|-sin （臥 +日0）cos （，t 厲 一2二.3）cost+日0+2 兀/3）I-si n（mt + 80+ 2 兀Cd-si n（灼 t +如-sin（at +80-药/3）剖2-si n（oot +日0+2 兀/3）4V2iaTib = Cp0ip =Jc-1 0f |1/2X- 3/23_1/2_问 2厂 1尿占|1/2 辰o 一1/232J32_Kid_ 2 cos（ t厲）iq3 -sin（，t 0）cos（ t厲一2二3）-sin（；：t cos（ t 0 2-3）sin（ - t 2二3）13；203 2-32Cdq0厂 I

22、COSt +日0）=J cost+80-2 贰/3 13cost +日0+2 兀/3_氏181 口 一 cost+日 ） si n（cot + 日亠叫十sint+8）显然，由式（1-151-15）和式（1-171-17）对比可知：p p、q q 变量，并不能直接等价。由式（1-151-15）可得0）餐COS（，t 卞）卩:Cpq_与Cdq_并不相同,(1-17(1-17)= Cpq$ip丨sin(cot+0)cost+%)JPIcos(t0)-sinC，t0)|iq代入（1-171-17 ）得 一Cdq_CipCpq_oBq- liq-cos（ t0）sin（t0）sin（ t:0）_cos（

23、t0） ip-sin（t0）cos（ t0）-cos（ t:0）-sin（，t0）卩qI sin（-山）-cos（-0）ip_ -cos（0 0）-sin（0 0）|q注意：式（1-181-18 ）中等式两端的变量意义，等式左边的id、iq为派克变换后得到的d-qd-q 轴瞬时电流；而等式右边的ip、iq为瞬时有功电流、瞬时无功电流。另外，这里 再次重申式（1-181-18）中变量的意义如下： 时刻 d d 轴与 a a 轴的夹角。因此列出以下几种特殊情况：(1-18(1-18)o为 t=0t=0 时刻 A A 相电压的初相角，为 t=0t=0-0-入 *2；0 -二0-3；2-二0-二.2，

24、0 -03；2S 0- -1山0id、iq与瞬时有功电流、瞬时无功电流d d 轴与 a a 轴之间相位的关系。IL_1_0_0-1 ip0Jq01iP|jq;ipV|IJq(1-19(1-19)由此可见，派克变换后得到的d-qd-qip、iq的相对关系，取决于当前时刻电网电压相角以及显然，若在逆变器控制中利用d-qd-q 变换后得到的瞬时电流id、iq来分别控制有功和无功，则意味着；0与二0之间相差 900900。因此，在逆变器控制中，通过锁相环PLLPLL 获得 0 0时刻 a a 相电压相角，从而决定 ParkPark 变换矩阵中的日0值，以确保 d d 轴与 a a 电网电压 矢量方向相

25、同，从而达到有功无功独立控制的目的。在瞬时电流SimulinkSimulink 仿真平台自带的 ParkPark19变换模块中，默认 0 0 时刻 a a 相电压相角;：0为 0 0,由 PLLPLL 模块获得sint、cos t，形 成Cdq0，进行 ParkPark 变换，如图 1-51-5 所示：20图中 Vabc_filterVabc_filter 为逆变器经滤波器并网处的三相电压，Vabc_filter_puVabc_filter_pu 为其标幺值。(2)第二种推导方式对式(1-121-12 )所表示的三相电压进行派克变换，可得_ -sisi n n（cotcot + + 0 0）e

26、 eb=72ECdqsinsin（ cocot t + + 0 0 2 2兀/3/3）I1sinsin（ cocot t + + 0 0+2+2兀/3/3）_ _将 v - -r， 二-; ;0 0，代入上式计算得coscos（，（，t t % % -2-2； 3 3）-sin-sin（ ，t t入 一2 2coscos（ t t入2 2二3 3）-sin-sin（ t t入2 2二3 3）- -sinsin （cocot tN N。）1 1sinsin（cocot t + + 0 0一2 2兀/3 3）图 1-51-5 逆变器控制中ParkPark 变换部分的simulinksimulink

27、 模型21e 2cossi ncos（v-2二3）si n（/2;3）cos 2; 3）si n（2二.3）eq一一（3E_Sin日sin sin 2叫3）sin（ 2兀/3）sin但+2兀/3）sin+2兀/3一化简可得:同 ClarkClark 变换同理，等功率变换到两相dqdq 坐标中，电压幅值变为.3E为方便计算，选 d d 轴方向为电网电压合成矢量的方向，则上式计算结果应为（cosTsin 申-sin&cos）32（sin 二 sin:coscos ）=、3Ecos= sin - sin cos|- （sinsin:cos1cos ）（1-201-2022图 1-61-6 d

28、qdq 系中电压电流矢量为以示区别，此图中有功、无功分量的下标用P P、Q Q 表示，dqdq 分量用 d d、q q 表示。则电压矢量与 d d 轴的夹角为 ，电流矢量与 d d 轴的夹角为 。其中 cpcp =cp=cp _Cp_Cpe I对于式（1-231-23 ）的推导，与式（1-101-10 ）的推导过程一样，即由式（1-81-8 八式（1-1-9 9），可得：要得出(1-21(1-21)sin 0) =1cos 什-日)=0(1-22(1-22)满足上述条件可将瞬时功率计算公式化简为:P=edid +eqiq nQjid iq= ediq+eqid=ediq(1-(1-2323)因

29、此，在这种情况下，可以认为id相当于有功电流,iq相当于无功电流。为了清晰起见，在 dqdq 轴坐标平面上，绘制电压电流相对关系如图1-61-6 所示。33E E23p =eip=eicos 忡e 8） _（9 8）】=eiCos 伴e_8）cos 件-8）+sin（毋e8）sin 件 一 8）】=軌 +eqiqjq =eiq=eisin （半e日）一（鸣 一）】=eibin（半ecosf -日）-cose-&）sin 件亠 0）】= -ediq+eqid传统理论中的有功功率、无功功率等都是在平均值基础或向量的意义上定义的，它 们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。而瞬时无功功率理论中的概念，都是在 瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的 情况。从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，