第四章债券价格波动性及其衡量第一部分

1、第四章 债券价格波动性及其衡量/债券风险的度量和度量工具 知识点 债券价格的波动性及其原因 债券价格与市场利率的基本关系 债券价格对市场利率变动的敏感性及其影响因素分析 久期 久期的计算 久期的应用 久期的性质 凸性 凸性的计算 凸性的应用 凸性的性质久期与凸性的进一步应用：债券利率免疫与套期保值非附权债券价格波动性（价格-收益率关系）必要报酬率Required yield价格Pr 上升，P下降瞬时变化Instantaneous change凸性convexnnttrMrCP)1 ()1 (1债券的价格和到期收益率 债券价格 用金额表示的债券绝对价格 债券到期收益率 用收益率表示的债券相对价格

2、 债券价格与债券到期收益率具有一一对应关系 久期与凸性 债券价格的风险指标nnttrMrCP)1 ()1 (1票面利率、必要报酬率与价格和面值之间的关系 r = rc P = M (平价债券par bond) r rc P M (溢价债券) r rc P M (折价债券)初始水平Initial level非附权债券价格变化的主要原因 必要报酬率/市场利率的变化 债券发行人信用风险的变化 现金流的偿还风险 如何在市场预测到这个变化之前能够进行预测 可比金融工具收益率的变化 折价或溢价债券趋近到期日nnttrMrCP)1 ()1 (1债券价格随着其生命周期而趋近于面值到期的年份债券价格路径的时间效

3、应溢价债券折价债券相同期限不同的票面利率即使市场利率未发生变动nnttrMrCP)1 ()1 (1P (% of Par)100非附权债券价格变化的主要原因 市场利率 市场利率变化 市场可比投资工具收益率上升，该债券所提供的收益率低于市场水平的收益率，对该债券需求下降，导致价格下降 该债券价格下降，从而迫使此债券收益率上升 为适应市场新的必要报酬率，唯一能够改变以补偿投资人的变量就是价格 使得投资人可以实现一些额外的收益非附权债券价格与市场利率的基本关系 价格-收益率曲线E0必要报酬率Required yield/市场利率价格price价格-收益率曲线Price-yield graph非附权债

4、券价格与市场利率的基本关系 债券价格与利率反向变动 利率变动，债券价格变动具有不对称性 如果投资人持有债券，则市场收益率下降导致的价格上升/资本利得会超过同一数量的收益率上升导致的价格下降/资本损失 如果投资人未持有债券，则市场收益率下降导致的价格上升/资本损失会超过同一幅度的收益率上升导致的价格下降/资本利得债券价格对利率变化敏感性分析（价格-收益率关系） 初始收益率水平（初始市场利率水平） 到期收益率 债券期限 票面利率 其他特点债券价格对市场利率变化敏感性的影响因素 初始市场利率其它因素相同，初始市场利率越低的债券价格比初始市场利率高的债券价格对利率变动更为敏感例如，低利率时期和通货膨胀

5、时期，同样的一只债券例如，市场利率为水平条件下例如，市场利率为水平条件下nnttrMrCP)1 ()1 (1期限市场收益率债券价格波动 初始市场利率 例1即期利率债券价格价格波动率2%1359.32.25%1332.48-1.97%3%1255.913.25%1231.62-1.93%4%1162.224.25%1140.19-1.90%5%1077.225.25%1057.22-1.86%6%10006.25%981.82-1.82%假设：某债券面值1000元，期限10年，票面利率6%，1年付息1次，债券价格1000元。初始市场利率分别为2%，3%，4%，5%，6%情况下，债券价格对市场利率

6、变化敏感性的影响因素 到期收益率 其它因素相同，到期收益率越低的债券价格比到期收益率高的债券价格对利率变动更为敏感例如，到期收益率曲线水平例如，到期收益率曲线水平nnttrMrCP)1 ()1 (1期限到期收益率债券价格波动性 到期收益率 例1债券ABCDE到期收益率10%7%6%5%3%票面利率6%6%6%6%6%期限(年）1010101010面值10001000100010001000市场价格P754.22929.7610001077.221255.91新的收益率10.50%7.50%6.50%5.50%3.50%新的市场价格P729.34897.04964.061037.691207.9

7、2P-P-24.88-32.72-35.94-39.53-47.99(P-P)/P-3.30%-3.52%-3.59%-3.67%-3.82%到期收益率越低，债券价格波动性越大债券价格对市场利率变化敏感性的影响因素 期限 其它因素相同，债券的期限越长，其价格对利率的变化越敏感 债券价格敏感性随期限上升而上升，但是以递减的速度而上升债券价格波动性 期限 例1债券ABCDE期限(年）2010531面值10001000100010001000票面利率7%7%7%7%7%收益率5%5%5%5%5%市场价格P1249.241154.431086.591054.461019.05新的收益率5.50%5.5

8、0%5.50%5.50%5.50%新的市场价格P1179.261113.061064.051040.471014.22P-P-69.98-41.37-22.54-13.99-4.83(P-P)/P-5.60%-3.58%-2.07%-1.33%-0.47% 长期债券价格比短期债券价格对利率变动更敏感 利率上升，长期债券价格下降幅度更大债券价格波动性 期限 例1债券ABCDE期限(年）2010531面值10001000100010001000票面利率7%7%7%7%7%收益率5%5%5%5%5%市场价格P1249.241154.431086.591054.461019.05新的收益率4.50%4

9、.50%4.50%4.50%4.50%新的市场价格P1325.21197.821109.751068.721023.92P-P75.9643.3923.1614.264.87(P-P)/P6.08%3.76%2.13%1.35%0.48% 长期债券价格比短期债券价格对利率变动越敏感 利率下降，长期债券价格上升幅度更大P/rr = 8%r = 10%r = 12%收益率下降 收益率上升Pc122.6210083.840.2262-0.1616Pf108.1110092.640.0811-0.0736利率价格变化百分比债券C: 30年期, 票面利率10%债券F: 5年期，票面利率10%债券价格波动

10、性 期限 例2债券价格波动性 期限yieldP (% of Par)30-year, 10% coupon5-year, 10% coupon0.10100债券价格波动性 期限-以递减的速度r = 10%r = 8%Pc100122.62Pg100119.79Ph100113.59P/r利率22.62债券C: 30年期, 票面利率10%债券G: 20年期, 票面利率10%债券H: 10年期, 票面利率10%2.836.2at a decreasing rate价格变化百分比价格变化百分比差异19.7913.59债券价格波动性 期限-以递减的速度到期年限价格变动百分比51015对于票面利率10%

11、的不同期限所有债券，若利率从10%下降到8%债券价格对市场利率变化敏感性的影响因素 票面利率 其它因素固定不变，债券的票面利率越低，价格对利率的变化越敏感 零息债券价格波动最大债券价格波动性 票面利率 例1债券ABCDE票面利率10%7%5%3%0%期限(年）1010101010面值10001000100010001000收益率5%5%5%5%5%市场价格P1386.091154.431000845.57613.91新的收益率5.50%5.50%5.50%5.50%5.50%新的市场价格P1339.191113.06962.31811.56585.43P-P-46.90-41.37-37.69

12、-34.01-28.48(P-P)/P-3.38%-3.58%-3.77%-4.02%-4.64%票面利率越低，债券价格波动性越大r = 10%r = 8%Pa137.86167.87Pe62.1477.3821.7724.53债券A: 30年期, 票面利率14%债券E: 30年期, 票面利率6%利率价格变动百分比债券价格波动性 票面利率 例2债券价格波动性 票面利率（有着不同票面利率的债券价格-收益率关系比较）yield30-year, 14% coupon30-year, 6% coupon0.100.08P (% of Par)债券价格波动性 票面利率票面利率价格变化百分比对于不同的30

13、年期债券，市场利率从10%下降到8%0.0030年期零息债券：77.5%价格变化30年期票面利率20%债券：价格变化21.1%77.5%20%20%仍然面临的问题目前对于债券价格波动性的研究仍然局限于在债券价格的影响因素中选择一种因素进行分析，而同时假定其它因素相同期限、票面利率等都不同的债券价格的波动性无法进行比较需要寻找综合性的债券价格对利率变动敏感性的衡量工具仍然面临的问题 例1债券AB票面利率10%2%期限（年）128市场利率8%8%市场价格115.0765.52新的市场利率8.5%8.5%哪个债券价格波动更大?仍然面临的问题债券债券A债券B新的市场利率8.50%8.50%新的市场价格

14、111.0263.34P-P-4.06-2.18(P-P)/P-3.52%-3.32%价格波动性衡量的基本方法 基点价格值price value of a basis point 价格变化的收益率值yield value of a price change 久期/duration 凸性convexity价格波动性衡量 基点价格值 必要报酬率每变动一个基点导致的价格变动的数量 基点价格值/初始价格 收益率的一个基点的变动引起的价格变动的百分比bondinitial price(9% yield)price at9.01%price value ofa basis point5-year/9% c

15、oupon10099.960.039625-year/9% coupon100 99.9010.09875-year/6% coupon88.1309 88.0950.036425-year/6% coupon70.357 70.2820.07465-year zero coupon64.3928 64.3620.030825-year zero coupon11.071 11.0450.0265price value of basis point (absolute value per $100 of par value价格波动性衡量 价格变动的收益率值 价格变动某数量下必要报酬率变动的数量

16、 通常，变化一美元的1/32 收益率值越小，价格波动性越大bondinitial price(9% yield) initial yieldinitial priceminus 1/32yield atnew priceyield valueof a 32nd5-year/9% coupon1009%99.968759.008%0.008%25-year/9% coupon1009%99.968759.003%0.003%债券价格波动性衡量与债券的久期和凸性债券价格波动数量 = 久期引起的价格变动 + 凸性引起的价格变动nnttrMrCP)1 ()1 (1债券价格波动性衡量与债券的久期和凸性2

17、222222222222)()(1211)()(21)()()(21drconvexitydrMDdrPdrPddrPdrdPPdPdrconvexitydollardrdurationdollardrdrPddrdrdPdPdrdrAdrdrPddrdrdPdP的高阶无穷小泰勒展开：债券价格波动数量 = 久期引起的价格变动 + 凸性引起的价格变动久期Duration 一个反映了所有影响因素作用的衡量价格对市场利率变动敏感性的综合方法 期限Maturity 票面利率Coupon rate 到期收益率Yield to maturity 初始收益率initial yield 市场利率变动100个基

18、点时引起的价格变动近似百分比 MD(modified duration) = - dP/dr/P = - dP/P * 1% = - dP/P 由Frederick Macaulay提出的单一的衡量数字 F.R.Macaulay, Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Price in the U.S. Since 1856, Columbia Univ.Press, 1938市场利率微小变化下债券价格变化的近似数量nnnnnnrMnrCnrCr

19、CrdrdprMnrCnrCrCdrdPrMrCrCrCP)1 ()1 (.)1 (2)1 (1)1 (1)1 ()()1 ()(.)1 () 2()1 () 1()1 ()1 (.)1 ()1 (211322市场利率曲线水平市场利率曲线水平/到期到期收益率曲线水平收益率曲线水平金额久期（dollar duration,DD)drdpDdrdCtrdpdCtrrCtrrMnrCnrCrCrdrdpDnttnttnttnn定义：平形状，并且发生平移假设市场利率曲线为水1112)1 (1)1 (1)1 ()1 (1-)1 ()1 (.)1 (2)1 (1)1 (1这里可以看作每期现金流的现值/市场

20、价格作为权重，对本息偿付时间的加权平均，而比率久期可以看作是每期现金流现值/市场价格占投资组合总的市场价值的比例作为权重下，对本息偿付时间的加权平均金额久期（dollar duration)drdCtrdpdCtrrCtrrCtdrdprCrCrCPtntttnttnttttntttttnnn11111222111111)1 (11)1 ()1 (.)1 (1水平形状下：如果市场利率曲线为非市场利率曲线平行移动dr，则久期公式与水平市场利率曲线下公式一样r通常选取短期利率和水平曲线情况大约一样，也是各期限乘以当期的现金流和现值因子比率久期/麦克雷久期（Dm) Macaulay duration

21、 ntntnnrMnrCtPDmPrMnrCnrCrCMacaulay12)1 ()1 (11)1 ()1 (.)1 (2)1 (1久期定义：PrMnrCnrCrCrPdrdpnn1)1 ()1 (.)1 (2)1 (1)1 (112价格P:现金流贴现现值之和零息债券的比率久期就是零息债券的期限麦克雷久期（Dm)（比率久期）DmrPdrdPPrMnrCnrCrCrPdrdpnn)1 (111)1 ()1 (.)1 (2)1 (1)1 (112作为价格的利率弹性的麦克雷久期Duration as an elasticity measure)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (11rrd

22、PdPrdrPdpPrdrdPDmDmrPdrdP修正久期（MD，modified duration)与价格的近似百分比变化百分比）化带来的价格反向变化给定市场利率的微小变定义：修正久期(1)1 ()1 (11drPdPPdrdPMDrDmMDDmrPdrdP修正久期为正值金额久期DD、麦克雷久期Dm、修正久期MD反向变化百分比率微小变化带来的价格修正久期：给定市场利drPdPPdrdPMD1率弹性麦克雷久期：价格的利)1 ()1 (rrdPdPDm量债券价格发生变化的数生一个百分点变化，金额久期：市场利率发金额久期PMDdrdPDD有效久期(effective duration)市场利率变动

23、的基点债券的现时价格时债券的价格市场利率上升时债券的价格市场利率下降rPrPrPPrPPPrrPPDeffective2/适用于含权和不含权债券有效久期PPABC市场利率价格PrPPPrrPPDeffective2/关键利率久期 关键期限的即期利率微小变化引起的债券价格的变化 1992年，Thomas Ho提出 Thomas Ho,“Key Rate Durations:Measure of Interest Rate Risk”,Journal of Fixed Incomes,Sept.1992 考察国债收益率曲线/即期利率曲线下的11个关键期限下的利率久期 3个月、1年、2年、3年、5年

24、、7年、10年、15年、20年、25年、30年 其他利率下的利率久期可以通过线性回归等方式获得 比率久期/麦考利久期下，关键利率久期即是该期限下零息债券的久期 零息债券的比率久期就是零息债券的期限关键利率久期举例债券投资组合2年期零息债券价格16年期零息债券价格30年期零息债券价格A50050B01000债券比率久期21630%4115%1%301%1%216016*100/10001630*)100/50(02*)100/50(，组合总价值上升上升，组合价值年期关键利率下降；，组合价值下降上升年期关键利率动不同。例如，非平移，则组合价值变样；个投资组合价值变动一市场利率曲线平移，两投资决策风

25、险评价：）（的关键利率久期组合的关键利率久期组合则有：BADBDA对于组合A来说关键期限利率就是2年期和30年期的利率变化下的久期，组合B的关键期限就是16年。即期利率久期/Fisher and Weil duration 债券价格对于不同期限即期利率变化的敏感程度 利率期限结构/即期利率曲线不是水平的，并且发生非平行移动 一般的做法是，假设某一期限即期利率变动100个基点，其他期限即期利率不发生变动下，债券价格变动的百分比 如果按照该思路求得即期利率曲线下每一个期限的利率久期，则形成了一个即期利率曲线下的久期向量 每个期限即期利率分别变动相同数量得到的每个点的利率久期，加总在一起则是金额久期

26、或者修正久期nnnnnFWrMnrCnrCrCPD)1 ()1 (.)1 (2)1 (11, 0, 022 , 021 , 01债券投资组合的久期的比重种债券市值占组合市值第权重期：债券投资组合的比率久种债券的投资数量第权重期债券投资组合的金额久券发行融资形成负债权重可为负数，代表债分债券久期的加权平均债券投资组合久期：成比率比率金额金额iWDWDiNDNDiiniipiiniip11 )2( ) 1 (特定债券对投资组合的利率风险 = 债券权重 X 债券久期年度化久期Annualized duration如果一年中m次付息，则年度化久期如下：mm次数期下的久期每年年度化久期 nnmrMmrC

27、mrCmrCP)1 ()1 (.)1 ()1 (2计算久期：Dm和MD 例1bondDmMD9%/5-year4.133.959%/25-year10.339.896%/5-year4.354.166%/25-year11.110.620%/5-year54.780%/25-year2523.92初始收益率为9%下列6种债券的年度Dm和MD参见excel “duration calculation”ntntrMnrCtPDm1)1()1(1久期应用 - 估计价格变化绝对量.drPMDdrDDdPPMDDDPdrdPMDdrdPDD；久期应用 - 估计价格变化绝对量 例2dP = - MD *

28、P * drbondDmMDprice6%/25-year11.110.6270.357Dm in years and MD for bonds to yield 9%例如，收益率从9%上升到11%, 即：dr = 2%则：dP = - MD*P*dr = - 10.62*70.357*2% = - 14.94而实际价格下降数量 = 57.6712 70.3570 = - 12.6858久期应用 - 估计价格变化百分比 例3bondDmMDprice6%/25-year11.110.6270.357Dm in years and MD for bonds to yield 9%drMDPdPP

29、drdPMD久期应用 - 估计价格变化百分比 例3例如，收益率从9% 上升到 9.10%, 即：dr = 0.1%则：dP/P = - MD*dr = - 10.62*0.1% = - 1.062%而实际价格变化百分比是 1.05%再如：收益率从9%下降8.9%, 即：dr = - 0.1%则：dP/P = - MD*dr = - 10.62*(- 0.1%) = 1.062%而实际价格变化百分比是 + 1.07%久期应用 - 估计价格变化百分比 例3例如，收益率从9%上升到11%, 即：dr = 2%则：dP/P = - MD*dr = - 10.62*2% = - 21.24%而实际价格变

30、化百分比： 18.03%再如，收益率从9%下降到7%, 即：dr = - 2%则：dP/P = - MD*dy = - 10.62*(- 2%) = +21.24%而实际价格变化百分比： + 25.46%结论：修正久期MD在收益率较大幅度变化时无法较好地估计价格变化久期的性质P*r*Pr久期：在r*下，价格与收益率的关系实际是凸函数关系久期理解为线形PMDdrdPDD定义：金额久期久期：利率变化，需要不断修正的瞬时值久期的性质 从价格波动的角度 初始市场收益率越低，久期越大 到期收益率越低，久期越大 债券票面利率越低，久期越大 价格波动性越大 债券期限越长，久期越大久期的性质 初始市场收益率初

31、始市场收益率水平越低，久期越大价格波动越大债券债券A债券A债券A债券A债券A市场收益率8%7%6%5%4%期限(年）1010101010票面利率6%6%6%6%6%市场价格865.8929.7610001077.221162.22Dm7.627.717.807.897.98同一债券，市场收益率越低，久期越大yieldMD7%11.218%10.539%9.8810%9.2711%8.712%8.1613%7.6614%7.2125年期，票面利率9%，不同的到期收益率的不同债券的修正久期久期的性质 到期收益率到期收益率水平越低，修正久期越高价格波动越大久期的性质 票面利率bondDmMD9%/5

32、-year4.131.276%/5-year4.351.340%/5-year51.54annualized Dm and MD for the six hypothetical bonds(initial yield at 9%)bondDmMD9%/25-year10.332.016%/25-year11.12.160%/25-year254.87annualized Dm and MD for the six hypothetical bonds(initial yield at 9%)bondDmMD9%/5-year4.133.959%/25-year10.339.896%/5-ye

33、ar4.354.166%/25-year11.110.620%/5-year54.780%/25-year2523.92初始收益率在9%的6只债券的年度化Dm和MD久期的性质 期限如果以价格波动理解久期债券期限越长，久期越大久期的性质 期限 零息债券Dm与其期限相等 零息债券MD小于其期限% 附息债券的比率久期Dm和修正久期MD小于债券期限 由于期间不断支付利息PrMnrCnrCrCDmnn1)1 ()1 (.)1 (2112)1 (rDmMD定义：零息债券Dm就是其期限%期限(年） 到期收益率Dm14.506%1.0%24.675%2.0%34.838%3.0%44.994%4.0%55.1

34、40%5.0%65.281%6.0%75.414%7.0%85.539%8.0%95.657%9.0%105.768%10.0%nrMP)1 ( 久期 从期限的角度理解 债券的久期是债券本息支付时间的加权平均 现金流/本息支付的平均时间 权重：每一笔现金流的现值/P（债券现值/价格） 以年为单位 需要慎重对待以期限含义理解久期 结构类债券产品久期可能大于其期满期限现象ntntnnrMnrCtPDmPrMnrCnrCrCMacaulay12)1 ()1 (11)1 ()1 (.)1 (2)1 (1久期定义：使用久期需要考虑的问题 久期认为债券价格和收益率之间是线性函数 久期是一个需要不断修正的瞬

35、时值，即时间对久期是有影响的； 久期不能反映价格波动性的非对称性 久期预测债券价格通常会低估价格 久期对价格的预测精度取决于债券的价格/收益率曲线的凸性 如果收益率变动很大，不应当仅仅使用久期进行预测使用久期对价格进行估计的误差问题 需要考虑债券的凸性P*r*Pr只基于久期的估计误差Estimating error based only on duration 久期：在r*下，价格与收益率的关系实际是凸函数关系久期理解为线形PMDdrdPDD定义：金额久期凸性convexity 债券具有的价格-收益率曲线凸向原点的关系 久期衡量的是收益率微小变化时价格的近似变化数量 准确性取决于债券的凸性 凸

36、性衡量在价格-收益率关系中收益率变化时 金额久期（斜率，价格波动）变化速度非附权债券凸性 凸性为正值Positive convexity 当必要报酬率上升（下降）时，债券的凸性下降（上升） 凸性的存在，改善了债券的风险状况必要报酬率price价格-收益率曲线凸性衡量着市场收益率变化引起的金额久期(价格变化）的变化率利率上升，久期下降；利率下降，久期上升利率变动，债券价格变动具有不对称性债券价格波动衡量与久期和凸性2222222222222)()(1211)()(21)()()(21drconvexitydrMDdrPdrPddrPdrdPPdPdrconvexitydollardrdurati

37、ondollardrdrPddrdrdPdPdrdrAdrdrPddrdrdPdP的高阶无穷小泰勒展开：债券价格波动数量 = 久期引起的价格变动 + 凸性引起的价格变动债券久期与凸性 债券价格对收益率的一阶导和二阶导tnttntttnnttnnnnnndCttrrCttrrMnnrCttdrPdrMnnrCnnrCrCdrPdrMnrCnrCrCdrdPrMrCrCrCP12122122222432211322) 1()1 (1)1 () 1()1 (1)1 () 1()1 () 1()1 ()1()()1 ()1()(.)1 () 3()2()1 ()2() 1()1 ()()1 ()(.)

38、1 ()2()1 () 1()1 ()1 (.)1 ()1 (进行平移：水平到期收益率下，并债券久期与凸性 债券价格对收益率的一阶导和二阶导tnttnttttnttttnttttdCttrrCttrrCttdrPdrCP121212221) 1()1 (1)1 () 1()1 (1)1 () 1()1 (进行平移下：非水平到期收益率，并金额凸性（值）Dollar convexity22222)(21drDCdPdrDCPddrPdDC定义：金额凸性（值）tnttntttdCttrrCttrdrPd121222) 1()1 (1)1 () 1()1 (1进行平移：水平到期收益率下，并tnttnt

39、tttdCttrrCttrdrPd121222) 1()1 (1)1 () 1()1 (1进行平移：非水平到期收益率，并比率凸性（值）分点数量。分点下，价格变动的百即市场利率波动一个百，价格的利率弹性，含义：在凸性的作用下定义：比率凸性（值）tnttmdCttPC1) 1(1修正凸性（值）价格变动的百分比。量，市场利率波动一个数含义：在凸性的作用下定义：修正凸性（值）tnttdCttPrPdrPdMC1222) 1(1)1 (1/）现了格百分比变化，这里出由于凸性引起的债券价定义修正凸性2/1()(2122222drMCPdPdrMCPPdPdrPdMC有效凸性市场利率变动的基点。债券的现时价

40、格；时债券的价格；市场利率上升时债券的价格；市场利率下降定义有效凸性格变化：由于凸性引起的债券价则定义金额凸性定义rPrPrPrPPPPCdrPdrPPPCrDDCrPPDrPPDeffective2002220-00)(2221)(2;r0P0r0-drr0+drP-P+PrPPPrrPPDeffective2/rP2222)()(1211drconvexitydrMDdrPdrPddrPdrdPPdP有效凸性类似于修正凸性使用有效久期和有效凸性估算价格220002)()(222)(drrPPPPdrPrPPdrCdrDPPeffectiveeffective2)(21drMCdrMDPdP

41、比较：债券投资组合的凸性种债券的投资数量第：投资组合的金额凸性值的比重种债券市值占组合市值第）的加权平均，成分债券比率凸性（值值）：投资组合的比率凸性（金额金额比率比率iNCNCiWCWCiiniipiiniip 11年度化凸性Convexity in years如果一年中多次付息，则年度化凸性的计算为：Convexity in years = Convexity in m periods per yearm2nnmrMmrCmrCmrCP)1 ()1 (.)1 ()1 (2总结：利用久期与凸性计算价格变动22)21)(21drdrdrCdrDDdPm（金额凸性金额久期22)(21)(21dr

42、drdrMCdrMDPdP修正凸性修正久期22)()(drdrdrCdrDPPeffectiveeffective有效凸性有效久期债券凸性（值）计算period tcash flows PV of cash flows C/(1+y)(t+2)t*(t+1)*C/(1+y)(t+2)14.54.3062200963.9433347187.88666943624.54.1207847813.77352604622.6411562834.53.9433347183.61102970943.3323565144.53.7735260463.45553082269.1106164554.53.6110

43、297093.3067280699.2018417964.53.4555308223.164333071132.90198974.53.306728063.028069925169.571915884.53.1643330712.897674569208.63256994.53.0280699252.772894325249.560489210104.567.2904427761.619873886778.1861271007781.02573Refer to excel “calculation of convexity and dollar convexity”21222)1 () 1()1 () 1(nnttrMnnrCttdrPd金额凸性PdrPdMC22修正凸性使用久期