必修4三角函数地图像与性质

1、实用标准. 三、例题精讲§ 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象例 1：用“五点法”画下列函数的简图学习目标 ： 1. 能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.(1)y=1+sinx， x 0,2(2) y=-cosx， x 0,22.能熟练运用“五点法”作图.学习重点 ：运用“五点法”作图学习难点： 借助于三角函数线画y=sinx 的图象学习过程 ：一、情境设置遇到一个新的函数，画出它的图象， 通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？二、探究研究问题 1.在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角

2、的正弦线.问题 2. 在相应坐标系内，在 x 轴表示 12 个角（实数表示） ，把单位圆中 12 个角的正弦线进行右移 . 问题 3. 通过刚才描点（ x0, sinx 0） , 把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？问题 4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？问题 5.如何作 y=sinx,x R 的图象（即 正弦曲线 ）？问题 6.用诱导公式cosx=_（用正弦式表示） ， y=cosx 的图象（即 余弦曲线） 怎样得到？问题 7.关键五个点思考：（ 1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x 0,2 的图象怎样得到y=1+sinx ， x0,2的图像

3、？由 y=cosx,x 0,2的图象怎样得到y=-cosx ， ， x 0,2的图像？四、巩固练习1、在 0,2 上 , 满足 sin x1 的 x 取值范围是 ().2A.0,B.,5C.,2D.5 ,3666662、 用五点法作 ) y=1-cosx， x 0,2 的图象 .3、结合图象，判断方程sinxx 的实数解的个数.五、课堂小结在区间 0 , 2 上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点） . 函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到.六、当堂检测1、观察正弦函数的图象，以下4 个命题：（ 1）关于原点对称（ 2）关于 x 轴对称（ 3）关

4、于 y 轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是A 、（ 1）、（ 2）B、（1）、（ 3）C 、（ 1）、（ 4）D 、（ 2）、（ 3）（）文档实用标准2、对于下列判断：（ 1）正弦函数曲线与函数ycos( 3x)的图象是同一曲线；2（ 2）向左、右平移2 个单位后，图象都不变的函数一定是正弦函数；（ 3）直线3是正弦函数图象的一条对称轴；x2（4）点 (,0) 是余弦函数的一个对称中心 .2其中不正确的是A、（ 1）B 、（ 2） C 、（3）D 、（4）（）3、（ 1） ysin x 的图象与 ysin x 的图象关于对称；（ 2） ycos x 的图象与 ycos x 的图象关于对称

5、.4、（ 1）把余弦曲线向平移个单位就可以得到正弦曲线；（ 2）把正弦曲线向平移个单位就可以得到余弦曲线.5、画出 y3cos x1的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.七、课后作业教材P46 A 组第1题文档实用标准§ 1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性学习目标 ： 1. 了解周期函数及最小正周期的概念.2.会求一些简单三角函数的周期.学习重点 ：周期函数的定义，最小正周期的求法.学习难点： 周期函数的概念及应用.学习过程 ：一、情境设置自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等 . 数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转

6、一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念 函数周期性 . 二、探究研究问题 1：观察下列图表x- 2- 3-0232222sinx010-1010-10从中发现什么规律？是否具有周期性？问题 1： . 如何给周期函数下定义？周期函数的定义问题 2：判断下列问题：（ 1）对于函数 y=sinx x R 有 sin(2) sin成立，能说是正弦函数 y=sinx 的周期？442（ 2） f ( x) x2 是周期函数吗？为什么？（ 3）若 T 为 f (x) 的周期，则对于非零整数k , kT (k Z ) 也是f ( x) 的周期吗？问题

7、3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？问题 4： 最小正周期的含义 ；求 f ( x)sin x, f ( x)cos x 的最小正周期？三、例题精讲例 1:求下列函数的最小正周期：（ 1） f (x)cos2x ；x)（ 2） g (x) 2 sin(26变式训练 :1. 求f (x) cos( 2x)g( x)x6)的周期22 sin(问题 5：观察以上周期的值与解析式中x 的系数有何关系？结论：函数f （ x）Asin（x）（>0) 的周期为四、巩固练习1、 求下列函数的周期：（ 1）函数 y 3sinx 的周期是 _.（ 2）函数 y 3 sinx 的周期是

8、 _.（ 3）函数 y cos2x 的周期是 _.（4） . 函数1的周期是 _.y 2cos( x - ) 2 6（ 5） . 函数 y sin(xx )的周期是 _.242. 函数 y Asin(x)或yAcos(x) 的周期与解析式中的 _无关，其周期为 _.3.函数 f （ x） sin（ x）（0)的周期是2则 =_434.若函数 f(x) 是以为周期的函数，且则172f( ) 1f()365. 画出函数 f(x) sinx 的图像并判断是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？五、小结反思对周期函数概念的理解注意以下几个方面：(1)f ( x T) f ( x) 是定义域内的恒等式，

9、 即对定义域内的每一个x 值， xT 仍在定义域内且使等式成立 .(2)周期 T 是常数，且使函数值重复出现的自变量x 的增加值 .(3)周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.文档实用标准六、当堂测评：七、课后作业1、设 a0 ，则函数 ysin(ax 3) 的最小正周期为教材 P46A 组第 3、10题（）A、B、C、 2D、 2a| a |a| a |2、函数 f ( x ) 2 cos( k)1 的周期不大于2，则正整数 k 的最小值是（）43A、 13B、 12C、 11D、103、求下列函数的最小正周期：（ 1）ysin(x T.),32（2） ycos(2x

10、), T.64、已知函数 y2sin( x) 的最小正周期为，则.335、求函数的周期：（ 1） y1 cosx周期为：.2（ 2） ysin 3 x周期为：.4（ 3） y2 cos4x周期为：.（ 4） y3周期为：.sin 2 x46、试画出函数 y=sin x的图像，函数 y=sinx 是周期函数吗？如果是，则周期是多少？7、已知函数 y3 sin( k x) 1, (k 0) ，求最小正整数k ，使函数周期不大于2；36文档实用标准§ 1.4.3正、余弦函数的 值域、奇偶性、单调性练习 1：（ 1）若y cos(x)呢？（ 2）若 y2 | sin 2x | 呢？3学习目标

11、 ： 1. 掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题.学习重点 ：三角函数的 值域、奇偶性、单调性 .学习难点： 求三角函数的单调区间，根据图象求值.学习过程 ：例 2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小一、情境设置（ 1） sin （) 与 sin （)(2)cos（23) 与 cos（17 )在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？181055二、探究研究问题 1.观察 y=sinx, y=cosx (x R)的图象，你能得到一些什么性质？问题 2.分别列出 y=sinx,y=cosx(x R)的图象与性质函数ysin

12、xycos x图象练习 2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小定义域值域最值当 x时， ymax =当 x时， ymax =当 x时， ymin =当 x时， ymin =最小正周期奇偶性单调性在在上，上，都是增函数；都是增函数；在在上，上，都是减函数；都是减函数；对称轴方程对称中心三、例题精讲例 1：求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合(1) yx(2)y 2sin 2xcos3（ 1） sin 2500 与 sin 260 0(2)cos（23 ) 与 cos（17)550054)63)（ 3） cos515与 cos530（ 4） sin（与 sin（78例 3: 判断下列

13、函数奇偶性（ 1） f(x)=1-cosx（ 2） g(x)=x-sinx练习 3：判断下列函数的奇偶性：f ( x)| sin x | cos x ：；fxtan3x x：( )f ( x)xcos x ：.文档例 4. 求 y sin( 1 x) ， x2 ,2 的单调增区间23练习 4：（ 1）求 y cos(2x) ， x0,2 的单调增区间3（ 2）求 y sin( 2x 3 ) 的单调增区间四、巩固练习1、 . 函数 y=sinx, 当 y1 时自变量 x 的集合是 _.22、 . 把下列三角函数值从小到大排列起来为：_sin 4，cos 5，sin32 ，cos 5545123、

14、 . 函数 y2sin2x 的奇偶数性为（）.A. 奇函数B. 偶函数 C既奇又偶函数D.非奇非偶函数4、下列四个函数中，既是（ 0,上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（） .）2A. y sinxB. y=sin2xC.ycosxD. y cos2 x5、函数 y2 cosx, x0,2，其增区间为.减区间为.3实用标准五、小结反思：正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.结合图象解题是数学中常用的方法.六、当堂测评：1、设 kz，则三角函数ysin 2x 的定义域是（）A、 2kx 2kB 、 kx kC

15、、 2kx 2kD、 kx k222、在 , 上是增函数，又是奇函数的是（）A 、 ysin xB、 ycos 1 xC、 ysin xD 、 y sin 2x2243、已知函数 y 1cos x ，则其单调增区间是；单调减区间是。4、 求下列函数的单调增区间：（ 1） y2sin(2x)（2） ycos2x4七、课后作业教材 P46 A 组 第 2、4、5 题文档实用标准§1.4.3 正切函数的图象与性质三、 例题精讲学习目标： 1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题.2.能借助正切函数的图象探求其性质.例 1：求 y tan( x) 的定义域、周期和单调区间学习重点 ：运用三角

16、函数的图象与性质解题23学习难点： 正切函数的单调性学习过程 ：一、情境设置变式训练 ：（1）求 ytan3 x 的定义域、周期和单调区间问题 1.在单位圆中如何定义正切线的？问题 2.回忆 ysin x 图象的由来，你能通过正切线作y tan x x,的图象吗？22二、探究研究新知 1： 正切曲线问题 3.观察 ytanx 的图象，你能得到ytan x 的一些怎样性质？新知 2： 正切函数的性质（1）定义域(2) 值域(3) 最小正周期(4) 单调性(2) 、函数 ytan(ax)(a0) 的周期为（） .6A 2B 2C Daaaa例 2、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围 t

17、an x0 tan x0 tan x 0 tan x3四、巩固练习1、 ytan x(xk, kZ ) 在定义域上的单调性为（） .2A在整个定义域上为增函数B在每一个开区间(k,k)( k Z ) 上为增函数22C在整个定义域上为减函数D 在每一个开区间(2 k,2 k )( kZ ) 上为增函数222、下列各式正确的是（） .A. tan(13)tan(17) B.tan(13 )tan(17) C. tan(13)tan( 17) D. 大小关系不确定4545453 、直线 ya ( a为常数 ) 与正切曲线 ytanx(为常数，且0) 相交的两相邻点间的距离为（） .AB 2CD与 a

18、 值有关文档实用标准4、与函数ytan(2 x)的 图象不相交的一条直线是（） .4A xB yC xD y2288五、小结反思：（ 1）作正切曲线简图的方法： “三点两线”法，即 (0,0), (, 1),( ,1) 和44直线 x2及 x，然后根据周期性左右两边扩展 .2（ 2）正切函数的定义域是 x | x k, k z ，所以它的递增区间为2( k, k), kz22六、课后作业：1、函数 ytan 3x 的最小正周期是（）A、 1B、 2C、 6D、 3332、函数 ytan(x) 的定义域是（）43A、 x | xR 且 xB 、 x | xR 且 x44C、 x | xR 且 x

19、 k, kz D、 x | xR 且 x k3 , k z 443、下列函数不等式中正确的是（） .A tan 4tan 3B tan 2tan 37755C tan(13tan(1513) tan(12) D tan()78454、在下列函数中，同时满足：在0,上递增；以 2为周期；是奇函数的是（） .2A ytan xB ycos xC y tan xD ytan x25、函数 tan 224 ,sin136 , cos310 的大小关系是（用不等号连接）：7、求函数 ytan( x) 的单调区间。268、确定函数ytan(2x) 的单调区间 .3.6、函数 ytan x 的定义域是.文档

20、实用标准§1.5.1函数 y Asin( x ) 的图象与性质（ 1）问题 3. ysin 2x, y sin 1 x 与 y sinx 的图象有什么关系 ?2学习目标 : 1. 了解 y A sin( x) 的实际意义，会用五点法画出函数y Asin( x) 的简图 .2. 会对函数 y sin x 进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想 .学习重点 ：五点法画 y Asin(x ) 的简图和对函数y sin x 的三种变换 .学习难点： 函数 y sin x 的三种变换 .学习过程 ：结论 3： 一般地 , 函数 y sin x(0,1)的

21、图象可以看做将函数y sinx 的图象上所有的点的横坐一、情境设置1.物体作简谐运动时，位移s 与时间 t的关系为 sA sin( x) ( A 0,0) ，其中振幅是,标变为原来的而得到的 .周期是,频率是,相位为,初相是问题 4. 函数 yAsin( x) ( A0,0) 的图像可由函数y sinx 的图像经过怎样的变化得来？) 的图象与 ysin x 有何关系 ?2.函数 yA sin( x例 1： 作函数 y3sin(2 x)的简图 .二、探究研究31.在同一坐标系中 , 画出 ysin x , ysin(x) ,y sin(x)的简图 .44问题 1.ysin( x) 与 y sin

22、 x 的图象有什么关系 ?4结论 4：函数 yAsin( x) ( A0,0) 的图像，可由函数y sinx 的图像用下面的步骤变化得到：结论 1：一般地 , 函数 y sin(x) 的图象可以看做将函数y sinx的图象上所有的点向第一步第二步平第四步第三步移个单位长度而得到的 .三、教学精讲1 sin x 与 y问题 2.y3sin x, ysinx 的图象有什么关系 ?3例 2:叙述 ysin x 到 y2sin( x) 的变化过程 .4例 3:叙述 ysin x 到 y1的变化过程 .sin 2x2练习 1: y sin( x) 向 _ 平移 _个单位得到 ysin x3 ysin(

23、x) 向_ 平移 _个单位得到y sin( x)结论2,函数yAsinx(A 0, A 1)的图象可以看做将函数y sin x 的图象上所有的点的纵坐33： 一般地标变为原来的而得到的 . yf (x) 向右平移个单位得到 y sin(x) , 求 f (x)24文档实用标准例 4：求函数 y sin(2x六、自我测评：6) 的振幅 , 周期 , 频率 , 相位 , 初相 , 用五点法作出该函数的图象2 sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的1、将函数 y2 倍，纵坐标不变，得到新的函数图象，2那么新函数的解析式为（）A、 y4 sin xB 、 ysin xC、 y2 sin xD

24、、 y sin 2x2242. 把 y=sinx 的图象上各点向右平移3单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4 倍，则所得的图象的解析式是（） .四、巩固练习1、把函数 f ( x)1 sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍，而横坐标不变， 可得 g( x)的3图象，则 g (x)A 、 1 sin xB 、 1sin xC 、 1 sin 3xD 、 sin x（）93332. 下列命题正确的是 ( ).A.ycosx 的图象向左平移得ysinx 的图象2B.ysinx 的图象向右平移得ycosx 的图象2C. 当<0 时， ysinx 向左平移个单位可得

25、 ysin(x) 的图象D.ysin(2x)ysin 2x 的图象向左平移个单位得到的图象由633. 函数y 3sin(2x) 的图象， 可由函数 ysinx 的图象经过下述 _变换而得到 （）.3A. 向右平移个单位，横坐标缩小到原来的1 ，纵坐标扩大到原来的3倍32B. 向左平移个单位，横坐标缩小到原来的1 ，纵坐标扩大到原来的3倍32C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2 倍，纵坐标缩小到原来的136D. 向左平移个单位，横坐标缩小到原来的1，纵坐标缩小到原来的1236五、小结反思：平移变换 y sin( x)A.yB.1x)C.D.1)y 4sin(2 x)4sin(y 4sin(2

26、x)y4 sin( x2332333. 已知函数 ysin( x ），在一个周期内，当x12时，取得最大值2，当x 7 时取得最小值 -2 ，那么（） .122sin( x B.1A. y)C.2sin(2xD.y 2sin(2x)ysin(x)26y3)6234. 将 函 数 ysin(x)的图象向右平移个单位，所得到的函数图象的解析式是3_；将函数 ycos( 2x) 的图象向左平移个单位，所得到的函数图象的解6析是 _.5 、将函数 y3 sin 4 x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1 倍，横坐标不变，那么新图象对432应的函数值域是，周期是.6、函数 y1 sin( 3x) 的定

27、义域是，值域是，53周期，振幅，频率，初相.7、用“五点法”列表作出下列函数一个周期的图象：（ 1）y cos(2x)；（ ）2)42 y2 cos( x33函数 ysin x 的图象振幅变换yAsin xyA sin(x)周期变换ysinx文档实用标准§1.5.2函数 yAsin( x) 的图象与性质（ 2）练习 1：若函数 y Asin(x )(A 0, 0,02 )的最小值为 -2 ，周期为2，且它的图象过点 （ 0，2 ），3学习目标 :1. 熟练掌握由 y sin x 到 yAsin( x) K 的图象的变换过程 .求此函数的表达式。2. 根据三角函数的图象给出的条件求函数

28、解析式.学习重点 ： 图象的变换过程 .学习难点：作出振幅变换，相位变换，周期变换相结合的图形，并求出解析式.学习过程 ：一、情境设置函数 y2sin( 2x)1 的图象可以由ysinx 经过变换得到吗？3二、探究研究在同一直角坐标系中用五点法作y sin 2x 与y sin( 2x3)的一个周期图象 .2问题 1. 它们两个图象的关系是什么?问题 2：函数 ysin( x)(0,0)的图象和 y sin x 的图象有怎样的关系。三、教学精讲例 1：（ 1）将函数 ycos x 的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的3 倍，再将所得图象向左平移 个单位得到yf (x) 的图象，则 f ( x)

29、_ .3（ 2）把函数 ycos(3x3) 的图象向 _平移 _个单位可得到 y sin( 3x) 的图象例 2: 已知函数 y Asin( x)(A0,0,02 )图象的一个最高点（2， 3）与这个最高点相邻的最低点为（ 8， -3 ），求该函数的解析式 .四、巩固练习1. 函数 y3sin(2x) 的图象可看作是函数y3sin 2x 的图象，经过如下平移得到的，其中正确的3是（） .A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D.向左平移个单位33662. 已知函数 yAsin( x)（ A>0，>0，0<）的两个邻近的最值点为 （，2 ）和（ 2， 2）

30、，63则这个函数的解析式为_.3. 下列命题正确的是 ( ).A.ycosx 的图象向左平移得ysinx 的图象2B.ysinx 的图象向右平移得ycosx 的图象2C. 当<0 时， ysinx 向左平移个单位可得 ysin(x) 的图象D. y sin(2x)的图象由 y sin 2x 的图象向左平移个单位得到364. 已知函数 yAsin() (A>O,>0, < ) 的最小正周期是2，最小值是 -2 ，且图象经过点3（ 5 ，0 ），求这个函数的解析式 .9文档实用标准五、小结反思 ：6、已知函数 y A sin( x)( A0,0) 的图象最高点为,3，由此最

31、高点到相邻最低点3y sin x到 y A sin( x) k 的变换流程图 .的，图象与 x 轴的交点为,0。求此函数的一个表达式 .2ysinxysin(x)ysin( x)yAsin( x)Asin( x)k六、自我测评：1、把函数 ysin x 的图象向下平移 1 个单位，再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的3 倍，然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的3 倍，最后再把所得的图象向左平移个单位，则所得图3象对应的函数是（）7、设函数 y A sin( x) b( A 0, |). 在同一周期内，当 x5时，y 有最大值为 7 ；当A、 y 3 sin( x) 1 B 、 y3sin( x)3C 、 y3sin(3x) 1D 、 y3sin(3x)3233239393911， y 有最小值。求此函数解析式 .x332、要得到 ysin 1x 的图象，只需将函数 ysin( 1 x) 的图象（）223A、向左平移B 、向右平移C、向左平移2 D 、向右平移 233333. 函数 y3sin(2x) 的图象， 可由函数 ysinx 的图象经过下述 _变换而得到 （）.3A. 向右平移个单位，