勾股定理及逆应用-最短路径问题-黎雪萍-学生版

1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： NJ07 学员姓名：王昕怡年 级：初二 辅导科目：数学 课时数：3 课时 学科教师：胡飞飞授课类型T 勾股定理和逆定理C 勾股定理求最短路径T 勾股定理应用授课日期时段2015-2-11教学内容一、同步知识梳理1 勾股数：满足 a2+ b2= c2的 3 个正整数 a、b、c 称为勾股数.(1) 由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：满足 a2+ b2= c2都是正整数.两者缺一不可.(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2+ b2= c2(但不一定是勾股数),例如：3、4、5 是一组勾股数，但是以0.3 cm、0.4 cm、0.5

2、 cm 为边长的三个数就 不是勾股数。二、同步题型分析1 等腰三角形的周长是 20 cm，底边上的高是 6 cm，求它的面积.2、(1 )在厶ABC中，/ C= 90 , AB = 6, BC = 8, DE 垂直平分 AB，求 BE 的长.(2)在厶ABC中，/ C= 90, AB = 6, BC = 8, AE 平分/ CAE , ED 丄 AB,求 BE 的长.ABCD，是点 D 落在边 BC 上的点 F 处，折痕为 AE , AB=CD=6 ,EC(3)如图，折叠长方形纸片的长度.-、专题精讲知识总结：长方体:（1）长方体的长、宽、高分别为a、b、c； （2）求如图所示的两个 对顶点的

3、最短距离 d。（2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d 是.（a b）2c2、（ a c）2b2、.（ b c）2a2中最小者的值。圆柱体：（1）圆柱体的高是 h、半径是 r ；（ 2）要求圆柱体的 对顶点的最短距离。圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d ；两条路线比较：其一、AC+BC 即高+直径 ；其二、圆柱表面展开后线段 ABhh2r2的长.题型二、长方体例题 1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点Cl处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .例题 2、如图，长方体的长为 15,宽为 10，高为20,点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如

4、果要沿着 长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是/Im/1012 门10 0例题 1、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AAi的端点 A 到达 Ai，若圆柱底面半径为题型四、台阶问题例题：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm. A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到 点 B 的最短路程为cm题型五、非对顶点问题最短距离为例题 1 :如图，长方体的底面边长分别为2cm 和 4cm，高为 5cm .若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂奴爬行

5、的最短路径长为 _ cm .1 如图 1，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个 侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm ;如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B,那么所用细线最短需要_cm.一、 能力培养例 1: (1) 一轮船以 16 n mile /h 的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mile /h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h 后，两船相距 _(2)一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 m,消防车的云梯最大升长为 1

6、3 m,则云梯可以达到该建筑物的最大高度是(3)棵树在离地面 9m 处断裂，树的顶部落在离底部12 m 处，树折断之前有m .3cm图1例 2 :如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根 0 的距离为 7m ,梯子的顶端 B 到地面的距离为 24 m，现将梯子的底端 A 向外移动到A，使梯子的底端 A到墙根 0 的距离等于 15 m.同时梯子的顶端B 下降至 B，那 BB等于()A . 3mB . 4 mC. 5 mD . 6 m例 3: ( 1)在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1 米，一阵风吹来，红莲吹到一边,花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m 求这里的水深是多少米?(2

7、)学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2 米,他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，绳下端离开旗杆底部6 米，则旗杆的高度是多少米？例 4:中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米/时一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速 检测仪 A ”正前方 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得“小汽车”位置 B 与“车速检测仪 A ”之间 的距离为 130 米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由.例 6、如图，/ AOB=90 OA=45cm, OB=15cm，一机器人在点 B 处看见一个小球从点 A

8、出发沿着AO 方向匀速滚向点 O,机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？例 7、如图，在一棵树的 10 m 高的 D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例 8、如图，点 P 是等边 ABC 内的一点，分别连接 PA、PB、PC,以 BP 为边作/ PBQ=60。，且BQ=BP，连接 OQ.观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说明你的结论;已知 PA: PB :

9、 PC=3 : 4: 5,连接 PQ,试判断 PQC 的形状，请说明理由.例 9、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB = 50km , A、B 到直线 X 的距 离分别为10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P,向 A、B 两景区运送游客小民设计 了两种方案，图 1 是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直，垂足为 P）,P 到 A、B 的距离之和 Si= PA+PB, 图 2 是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A,连接 BA 交直线 X 于点

10、P） , P 到 A、B 的 距离之和 S2= PA+PB.（1 ）求 Si、S2,并比较它们的大小；（2 ）请你说明 3 = PA+PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3 所示的直角坐标系，B到直线 Y 的距离为 30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q,使 P、A、B、Q 组成的四边形 的周长最小并求出这个最小值.BC 8,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,）图1C 25C.22、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图（a）是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用

11、其面积关系验证勾股定理.图（b）是由图（a）放人长方形内得到的，/ BAC = 90, AB = 3, AC = 4, 点D , E, F, G , H , I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为（）A .24B.24nD.2525n2拓展提高：1、在 Rt ABC 中，则阴影部分面积为AC = 6,(Cc所以/ABFE你能根据图拼成的BC. 110A . 90D . 121B . 100BAE = 90,面积等于 Rt5、(1)如图(2),在四边形 ABCD 中，BC 丄 CD, / ACD=ZADC3、 如图，P 是正 ABC 内一点，且 PA = 6, PB = 8, PC= 10,若将 PAC 绕点 A 逆时针旋转后 得到 PAB，则点 P 与 P之间的距离为 PP=_, / APB=_度.4、如图，正方形分别为 S1、S2、求证：AB + ACBC2CD2ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 25、9、16,AAEH、 BDC、 GFI 的面积S3,贝 U S1+ S2+ S3=_ .(2)如图(2)，在 ABC 中，AB 上的高为 CD,试判断(AC + BC)2与 AB2+ 4CD2之间的大小关系，