高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)专题01平面向量的概念及运算(知识精讲)(解析版)

1、专题一平面向量的概念及运算知识结构图内容考点关注点平面向量的概念及运算向量的概念向量具后方向共线向量、相等向量、相反向量大小、方向向量的加法三角形、平行四边形法则向量的减法差向量的方向二.学法指导1 .理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向.2 .共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.3 .两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理

2、几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.4 .相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线.(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.5 .向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.(2)两个向量的和向量仍是一个向量.(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.1.1. 用三角形法则时，要注意两向量首尾顺次相连”，其和向量为 起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两

3、向量 共起点”，其和向量为共起点的对角线”向量.7 .向量减法运算的常用方法常用方法可以通过相反向量.把向量渡法的 运算紧化为加法与鲜运用向贵或击的三禽形法则,此时 要注意两个向量要看共同的起点引入点亿里用囱址减法的三角爵诔 则,将各囱量起血虢一8 .向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和.(2)起点相同且为差.解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.9 .与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算.知识点贯通知识点1向量的有关概念零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向

4、量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量a, b平行，记作a / b规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量a与b相等，记作a= b例题1.判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且 回>|b|,则a>b;(2)若向量|a|= |b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同，则a=b;(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.【答案】(1)不正确 (2)不正确 (3)正确(4)不正确 (5) 不正确【解析】(1)不正确.因为向

5、量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.(2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.(3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a=b.(4)不正确.依据规定：。与任意向量平行.(5)不正确.因为向量 a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.知识点二向量的表示及应用1.向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a, b, c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用2.表示 向量的有向线段的起点与终点表示向量，如A

6、B, CD, EF等.例题2:某人从A点出发向东走了 5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10y2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量AB, BC, CD;(2)求AD的模.(1)作出向量AB, BC, CD,如图所示:(2)由题意得，ABCD是直角三角形，其中/ BDC=90°,BC= 10%W米，CD = 10米，所以BD= 10米.AABD是直角三角形， 其中/ ABD = 90°, AB = 5米，BD= 10米，所以AD = 52+ 102 = 5取米)，所以ADrs、M米.知识点三相等向量和共线向量1 .相等向量：长度相等

7、且方向相同的向量。向量 a与b相等，记作a=b.2 .共线向量：方向相同或相反的向量。例题3 .如图所示，。是正六边形 ABCDEF的中心，且OA=a, OB=b, OC = c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与 a, b, c相等的向量.【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有 OD, BC, AO, FE.(2)与 a 共线的向量有 EF, BC, OD , FE, CB, DO, AO, DA, AD.(3)与a相等的向量有EF, DO, CB;与b相等的向量有DC, EO, FA;与c相等的向量有FO, ED, AB.知识

8、点四向量加法的三角形法则和平行四边形法则已知非零向量 a, b,在平面内任取一点A,彳AB=a,BC = b,则向量AC叫做a与b的和，三角形法则 记彳a+b,即 a+ b=AB +BC=AC.A a*Ii平行四边形法则已知两个不共线向量量 AC = a + b.a, b,彳AB= a, AD=b,以AB,AD为邻边作?ABCD ,则对角线上的向例题4.如图，在"BC中，D, E分别是 AB, AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE/BC, AB/CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量)： AB+ DF = AD+FC = AD+BC + FC =【答案】ACABAC【解析】

9、如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知: AB+ DF = AB+ BC = AC. AD+FC =AD + DB = AB. AD+BC + FC =AD+ DF + FC = AC.知识点五向量加法运算律的应用向量加法的运算律(1)交换律：a+ b= b+ a.(2)结合律：(a+b)+ c= a+(b+c).f - f例题 5.(1)化简： BC+AB; DB + CD + BC;AB+DF + CD + BC+FA.【答案】AC；0 ;0。【解析】(1) BC+AB = AB+ BC = AC; DB + CD + BC = BC+ CD + DB = 0

10、; AB+ DF + CD + BC+ FA= AB+ BC + CD + DF + FA= 0.知识点六向量减法的运算及简单应用1 .相反向量(1)定义：与向量a长度相等，方向/目反的向量,叫做 a的相反向量.(2)性质：一(一a) = a.对于相反向量有：a+(-a) = 0.若a, b互为相反向量，则 a= - b, a+b=0.2 .向量的减法(1)定义：ab=a+(b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.(2)作法：在平面内任取一点O,例题6. (1)如图所示,用a, b表示DB;用b, c表示EC.(2)化简下列各向量的表达式：f - ff - f AB+BC AD;(A

11、B CD) (AC BD)；(AC + BO + OA) (DC DO OB).【解析】(1)由题意知BC=a, CD = b, DE = c.DB = CBCD = BC- CD = - a-b. EC= CE = -(CD+DE)=- b-c. (2) AB + BC - AD = AC - AD = DC.(AB CD) (AC BD) = (AB + BD) (AC + CD) = AD AD = 0. (AC +BO+ OA) (DC -DO-OB) =(AC + BA) (OC OB) =BC- BC= 0.(2)法一：(加法法则) 原式=(AB + BD)-(AC + CD) =

12、 AD-AD = 0;法二：减法法则(利用相反向量) 原式=ABCD AC+BD = (ABAC)+ (DC DB) = CB+BC = 0;法三：减法法则(创造同一起点)原式=AB-CD-AC+BD = (OB OA) - (OD - OC) - (OC-OA) + (OD-OB) =OB OA OD + OC OC + OA + OD OB = 0.五易错点分析易错一零向量方向任意、共线向量例题7.给出下列命题：若 a / b, b / c,贝U a / c;若单位向量的起点相同，则终点相同；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;向量AB与CD是共线向量，则 A, B, C, D四点必在同一直线上.其中正确命题的序号是 .【答案】【解析】错误.若 b = 0,则不成立；错误.起点相同的单位向量，终点未必相同；正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； 错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB, CD必须在同一直线上.误区警示零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断。易错二 向量的加法、减法运算例题8.化简下列向量表达式： OM ON+ MP NA; (2)(AD-BM)+(BC-