广东省深圳市2013年高三数学第一次调研考试试题理(2013深圳一模)新人教A版

1、4 |广东省深圳市2013年高三第一次调研考试数学（理）试题本试卷共 21 小题，满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项:1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区，请保持条形码整洁、不污损。2选择题每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答 案无效。3.非选择题必须用 0 5 毫米黑色字迹的

2、签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来 的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无 效。4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。 参考公式：3.图 I 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是128-兀332Ji31若锥体的底面积为 S,高为 h,则锥体的体积为 V = -Sh.3S=4 二氏，体积为 V=4二3若球的半径为R,则球的表面积为2R,回归方

3、程为y=bx a, 其中:n、X=xyiyH呻U n-亍,a=y_bx.送(x-x)i A8 个小题；每小题一、选择题：本大题共且只有一项是符合题目要求的.1. 化简A .2. 已知A .5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,sin 2013o的结果是 sin33oB.i 是虚数单位，则复数l+iB.cos33oi13(1+i )l iA. -sin 33oB. -cos33C. -1+1D. -I iA. 32 二、B . 16 二、H4h-4-H4. 1 ? )4.双曲线x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍，贝 U rn=11A .B.C. 2D. 4425.等差数列ad

4、中，a , a2, as分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1, a?, as中的任何两个数不在下表的同一列。第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913则 a4的值为A . 18B.15C. 12D. 206.我们把各位数字之和为6 的四位数称为“六合数”(如 2013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有A . 18 个B. 15 个C. 12 个D. 9 个7.函数 y = 1n|x 1|的图像与函数 y=-2 cos 二 x (-2 x1)个小矩形，若其中一个小12 二、16Tt3D. 8 二、16JI3C. 4D.221矩形的面积等于其余

5、n -1 个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是511.已知= (x, y) |x+ y w 6, x0, y 0, A= ( x, y) |x 0 , xy2 0，若向区域 11 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率是 _.12._若执行图 2 中的框图，输入N=13,则输出的数等于 _。(注: “S=0”，C讨2即为“ S- 0”或为S=o”.)222213.设集合 A= (x, y) | (x 一 4) +y =1, B= (x, y) | (x t ) + (y-at+ 2 ) =l,如果命题“tR, A|B =.”是真命题，则实数a的取值范围是 _。（二）选做题：第

6、14、1 5 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的 得分.14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点 0 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系.曲线 C 的参数方程为（t 为参数），曲线 C2的卜十1极坐标方程为 sin v -cos v =3，贝 U C 与 C2交点在直角坐标系中的坐标 为。15. （几何证明选讲选做题）如图 3，在 O O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EF 丄 BC 垂足为 F，若 AB=6 CF- CB=5 贝 U AE=_。三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步

7、骤.16. （本小题满分 12 分）f、I応x订已知函数 f （x） =2 sin + If （0:的终边上，求 tan （-2：）的值.17.（本小题满分 12 分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示:阳J学生AA2A3AA数学（x 分8991939597物理（y 分）8789899293(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的同归方程；(2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动，以 X 表示选中的同 学的物理成绩高于 90 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值.18.(木小题满分 14 分)如图

8、5,0 O 的直径 AB=4,点 C D 为 O O 上两点，且/ CA B=4，/ DAB=60, F 为BC的中点.沿直径 AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图6).(1) 求证：0F/平面 ACD(2) 求二面角 C- AD-B 的余弦值；(3)在BD上是否存在点 G,使得 FG/平面 ACD 若存在，试指出点 G 的位置，并求直 线 AG与平面 ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分 14 分)VC阳62已知数列an满足：ai=1，a2=(a 0), an+2=p 主 L (其中 P 为非零常数，n N*)anna当 a=1 时，令 bn=, S 为数

9、列bn的前 n 项和，求 Sn。an20.(本小题满分 14 分)已知两点 Fl(-1 , 0) 及 F2(1 , 0),点 P 在以 Fl、F2为焦点的椭圆 C 上，且|PFi|、|FiF2|、 IPF2I构成等差数列.(1) 求椭圆 C 的方程；(2)如图 7,动直线I:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，点M N 是直线l上的 两点，且 F1ML l, F2N 丄丨.求四边形 F1MNF 面积 S 的最大值.(1)判断数列邑是不是等比数列?an(2)求 an；(3)21.(本小题满分 14 分)a已知 f(x)=x- (a0), g (x) =2lnx+bx 且直线 y=2x

10、2 与曲线 y=g (x)相切.x(1)若对1 ,+)内的一切实数 x，小等式 f(x)g ( x)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当 a=l 时，求最大的正整数 k,使得对e，3 (e=2. 71828是自然对数的底数)内的任意 k 个实数 X1, X2，,Xk都有f(xj f(x2)f(xk)二16g(xk)成立;(3)求证：n4i*1n(2nD(n N).参考答案图7说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影

11、响的程度决定给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数.一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 40 分.12345678CCCDABBD换，以及平面向量的数量积等基础知识, 考查了简单的数学运算能力.二、填空题：本大题每小题5 分，满分 30 分.9.80；1010；118.271212.13413. 0 _ a _3三、解答题16.(本小题满分 12 分)14(2,5);15.1.已知函数f(x) =2sin(高点和最低点.(1)

12、求点A、(2) 设点A、+n)(0兰x兰5)，点63A、B 分别是函数 y = f(x)图像上的最B的坐标以及OA OB的值；B分别在角:- :的终边上，求tan(；.；-2：)的值.兀nn 7 n- + .36 361 / nxnsin()_1 .263TOC冗 冗n“ - r冗_，即x= 1时，sin()=1,f (x)取得最大值2;63263n(丄n 7 n _ .,n, n-l =-636nxn1，即x=5时，sinm匚,f(x)取得最小值-1.因此，点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5, -1).OA OB =15 2 (-1)=3.(2点A(1, 2)、B(5, -1)分别在角

13、1tan匚-2,tan：51o2g)5tan251心)2125102-()tan匕-2 )12作诗)29212【说明】本小题主要考查了三角函数f (x)二As in Cx 的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识, 考查了简单的数学运算能力.17.(本小题满分 12 分)一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示:学生A1A2A3A4A5数学(x 分)8991939597物理(y分)8789899293(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高

14、于90分的人数，求随机变量-89 91 93 95 97 x=5-87 89 89 92 93 y=55 (Xi-x)2=(-4)2(-2)202i 42242= 40,x(xi-X)(yi-y()(一3) (-2) (-1)0 (-1) 2 2 4 3 =30,i 130一_b0.75,bx = 69.75,a = y-bX = 20.25 .5 分40故这些数据的回归方程是：0.75x 20.25 .6 分(2)随机变量X的可能取值为0,1,2.121 E(X)=0+1+2=1 .636【说明】本题主要考察读图表、 线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计

15、知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力.18.(本小题满分 14 分)解：(1)散点图如右图所示. .1=93,P(Xc；yP(X二1)=警2c|3；P(X=2咤10 分故X的分布列为:X012P12163611 分X的分布列及数学期望E(X)的值.C；C；如图5,OO的直径AB =4，点C、D为OO上两点，且.CAB =45,/DAB=60,F为BC的中点.沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直 （如 图6）.（1）求证：OF/平面ACD;（2 ）求二面角C-AD- B的余弦值；（3）在BD上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正

16、弦值；若不存在，请说明理由.77图5（法一）：证明：（1）如右图，连接- CAB =45,CO _ AB,又；F为BC的中点，.FOB=45,.OF / AC.OF二平面ACD,AC平面ACDOF/平面ACD. .3解：(2)过O作OE_AD于E，连CE.CO _ AB，平面ABC丄平面ABD.CO丄平面ABD.又AD平面ABD,CO _ AD, AD_ 平面CEO,AD _CE, 则/CEO是二面角C- AD- B的平面角.5J-OAD =60,OA = 2,OE =一3.由CO丄平面ABD,OE平面ABD，得CEO为直角三角形,CO =2,CE二 一7.(3)设在BD上存在点G，使得FG平

17、面ACD,- OF/平面ACD,.平面OFG/平面ACD,OG/AD,. BOG= BAD =60.因此，在BD上存在点G，使得FG/平面ACD，且点G为BD的中点.10 分 连AG，设AG与平面ACD所成角为：，点G到平面ACD的距离为h.AA_Af_SACD=2AD CE=2、一7=. 7,SGAD二SOAD=召2 ,3=.3,112 J21由VG-ACD=VC-AGD，得7 h=3 2，得h. 12 分337在=AOG中，AO=OG=2,AOG =120，由余弦定理得AG=2、3，13 分OF =(0, .2,、2).v点F为BC的中点，.点F的坐标为0,2,. 2,OTJAC，即OF/

18、AC.2OF二平面ACD,AC平面ACD,OF/平面ACD .3 分解：(2)DAB =60，点D的坐标D .3,-1,0, 扃=(J3,1,0).设二面角C-AD-B的大小为二，m = x, y, z为平面ACD的一个法向量.由占0有“z12,2=0,即2y2-口AD =0, x,y,z.3,1,0 =0,“3x y=0.取x =1，解得y - - 3,z = . 3.m= i,3,、3.取平面ADB的一个法向量n2=0,0,1,（3）设在BD上存在点G，使得FG平面ACD,- OF/平面ACD，.平面OFG /平面ACD，则有OGAD.设OG= AD（，0）,: 7D=（血1,0），二OG

19、（屈入0）.又|OG=2 , . （ 3 ） 202，解得九=：1（舍去-1）.OG h叫3,1,0，则G为BD的中点.因此，在BD上存在点G，使得FG/平面ACD，且点G为BD的中点.11 分设直线AG与平面ACD所成角为，:AG十3,1,0） -（0, -2,0）十3,3,0）,根据（2）的计算m = 1,-、3,、.3为平面ACD的一个法向量,【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知 识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能 力.19.（本小题满分 14 分）2已知数列aj满足：a1 =1,a?二a（a =0）,an

20、= pnN）.n1n2l, cos6 =-_Ji-|ni| hl1沃o+（-J3sin：AG，二cos（90-二）二|AG|山|口卜|的心十3汉（一73）十0汉772、3 .7因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为14 分an(1np2n 1_(1-p2)2p2-1(1)判断数列空是不是等比数列?an(2)求an；当a=1时，令bn二匹圧an2解：（1）由an .2= P,an(3)Sn为数列bn的前n项和，求Sn.an 2an 1一=p an 1an令 6 =-，贝V G =a,Cn 1 =pCn.an:a = 0,. q = 0,Cn丄二p(非零常数)，Cn.数列色是等比数列.an（2

21、）；数列Cn是首项为n 1CnP a pa，公比为p的等比数列，即也二apn.an当n -2时，ananan J0 |1|皂a1（即心）（ap2）川（ap）1an _2a1n2.3n 22:ai满足上式，nan =apn2m：；2*2,n N.(3)an 2 _an 2anan +2 2n)=a p，当a = 1时，bnnan 22ndnppanSn=1p3III n p2nJp2Sn二1 p3 |l(n -1) p2nJ n p2n 1即P = -1时，-得:2nd2n 1p np= 9p_np2n1,1 - p2n11而当p =1时，Sn =1 2川卫2当p一1时，厲=(-1) (-2)川

22、(-n) =求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想.20.（本小题满分 14 分）已知两点F,-1,0）及F2（1,0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且PF1、F1F2、PF2构成等差数列.（1）求椭圆 C 的方程；（2） 如图 7,动直线丨：y二kx m与椭圆C有且仅有一个公共点， 点M , N是直线l上n（n +1） -d,P=，2n（n 1）.2，p= -1，2n、2n 1P（1-P）_np_卩严1（1 -P2）21-P2_.【说明】 考查了等比数列的通项公式、 等比数列求和公式、综上所述，S.M*14 分简单递推数列求通项、错位将直线I的方程y = k

23、xm弋入椭圆C的方程3x24y12中，得2 2 2(4k3)x 8kmx 4m -12=0.由直线I与椭圆C仅有一个公共点知，& =64k2m2m2= 4k23,-当k= 0时，m、3, 当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S =23所以四边形FiMNF?面积S的最大值为2. 3.22-4(4k3)(4m -12)=0,化简得：m2=4k23.设di二FiM =|k +mk2 /刖，（法一）当k = 0时，设直线I的倾斜角为-,则di d2= MN x tan日，d- d2(did2)二a2-d222k2|m|_k212|m8+分分MxF1O11 分F2（法二）；d1d2k +2Ik

24、 + m|2= (.k21)(k21)2(m2k2)k212(5k23)_2，k mm2k2，”.k2123k 3门223-汗也2-a赳）24匚2d2-2d1d2)，k2四边形F,MNF2的面积S = *|MN +d2) =d2),11 分=16 4( J 2)212k2+1当且仅当k=0时，S2=12,S=：2、,3，故Smax=2-、3.所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为2、3. 1分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想.21.(本小题满分 14

25、分)a已知f (x) = x (a 0),g (x) = 21 n x bx,且直线y = 2x - 2与曲线y = g(x)相x切.(1) 若对1,=)内的一切实数x，不等式f(x)_g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2) 当a=1时，求最大的正整数k，使得对e,3(e = 2.71828是自然对数的底数)内的任意k个实数X1,X2，Xk都有f (xj f(X2) f(Xk_J6g(Xk)成立;解：(1 )设点(x, y)为直线y =2x - 2与曲线y = g(x)的切点，则有21n x0bx0二2x0- 2.(*)22g (x) b,b=2.(*)xx由(* )、(* )两式，解得b

26、= 0,g(x) = 21 n x.2 分由f (x)一g(x)整理，得 _x - 21 n x,x；x_1, 要使不等式f(x)_g(x)恒成立，必须a二X2-2x1 nx恒成立.2 *1设h(x)=x -2x1 nx,h(x)=2x-2(1 nx x )=2x-21 nx-2,x2h (x2，当x一1时，h (x)一0,贝U h (x)是增函数，x-h (x)h(1)=0,h(x)是增函数，h(x) h(1)=1,a1. .5分因此，实数a的取值范围是0：a乞1.S21k21(dd22d!d2)16k212(k21)213 分(3)求证:4i4i2-1.In (2n 1) (n N1(2)当a=1时，f(x) =x-一,x1f (x) 0,f (x)在e,3上是增函数，f(x)在e,3