高中数学1-3算法案例辗转相除法与更相减损术课件新人教A版必修

1、13 算法案例 一一 教材分析教材分析 二二 教学目标分析教学目标分析 三三 教学方法与手段分析教学方法与手段分析 四四 学法分析学法分析 五五 教学过程分析教学过程分析 六六 教后反思教后反思 伴随着河南的新课改的不断深入发展，算法初步作为高中数学的一个新生儿，进入高中数学教学内容也己经有三年的时间了。随着在教学中对算法初步不断的学习、探索、研究，我们也逐渐认识到算法在数学中的地位和作用。 实际上，算法思想是贯穿在高中数学课程始终的基本思想。例如，二分法求方程的解；点到直线的距离、点到平面的距离、直线到直线距离；立体几何性质定理的证明过程；一元二次不等式；线性规划；等等内容中，都运用了算法思

2、想。 （一）教材的地位与作用 中国古代数学注重实际问题的解决，以算法为中心，寓理于算，其中蕴涵了丰富的算法思想，在世界数学史上一度处于领先地位。比较经典的算法有：辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、冒泡排序法、割圆术等。用我国传统的开方术求高次方程的近似根，就是算法上的一大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴。 因此，本节内容，不仅是前两节内容的延续与拓展，也使对学生前两节内容学习状况的巩固与提高，更是培养学生民族自豪感与爱国情怀、激发学生学习热情的有效手段。 （1）学生已经学习了一些

3、简单的算法，对算法已经有了一个初步的了解，对算法的三种基本逻辑结构和基本算法语句也有了一定的认知。 （2）学生的知识经验较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。 （3）学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。 （4）学生层次参差不齐，个体差异比较明显，特别在利用算法思想解决实际问题方面还存在很大不足。（a）知识与技能 1、理解辗转相除法与更相减损术中所蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2、基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。二、教学目标二、教学目标 对比用辗转相除法与更相减损术求两数的最大公约数的方法，比较它们在算法上

4、的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨。 领会数学算法与计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 在合作学习的过程中体验合作的愉快和成功的喜悦。 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 1教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用自学探究式，并遵循循序渐进的教学原则。这有利于学

5、生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。 2教学手段：通过教学媒体（计算机），分组合作，上台演板、讲解等手段，调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。 在理解最大公约数的基础上，去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序，并能通过上机操作，学以致用。（一）、自主预习（二）、展示交流（三）、点拨提升（四）、总结提高（五）、目标检测1. 回顾算法的三种表述：回顾算法的三种表述：自然语言自然语言程序框图程序框图程序语言程序语言（三种逻辑结构）（三种逻辑结构）（五种基

6、本语句）（五种基本语句）顺序结构、条件结构、循环结构输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句 教学设计教学设计通过对以前所学的知识的回顾，为本节内容的学习打下基础。2. 思考：思考： 1.1.小学学过的求两个数最大公约数的方法是什么？小学学过的求两个数最大公约数的方法是什么？ 先用两个公有的先用两个公有的质因数质因数连续去除，一直除到连续去除，一直除到所得的商是所得的商是互质数互质数为止，然后把所有的为止，然后把所有的除数除数连乘起连乘起来来. 试求（试求（1）求）求25和和35的最大公约数的最大公约数 （2）求）求49和和63的最大公约数的最大公约数25（1） 5535749（2）

7、77639所以，所以，25和和35的最大公约的最大公约数为数为5所以，所以，49和和63的最大公约的最大公约数为数为7 教学设计教学设计通过学案的形式通过学案的形式让学生在预习过让学生在预习过程中自主填写，程中自主填写，自我练习，从而自我练习，从而培养学生的自学培养学生的自学能力和自我探究能力和自我探究意识。意识。2 .除了用这种方法外还有没有其它方法？除了用这种方法外还有没有其它方法？试算出试算出8251和和6105的最大公约数的最大公约数. 1 辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法）例例1 .用辗转相除法求用辗转相除法求8251和和6105的最大公约数的最大公约数8251=6

8、1051+21461. 为什么为什么8251和和6105的公约数的公约数 就是就是6105和和2146的公约数？的公约数？（算法原理）（算法原理）6105=21462+1813 21461813133318133335148 333148237 1483740则则37为为8251与与6105的最大公约数。的最大公约数。 教学设计教学设计在老师的引导下，师生一同完成整个解题过程，并分组讨论，通过探究这两个问题，得出辗转相除法求最大公约数的算法原理和计算规律。2. 辗转相除法应用时的辗转相除法应用时的计算规律计算规律是是 S1：用：用大数大数除以除以小数小数 S2：除数除数变成变成被除数被除数，余

9、数余数变成变成除数除数 S3：重复：重复S1，直到，直到余数为余数为0 并将并将除数除数叫作这两个数的叫作这两个数的最大公约数最大公约数。整除思想被除数 = 除数 *商+余数 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个停止的步骤，这实际上是一个循环结构循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框图表示出右边的过程用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否

10、教学设计教学设计以学生自我探究、分组讨论、代表发言为主，老师适当引导为辅，让学生自己发现辗转相除法中蕴含的算法思想即循环结构。通过总结、提取算法中的循环结构，提高其观察能力和概括能力。思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是大数被小数除尽

11、，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。原来两个数的最大公约数。 第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得的余数所得的余数r. 第三步：第三步：m=n,n=r. 第四步：若第四步：若r0,则则m,n的最大公约数等于的最大公约数等于m；否则转到第二步否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数m. 教学设计通过对算法的算理分析，让学生利用已学知识编写出算法步骤、程序框图和程序，使学生经历设计算法解决问题的全过程，体现算法逐渐精确地过程。开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输

12、出输出m结束结束 INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END（4）程序 在画程序框图时，要让学生知道构造循环结构的步骤是 1 确立循环体:求m除以n的余数 r,m=n,n=r 2 初始化变量：输入m,n 3 设定循环控制条件：r=0？思考思考: 能否用当型循环结构写出辗转相除法的算法步骤、程序框图和程序？ 教学设计让学生再次体会用算法思想解决实际问题的全过程，并加深对直到型和当型两种循环结构的理解算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等

13、也，以等数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行约简；若不是则执行第二步。第二步。第二步：第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。数就是所求的最大公约数。 教学设计教学设计带领学生阅读更相减损术的内容通过中外数学历史的

14、对比，反映出中国古代人民的优秀，让学生体会中国古代数学对世界历史的发展做出的贡献，从而激发学生的爱国热情。我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。例例2 2 用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大公约数解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公约数等

15、于的最大公约数等于7 7 先约简，再求先约简，再求21与与18的最大公约数的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数然后乘以两次约简的质因数4用更相减损术求两个正数用更相减损术求两个正数8484与与7272的最大公约数的最大公约数 练习：练习： 教学设计通过例2和练习，让学生体会更相减损术的算法原理和计算规律，从而加深对知识的理解（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数数

16、减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。两个数的最大公约数。教法设计：用类似的方法总结更相减损术的算理，写出算法步骤，编写程序框图和程序。（2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b ,则执行第三步；否则转到第则执行第三步；否则转到第五步；五步；第三步：把第三步：把a-b的差赋予的差赋予r;第四步：如果第四步：如果br, 那么把那么把b赋给赋给a,把把r赋给赋给b;否则把否则把r赋给赋给a，执行第二步；，执行第二步；第五步：输出

17、最大公约数第五步：输出最大公约数b.（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND开始开始输入输入a,bab?是是否否 输出输出b结束结束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是例3、求324、243、135这三个数的最大公约数。（试用两种方法求解）思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。 教学设计教学设计及时的通过例题讲解、板演，巩固已学知识。使学生体会一题多

18、解的算法思想。（a）例题展示）例题展示1.比较辗转相除法与更相减损术的联系与区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到2.对比分析辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及算法程序。 教学设计教学设计通过小结使学生对知识有一个系统的认识，突出重点，突破难点，抓住关键，培养其概括能力，实现知识的升华(b)总结提升总结提升 1 利用辗转相除法求两数4081与 20723的最大公约数 （答案：53） 2 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。 （答案：12） 3 你能利用辗转相除法和更相减损术试着设计程序求出上面两道练习的答案吗？然后试着在计算机上运行程序。 教学设计教学设计通过上机操作，加强练习，激发学生们的学习兴趣，并且将学习的内容得到及时的应用与巩固,培养学生的实际操作能力和实