模糊聚类案例分析

1、模糊数学方法及其应用论文题目：模糊聚类方法案例分析小组成员：王季光宋申辉兰洁陈倩芸肖仑杨洋吴云峰2013年10月27日模糊聚类分析方法1.1 距离和相似系数为了将样品（或指标）进行分类，就需要研究样品之间关系。目前用得最多的方法有两个：一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的相似系数的绝对值越接近1,而彼此无关的样品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。另一种方法是将一个样品看作P维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。但相似系数和距离有各种各样的定义，而这些定义与变量的类型关系极大，因此先介绍

2、变量的类型。由于实际问题中，遇到的指标有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量（指标）的类型按以下三种尺度划分：间隔尺度：变量是用连续的量来表示的，如长度、重量、压力、速度等等。在问隔尺度中，如果存在绝对零点，又称比例尺度，本书并不严格区分比例尺度和问隔尺度。有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如某产品分上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量表示。名义尺度：变量度量时、既没有数量表示，也没有次序关系，如某物体有红、黄、白三种颜色，又如医学化验中的阴性与阳性，市场供求中的“产”和“销”等。不同类型的变量，在定义距离

3、和相似系数时，其方法有很大差异，使用时必须注意。研究比较多的是间隔尺度，因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。设有n个样品，每个样品测得p项指标（变量），原始资料阵为x1x2xpXix11x12x1pX2x21x22x2pXXnxn1Xn2xnp其中Xj（i1,1）n；j1,L，p）为第i个样品的第j个指标的观测数据。第i个样品Xi为矩阵X的第i行所描述，所以任何两个样品XK与XL之间的相似性，可以通过矩阵X中的第K行与第L行的相似程度来刻划；任何两个变量xK与xL之问的相似性，可以通过第K列与第L列的相似程度来刻划。1.2 F相似关系1.2.1 定义设RF（UU）,如果具有自反和对

4、称关系，则称R为U上的一个F相似关系（F表示模糊）当论域U为有限时，F相似关系可以用F矩阵表示。具有F相似关系的矩阵，称为F相似矩阵。在实际应用时，通常只能得到自反矩阵和对称举证，即相似矩阵。现在的问题是对具有相似关系的元素怎样进行分类，也就是如何将相似矩阵改造为等价矩阵。1.2.2 定理若RtR,则称R为对称矩阵。（1）若R1（I是单位矩阵），则称R为自反矩阵。（2）2若RR,则称R为传递的F关系。（3）若满足上面三点则称为等价矩阵。定理1：相似矩阵RUnn的传递闭包是等价矩阵，且RRn。证只需要证明R是自反的、对称的。n2ruRkRn因R是自反的，故R1,RR。不难得到Rn不减，因此k1:

5、即R是自反的。因为rrt,（RT（RYRn,故R是对称的。有定理1可见，要想将相似矩阵改变为等价矩阵，只需求相似矩阵的传递闭包。定理2：设RUnn是自反矩阵，则任意自然数mn,者B有RRm证由R自反性推得RR2.Rn.当mn时，有RRnRmURkRk11.3聚类分析所谓聚类分析，就是用数学的方法对事物进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生之前，聚类分析已是数理统计多元分析的一个分支，然而现实的分类问题往往伴有模糊性。例如，环境污染分类、春天连阴雨预报、临床症状资料分类、岩石分类，等等。对这些伴有模糊性的聚类问题，用模糊数学语言来表达更为自然。模糊聚类分析的步骤：第一步：数据标准化数据矩阵

6、设论域UXl，X2，Lxn为被分类的对象，每个对象由m个指标表示其性状，即Xi（X1,Xi2,.,Km）于是得到原始数据矩阵为X11X12LXmX21X22LX2mMMMXn1Xn2LXnm数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间0,1上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间0,1上。通常需要作如下集中变换。1）平移？标准差变换2）平移？极差变换3）对数变换第二步标定（建立模糊相似矩阵）设U（U1,U2,4为待分类的全体。其中每一待分类对象由一组数

7、据表征如下：Ui（Xi1，Xi2，.,Xim）现在的问题是如何建立“和山之间的相似关系。这有许多方法（这里选一些,列在下面），我们可以按照实际情况，选其中一种来求口与5的相似关系R（U,Uj）j(1)形似系数法数量积法1rj1mXik.XjkM其中M为一适当选择之正数，满足mMmax（Xk-Xjk）hjk1夹角余弦法mmIxikxillXjkxjIk1rij'm-2.（XikXi）2.k1m（XjXj）2其中最大最小法ml-11，XjmJrrjmmin（XiXjk）k1mmaX（Xk,Xjk）k1算术平均最小法r.rjmmin（XiXjk）k11m,、-（XikXjl2k1几何平均最小

8、法rrjmmin（XiXjk）k1m.Xk.Xjkk1绝对值指数法Ixikxjkl1ek1绝对值减数法1当ijriim一1c|凡Xj"当ijk1其中，c适当选取，使0rij1。（2）距离法1）直接距离法海明距离欧几里得距离切比雪夫距离2）倒数距离法3）指数距离法选择上述哪一个方法好，要按实际情况而定。在实际应用时，最好采用多种方法，选取分类最符合实际的结果。第三步聚类（求动态聚类图）。由第一步得到的矩阵R一般只满足自反性和对称性，即R是相似矩阵，需将它改造成模糊等价矩阵。为此，采用平方法求出R的传递闭包口，口便是所求的模糊等价矩阵。通过口便可对U进行分类。实际应用具体问题如下：X1:

9、地区生产总值（当年价格）（亿元）；X2:第一产业增加值；X3：第二产业增加值；X4：第三产业增加值；X5：地方财政一般预算内收入；X6：工业企业数（个）；X7：工业总产值（当年价格）（万元）；X8：从业人员年平均人数（万人）；X9：流动资产年平均余额（万元）；X1°：主营业务收入（万元）为1：利润总额（万元）；X:移动电话年末用户数（万户）；X13：国际互联网用12户数（户）；Xi公路里程；X'普通中学学生数（万人）；Xt医院、卫生院数（个）；X17：医生数（执业医师+执业助理医师）（个）。17项指标来描述江西省11各市区经济发展水平情况。现将11个不同经济发展水平的市区进行聚类人10.85730.68530.662030.61440.56360.49690.48620.45270.431601110,987654321352681147910分类数111098.765.4321标准差变换下一一相关系数法构造相似矩阵R采用传递闭包法进行聚类，得到的动态聚类图如下：入1924567810311分类数10.95260.8720.86840.85720.84080.83730.827350.754910.7165入1235478910116分类数10.89040.86440.83940.83760.78380.773310.77190.