第10章-1曲线积分与曲面

1、第第10章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区区 间间 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第一类第一类(对弧长的对弧长的)曲线积分曲线积分第二类第二类(对坐标的对坐标的)曲线积分曲线积分第一类第一类(对面积的对面积的)曲面积分曲面积分第二类第二类(对坐标的对坐标的)曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分10.1 第一类第一类 (对弧长的对弧长的) 曲线积分曲线积分10.1.1 第一类曲线积分的概念与性质第一类曲线积分的概念与性质10.1.2 第一类曲线积分的

2、计算第一类曲线积分的计算10.1.1 第一类曲线积分的概念第一类曲线积分的概念 1: 1:求以求以xy平面上的曲线平面上的曲线L为准为准线母线平行线母线平行z轴的柱面的面积轴的柱面的面积A分割分割,10nMMM.),(iiiishA 求和求和.),(1 niiiishA 取极限取极限.),(lim10 niiiishA nMiM1 iM0M),(ii Loxzy),(yxhz ,),(1iiiiMM 取取iA A高度高度h为常数时：为常数时：,hsA 近似近似1 nM2M1M2:2:非均非均匀平面匀平面曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxy0MnM1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.

3、sM 均匀的质量均匀的质量分割分割,10nMMM.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM ,),(1iiiiMM 取取),(yx 近似近似 以以xy平面上的曲线平面上的曲线L为准线母线平行为准线母线平行z轴的柱面的面积轴的柱面的面积A.),(lim10 niiiishA 非非匀质平面匀质平面曲线形构件曲线形构件L的质量的质量.),(lim10 niiiisM 1.1.定义定义设设L为为xy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧, ,is 为为又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界. .),

4、(yxf函数函数作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值,0时时 在在L上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段. .设第设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的长度为长度为一点一点, ,Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM1M,2M1 nM,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(这和的极限存在这和的极限存在, ,则称此极限为则称此极限为),(yxf函数函数在曲线弧在曲线弧 L 第一类曲线积分第一类曲线积分或或对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分. . 积分和式积分和式被积函数被积函数

5、弧长微元弧长微元积分弧段积分弧段记作记作 niiiisf1),( niiiisf1),( 0lim 曲线曲线L的长度的长度.d1 Lss曲线曲线L的质量的质量 LsyxMd),( 第一类曲线积分的几何意义第一类曲线积分的几何意义第一类曲线积分的物理意义第一类曲线积分的物理意义柱面柱面的面积的面积.d)( Lsx,yhA Lsyxfd),( niiiisf1),( 0lim 2. 2. 存在条件存在条件上上在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当Lyxf),(3.3.推广推广上上在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf第一类曲线积分第一类曲线积分连续

6、连续, ,第一类曲线积分为第一类曲线积分为iniiiisf 10),(lim Lsyxgyxfd),(),( LLsyxfsyxkfd),(d),(1)(1) LLsyxgsyxfd),(d),(2)(2)( 为常数为常数kk(3)(3)与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关, ,即即 Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA4.4.性质性质 ,)4(是是分分段段光光滑滑的的若若 L 21d),(LLsyxf在在函函数数),()5(yxf Lsyxfd),()(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf闭曲线闭曲线L上上第一类曲线积分第一类曲线积分记作记作( (对路

7、径具有可加性对路径具有可加性) ) 在一条光滑在一条光滑( (或分段光滑或分段光滑) )的的关于关于x 的奇函数的奇函数 Lsyxfd),(关于关于x 的偶函数的偶函数 ,d),(21 LsyxfL1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充奇偶对奇偶对称性质称性质平面曲线平面曲线L上连续上连续, , ),(yxf设函数设函数则则, 0当当),(yxf(或或y)(或或y)当当),(yxf(或或x轴轴)(或或x) 在一条光滑在一条光滑( (或分段光滑或分段光滑) )的空间的空间是是x 的奇函数的奇函数 szyxfd),(是是x 的偶函数的偶函数 ,d

8、),(21 syxf1是曲线是曲线落在落在yz 平面一侧的部分平面一侧的部分.关于关于yz 平面平面 对称对称,曲线曲线上连续上连续, , ),(zyxf设函数设函数则则, 0当当),(zyxf(或或y)(或或y)当当(或或xz) (或或x y)(或或z)(或或z),(zyxf(或或xz) (或或x y) 运用对称性简化第一类曲线积分计运用对称性简化第一类曲线积分计算时算时, 应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 与积分曲线与积分曲线的对称性的对称性.轮换性质轮换性质 xyLsyxfd),( yxLsxyfd),( xyzszyxfd),( yzxsxzyfd),(xyyxxzzyyx 可利用

9、积分弧段或被积函数的可利用积分弧段或被积函数的轮换对称性简化计算。轮换对称性简化计算。例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圆周是圆周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx对对因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x，是是x的奇函数的奇函数0d Lsx Lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 Lsy因因积分曲线积分曲线L关于关于x轴轴对称对称, ,3y222Ryx 计算计算0 y轴轴对称对称, ,是是y的奇函数的奇函数xyO10.1.2 第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算曲线的独立变量为曲线的独立变量为1 1个，个，曲线积分化为对参数的定积分计算曲线

10、积分化为对参数的定积分计算定理定理),()()( ttyytxxL的参数方程为的参数方程为上上在在曲曲线线弧弧设设Lyxf),(上上在在,)(),( tytx其中其中则则 f),(tx)(ty)( 有定义且连续有定义且连续, ,具有一阶连续导数具有一阶连续导数, , Lsyxfd),( 解法解法 化为参变量的定积分计算化为参变量的定积分计算注意注意第一类曲线积分要求第一类曲线积分要求0d s定积分的下限定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限 ttytxd)()(22 特殊情形特殊情形),(:xyyL Lsyxfd),( baxf,(1)xxyd)(12 )(xy),()()( ttyytxx

11、L的参数方程为的参数方程为dycyxxL ),(:(2) dcyyxf),(yyxd)(12 ,f),(: rrL (3) d22rr cosr sinr Lsyxfd),( Lsyxfd),(bxa ),(,:xyyxxL f),(tx)(ty Lsyxfd),( ttytxd)()(22 )()(),(),(: ttzztyytxx推广推广 szyxfd),(ttztytxtztytxfd)()()()(),(),(222 ),()()( ttyytxxL的参数方程为的参数方程为 f),(tx)(ty Lsyxfd),( ttytxd)()(22 例例解解1.)2 , 2(2,d2的的一一

12、段段上上自自原原点点到到为为其其中中求求xyLsyIL )2 , 2( xy22 xyOxy22 xy2 )20( x 202xIxxd)21(12 xxd1220 )155(31 解解2 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx yy d12 选选 为积分变量为积分变量x选选 为积分变量为积分变量y例例)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaaI 20sincos22221kaka d)cos()sin(222kaa 20222d2sin21kaka 202sincoska d22ka Axyzo选选 为积分变量为积分变量 ,d

13、22 Lyxse计算计算,:222ayxL 由圆周由圆周轴轴及及直线直线xxy 在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界. .AB Lyxsed22 BOABOA解解:OA, 0 y OAyxsed22xsd01d2 :AB,sin,costaytax 40 t seAByxd22 ttataead)cos()sin(4022 xeaxd01 aeaae4 ,0ax xyO例例AB:BO,xy seBOyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae Lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyO).0(222 xRyxABCL解解xyO即即是右半圆周是右半圆

14、周其中其中计算计算,d|LsyL 故故 Lsy d|2 sydAB,轴轴对对称称关关于于xL,|的偶函数的偶函数为为yytyxsdd22 dtR 22R 222Ryx 20sin2 tRtRdtRytRxsin,cos Lsy d| sydAB2)20( t选参数选参数 为积分变量为积分变量t计算计算,dsxIL 其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222 ayxayx解解它在第一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性利用对称性, ,得得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr,2cos:22 arL Oyx4 4 4022d)2cos222si

15、n(2coscos2cos4 aaa在极坐标系下在极坐标系下 402dcos4 a222a 4022d)2cos222sin(2coscos2cos4 aaa曲线积分的几何应用曲线积分的几何应用 DD的的面面积积平平面面区区域域 d1的体积的体积空间区域空间区域 vd1abxba d1的弧长的弧长平面曲线平面曲线LsL d1积分区域的大小积分区域的大小: :的弧长的弧长空间曲线空间曲线 sd1求求其周长为其周长为为椭圆为椭圆设设, 13422ayxL Lsyxxyd)432(22解解 Lsxyd20 Lsd12sLd112 a12 对称性对称性 Lsyxxyd)432(220例例 Lsyxd)

16、43(22O22yx32224:,d)432xyLsyxxyL （求求解解 Lsyxd)4322（ 1d)432122Lsyx（ 1d2432Lsx 1d)212722Lsyx（ 1d447Ls227 28 24xy xyOL原式原式)4:(221 yxL 11dd22LLsysx例例 . 0,d)(22222zyxazyxszxI为为圆圆周周其其中中求求解解 由由轮换对称性轮换对称性, , 知知,ddd222 szsysx szsxIdd2故故 sad32323a szsysxddd szyxszyxd)(31d)(31222 ssad031d312aa 232 xyzO解解由由对称性对称性

17、 求柱面求柱面yyx222 222zxy 所截下部分的面积所截下部分的面积. .被被锥面锥面例例14AA 第一卦限部分第一卦限部分 LszAd1 Lsyxd22LxyO2zxyOLoxzy22yxz yyx222 2选极角选极角 为积分变量为积分变量 sin2 r)20( dd22rrs yyx222 d2 d)cos2()sin2(22 LszAd1 Lsyxd22 d220 r dsin420 4 1641 AA选极角选极角 为积分变量为积分变量 sin2: rL)20( d2d s轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量轴轴平平面面曲曲线线弧弧对对yx,)2( xI平平面面曲曲线线弧弧的的质

18、质心心坐坐标标)3( x的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx),()1( LsyxMd),( 物理意义物理意义,d2 LysxI LLssyydd LsyxId)(220 ,ds 2y,dd LLssx Lo),(yxxy yx轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量轴轴，轴轴，空空间间曲曲线线弧弧对对zyx)2( xI空空间间曲曲线线弧弧的的质质心心坐坐标标)3( x的线密度时的线密度时表示表示当当 ),()1(zyx szyxMd),( ,d)(22 szxIy ,dd ssyy szyxId)(2220 ,ds )(22zy ,dd ssx ,d)(22 syxIz sszzdd 例例解解

19、 20 zIsd )(22yx szyxyxd)(22222)(222tka 2atktatad)cos()sin(222 ,4362222kaak x ssxdd szyxszyxxd)(d)(222222 20222222022222d)(d)(costkatkatkatkata 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakakz . . 同理可求得：同理可求得：小结小结1 1、第一类曲线积分的概念、第一类曲线积分的概念2 2、第一类曲线积分的计算、第一类曲线积分的计算3 3、第一类曲线积分的应用、第一类曲线积分的应用作业作业 P417 2(1)(3)(5)(7)(12)(

20、15), 4 , 5syxIyxd)43(. 192222 求求 189 sxyxd)43(9222 syxyxd )(24392222 syxd9243922 329243 yxO3 92222d)43(. 2yxyxI 求求4567 9222d)43(yxx 92222)d(243yxyx 30220dd27rrr yxO3 .23,:,d)222(. 32222azyxazyxsxyzxyzI求求ra 2452 szyxzyxI)d()(2222 saa)d49(22xyzoadr22dar 22)323(aa 2a 453a 22452aa ),(000zyx0 DCzByAx2220

21、00CBADCzByAxd 5 5柱面柱面 122 yx, ,夹在夹在0,12432zzyx之间部分的面积。之间部分的面积。 6一、一、 填空题填空题: : 1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件 L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则 L的质的质量量M= =_； 2 2、 Lds= =_； 3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关； 4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要求中要求 _ . . 二、二、 计算下列求弧长的曲线积分计算下列求弧长的曲线积分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L为圆周为圆周222a

22、yx , ,直线直线xy 及及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；练习题练习题 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . . 三、设螺

23、旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , , ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度 222),(zyxzyx , , 求求: :其质量。其质量。 练习题答案练习题答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的的弧弧长长L； 3 3、弧长；、弧长； 4 4、 . .二、二、1 1、2)42( aea； 2 2、9 9； 3 3、)21(2232 a； 4 4、)22(22 a. .三、三、)43(32222222kakaaIz ； 2222436kaakx ； 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakak

24、z . .oxyxdydsdsd22d)(d)(ttyttx ttytxd)()(22 f),(tx)(ty Lsyxfd),( ttytxd)()(22 ),()()( ttytxL的参数方程为的参数方程为)( 22)d()d(yx ).0(222 xRyxABCL解解xysd1d2 xxRxd1222 xxRRd22 22R xyO即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|LsyL ,222Ryx 故故 Lsy d|2 sydAB RxR0222,轴轴对对称称关关于于xL,|的偶函数的偶函数为为yyxxRRd22 2xRy Lsy d| sydAB2)0(Rx 选选 为积分变量为积分变

25、量x).0(222 xRyxABCL解解2tyxsdd22 dtR 22R xyO即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|LsyL 222Ryx 故故 Lsy d|2 sydAB 20sin2 tR,轴轴对对称称关关于于xL,|的偶函数的偶函数为为yytRdtRytRxsin,cos Lsy d| sydAB2)20( t选参数选参数 为积分变量为积分变量t).0(222 xRyxABCL解解3 dd22rrs dR 22R xyO即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|LsyL 222Ryx 故故 Lsy d|2 sydAB 20sin2 R,轴轴对对称称关关于于xL,|的偶函数

26、的偶函数为为yy dRRr Lsy d| sydAB2)20( 选参数选参数 为积分变量为积分变量 解解1 ,222:222yxzaxyyx ,243)2(222yxzayyx ,sin223,cos22yxztaytayx 20,sin6cos2,sin32,sin6cos2 ttataztaytatax例例 . 0,d)(22222zyxazyxszxI为为圆圆周周其其中中求求计算计算,d)(222szyxI 其中其中 为球面为球面解解 . 1的交线的交线与平面与平面 zx29222 zyxszyxId)(222 sd29 法法1 1 18 r 229 229dr 2)11100(292 xyzo2dr计算计算,d)(222szyxI 其中其中 为球面为球面 20 t. 1的交线的交线与平面与平面 zx29222 zyxszyxId)(222 sd29 , 1221)21(:22 zxyxtzcos221 法法2 2