高中数学必修4人教A2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)

1、2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二教学目标1了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的

2、含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1实验法：多媒体、实物投影仪。2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前准备1学生的学习准备：预习学案。2教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学

3、具有了针对性。（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 （三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念SF1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F|

4、|S| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1） 数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ·bcos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ·cos（2）定义说明：记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同

5、？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：的范围0°<90°=90°0°<180°·的符号例1 ：已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.解：当时，若与同向，则它们的夹角°，··cos0°3×6×118；若与反向，则它们的夹角180°，·cos180°3×6×（-1

6、）18；当时，它们的夹角90°，·；当与的夹角是60°时，有·cos60°3×6×9评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0°，180°，因此，当时，有0°或180°两种可能. 变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积·等于的长度与在的方向上

7、的投影cos 的乘积。 3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较·与×的大小，你有什么结论？ 设和b都是非零向量，则 1、 ·=0 2、当与同向时，·=；当与反向时，·= -， 特别地，·=2或= 3、·×2、明晰：数量积的性质3.数量积的运算律 （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？预测：学生可能会提出以下猜想： ·= · （·）= (·

8、) （ + ）· =· + · （2）、分析猜想：猜想的正确性是显而易见的。关于猜想的正确性，请同学们先来讨论：猜测的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测是不正确的。 （3）、明晰：数量积的运算律：已知向量、 、和实数，则：（1）·= · （2）（）·=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·例2、（师生共同完成）已知=6，=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）

9、83;（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6. =36-3×4×6×0.5-6×4×4 = -72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律变式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22（四）反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐

10、标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。九、板书设计平面向量数量积的物理背景及其含义一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高1、 概念： 例1：2、 概念强调 （1）记法 例2：（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：4、物理意义：十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我

11、首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由

12、特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义： 5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.1° e×= e = 2° Û× = 设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.e× =×e = 3° 当与同向时，×

13、= 当与反向时，× = 特别的×= |2或4° cosq = 5° |×| |三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量

14、的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一：数量积的概念SF1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ·cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= &

15、#183;cos（2）定义说明：记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ （4）学生讨论，并完成下表：的范围0°<90°=90°0°<180°·的符号例1 ：已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.解： 变式：. 对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我

16、们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质： 探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较·与×的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质 设和b都是非零向量，则 1、 ·=0 2、当与同向时，·=；当与反向时，·= -， 特别地，·=2或= 3、·×3.数量积的运算律 （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？ （2）、明晰：数量积的运

17、算律：已知向量、 、和实数，则：（1）·= · （2）（）·=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·例2、（师生共同完成）已知=6，=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：变式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22（三）反思总结 (四)当堂检测1 .已知|=5， |=4， 与的夹角=120o，求·.2. 已知|=6， |=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3).3 .已知|=3， |=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直. 4.已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.5.已知|=1，|=，(1)若，求·；(2)若、的夹角为°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.6.设m、n是两个单位向量，其夹角为°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.课后练习与提高1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60° B.30° C