2021新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.2向量的加法课件新人教B版必修第二册

1、6.1.2向量的加法必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.向量加法的定义及求和法则向量加法的定义及求和法则(1)(1)定义定义: :一般地一般地, ,平面上任意给定两个向量平面上任意给定两个向量a, ,b, ,在该平面内任取一点在该平面内任取一点a,a,作作 = =a, =, =b, ,作出向量作出向量 , ,则向量则向量 称为向量称为向量_( (也称也称 为向量为向量a与与b的和向量的和向量).).向量向量a与与b的和向量记作的和向量记作_. .特别地特别地, ,对于零向量与任一向量对于零向量与任一向量a, ,规规定定0+ +a= =a+ +0= =a. .导思导思1.1.平面向量的加法是

2、如何定义的平面向量的加法是如何定义的? ?其运算法则如何其运算法则如何? ?2.2.向量加法有怎样的运算律向量加法有怎样的运算律? ?ab bc ac ac a与与b的和的和ac a+ +b (2)(2)向量求和的法则向量求和的法则(3)(3)向量向量a, ,b的模与的模与a+ +b的模之间的关系的模之间的关系: :_|_|a+ +b|_.|_.|a|-|-|b| |a|+|+|b| |【思考思考】(1)(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的? ?和向和向量的起点与终点是怎样的量的起点与终点是怎样的? ?提

3、示提示: :求和的两个向量求和的两个向量“首尾连接首尾连接”, ,其和向量是从第一个向量的起点指向最后其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量一个向量的终点的向量. .(2)(2)向量求和的平行四边形法则中向量求和的平行四边形法则中“不共线不共线”是否多余是否多余, ,去掉可以吗去掉可以吗? ?提示提示: :不可以不可以, ,因为如果两个向量共线因为如果两个向量共线, ,就无法以它们为邻边作出平行四边形就无法以它们为邻边作出平行四边形, ,也也不会产生和向量不会产生和向量. . (3)(3)三角形法则与平行四边形法则有怎样的区别与联系三角形法则与平行四边形法则有怎样的区别与联系

4、? ?提示提示: :区别区别: :三角形法则中强调三角形法则中强调“首尾相接首尾相接”, ,平行四边形法则中强调的是平行四边形法则中强调的是“共起点共起点”. .三角形法则适用于所有的非零向量求和三角形法则适用于所有的非零向量求和, ,而平行四边形法则仅适用于不共线而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和的两个向量求和. .联系联系: :平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的. .这两种求向量和的方法这两种求向量和的方法, ,通过向量平移能相互转化通过向量平移能相互转化, ,解决具体问题时视情况而定解决具体问题时视情况而定. .2.2.向量加法

5、的运算律向量加法的运算律交换律交换律结合律结合律a+ +b=_=_( (a+ +b)+)+c= _= _b+ +aa+(+(b+ +c) )【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)a+ +0=a.=a.( () )(2)(2) ( () )(3)(3) ( () )(4)(4)a+(+(b+ +c)=)=c+(+(a+ +b)()() )abba 2ab. abbddcac. 提示提示: :(1)(1). .两个向量的和仍然是一个向量两个向量的和仍然是一个向量, ,所以所以a+ +0= =a. . (2)(2). .由向量加

6、法的三角形法则知由向量加法的三角形法则知, =, =0. .(3). (3). (4).(4).由向量加法的交换律、结合律知由向量加法的交换律、结合律知, ,a+(+(b+ +c)=()=(a+ +b)+)+c= = c+(+(a+ +b).).abba abbddc addc ac. 2.2.在平行四边形在平行四边形abcdabcd中中, ,下列结论中错误的是下列结论中错误的是( () )a.a. b.b. c.c. d.d. = =0【解析解析】选选c.c.因为因为 , ,故故c c错误错误. .abdc adabac abbdad adcb abaddbbdad 3.(3.(教材二次开发

7、教材二次开发: :例题改编例题改编) )向量向量 化简后等于化简后等于( () ) 【解析解析】选选c. c. (ab mb) (bo bc) om a.cb b.ab c.ac d.am (ab mb) (bo bc) om (ab bo) om mb bcao om mb bcam mb bc ab bc ac. 关键能力关键能力合作学习合作学习类型一向量的加法法则类型一向量的加法法则( (数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算) )【题组训练题组训练】1.1.如图如图, ,在在abcabc中中,d,e,d,e分别是分别是ab,acab,ac上的点上的点, ,点点f f为线段为线段dede延

8、长线上一点延长线上一点, ,debc,abcf,debc,abcf,连接连接cd,cd,那么那么( (在横线上只填上一个向量在横线上只填上一个向量):): =_; =_; =_. =_.abdf adfc 2.2.下列说法正确的是下列说法正确的是_._.若若| |a| |=3, |=3, |b| |=2, =2, 则则| |a+ +b| |1, 1, 若向量若向量a, ,b共线共线, ,则则| |a+ +b|=|=|a|+|+|b| | , ,若若| |a+ +b|=|=|a|+|+|b| | , ,则向量则向量a, ,b共线共线. .3.3.如图如图, ,已知三个向量已知三个向量a, ,b,

9、 ,c, ,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+ +b+ +c. .【解析解析】1.1.如题图如题图, ,由已知得四边形由已知得四边形dfcbdfcb为平行四边形为平行四边形, ,由向量加法的运算法则由向量加法的运算法则可知可知: : 答案答案: : 2.2.正确正确, ,当两向量反向时当两向量反向时, ,和向量的模最小为和向量的模最小为1;1;中描述的只是向量同向时的情况中描述的只是向量同向时的情况, ,故不正确故不正确, ,反之正确反之正确, ,即正确即正确. .答案答案: :abdf abbc ac. adfc addb ab. ac ab

10、 3.3.利用三角形法则作利用三角形法则作a+ +b+ +c, ,如图所示如图所示, ,作作 = =a, ,以以a a为起点为起点, ,作作 = =b, ,再以再以b b为起点为起点, ,作作 = =c, ,则则 = =a+ +b+ +c. .利用平行四边形法则作利用平行四边形法则作a+ +b+ +c, ,如图所示如图所示, ,作作 = =a, =, =b, =, =c, ,以以 , , 为邻边作为邻边作 oadb,oadb,则则 = =a+ +b, ,再以再以 , , 为邻边作为邻边作 odec,odec,则则 = =a+ +b+ +c. .oaab bc oc obbc oaabbc oa

11、ob oc oaob od od oc oe odoc 【解题策略解题策略】1.1.向量求和的注意点向量求和的注意点(1)(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用三角形法则对于两个向量共线时也适用. .(2)(2)两个向量的和向量仍是一个向量两个向量的和向量仍是一个向量. .(3)(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. .2.2.利用三角形法则时利用三角形法则时, ,要注意两向量要注意两向量“首尾顺次相连首尾顺次相连”, ,其和向量为其和向量为“起点指起点指向终点向终点”的向量的向量; ;利用平行四边形法则要注意两向量利用平行四边形法则要注意两向量

12、“共起点共起点”, ,其和向量为其和向量为共起点的共起点的“对角线对角线”向量向量. .【补偿训练补偿训练】如图如图, ,已知向量已知向量a, ,b, ,c, ,d. .(1)(1)求作求作a+ +b+ +c+ +d. .(2)(2)设设| |a|=2,|=2,e为单位向量为单位向量, ,求求| |a+ +e| |的最大值的最大值. .【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示, ,在平面内任取一点在平面内任取一点o,o,作作 = =a, =, =b, =, =c, =, =d, ,则则 = =a+ +b+ +c+ +d. .oaab bc cd od (2)(2)在平面内任取一点在平面内任取一

13、点o,o,作作 = =a, =, =e, ,则则a+ +e= = 因为因为e为单位向量为单位向量, ,所以点所以点b b在以点在以点a a为圆心的单位圆上为圆心的单位圆上( (如图所示如图所示),),由图可知当点由图可知当点b b在点在点b b1 1时时,o,a,b,o,a,b1 1三点共线三点共线, ,所以所以| | |即为即为| |a+ +e| |最大时的情况最大时的情况, ,最大值是最大值是3.3.oaab oaab ob ，1ob 类型二向量加法运算律的应用类型二向量加法运算律的应用( (逻辑推理、数学抽象逻辑推理、数学抽象) )【典例典例】化简化简:(1) :(1) (2) (2)

14、【思路导引思路导引】利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接, ,然后再利用加然后再利用加法法则求和法法则求和. .【解析解析】(1) (1) (2) =(2) =0. .mabnaccb （） （）.abbdcadc. （）mabnaccb （） （）(maac)cbbnmccn mn. （）abbdcadc abbddcca （）【解题策略解题策略】向量加法运算律的意义和应用原则向量加法运算律的意义和应用原则(1)(1)意义意义: :向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据, ,实现多个向量的加实现多个

15、向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. .(2)(2)应用原则应用原则: :利用代数方法通过向量加法的交换律利用代数方法通过向量加法的交换律, ,使各向量使各向量“首尾相连首尾相连”, ,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. .【跟踪训练跟踪训练】化简化简:(1) .(2) :(1) .(2) 【解析解析】(1) (1) (2) =(2) =0. .bcab dbcdbc. bcab abbc ac. dbcdbc bccddbbccddb bddb （）【拓展延伸拓展延伸】 向量求和的多边形法则

16、向量求和的多边形法则(1)(1)已知已知n n个向量个向量, ,依次把依次把这这n n个向量首尾相接个向量首尾相接, ,以第一个向量的起点为起点以第一个向量的起点为起点, ,第第n n个向量的终点为终点的向量叫作这个向量的终点为终点的向量叫作这n n个向量的和个向量的和向量向量. .这个法则叫作向量求和的多边形法则这个法则叫作向量求和的多边形法则. .即即 (2)(2)首尾顺次相接的若干向量求和首尾顺次相接的若干向量求和, ,若构成一个封闭图形若构成一个封闭图形, ,则它们的和为则它们的和为0. .011223a aa aa a n2n1n0nn1aaaaa a .【拓展训练拓展训练】如图如图

17、, ,在正六边形在正六边形abcdefabcdef中中, ,点点o o为中心为中心, =, =a, =, =b, ,求求 ab af ac,ad,ae. 【解析解析】由向量的平行四边形法则由向量的平行四边形法则, ,得得 = =a+ +b, ,在平行四边形在平行四边形abcoabco中中, , = =a+ +a+ +b=2=2a+ +b, ,而而 =2=2 =2=2a+2+2b, ,且且 = =a+ +b, ,由向量的三角形法则由向量的三角形法则, ,得得 = =b+ +a+ +b= =a+2+2b. .aoabaf acabao aeaffe bcaofe ao ad 类型三向量加法的应用类

18、型三向量加法的应用( (逻辑推理逻辑推理) )角度角度1 1向量加法在几何问题中的应用向量加法在几何问题中的应用【典例典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形. .【思路导引思路导引】将互相平分利用向量表达将互相平分利用向量表达, ,以此为条件推证使四边形为平行四边以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立形的向量等式成立. .【解析解析】如图如图, ,设四边形设四边形abcdabcd的对角线的对角线ac,bdac,bd相交于点相交于点o,o,则则 因为因为acac与与bdbd互相平分互相平分, ,所以所以 所以所以 , ,因

19、此因此abcd,abcd,且且 , ,即四边形即四边形abcdabcd是平行四边形是平行四边形. .abaoob,dcdooc. aooc,obdo abdc |ab| |dc| 【变式训练变式训练】若将本例改为若将本例改为: :在四边形在四边形abcdabcd中中, , ,且且 , ,试求证四试求证四边形边形abcdabcd为矩形为矩形. .abdc |bcba| |bcab| 【证明证明】因为四边形因为四边形abcdabcd中中, , ,所以所以abdc,abdc,且且 所以四边形所以四边形abcdabcd为平行四边形为平行四边形, ,如图如图所以所以 因为因为 所以所以 , ,即平行四边

20、形对角线相等即平行四边形对角线相等, ,故四边形故四边形abcdabcd为矩形为矩形. .abdc |ab| |dc|, bcbabd ，bcababbcac, |bcba| |bcab|, |bd| |ac| 【解题策略解题策略】向量应用于几何问题的关键向量应用于几何问题的关键向量是沟通向量是沟通“数数”与与“形形”的桥梁的桥梁. .利用向量的加法可以证明线段的平行和相利用向量的加法可以证明线段的平行和相等等, ,在解决问题中应抓住向量及其加法的几何意义求解在解决问题中应抓住向量及其加法的几何意义求解. .用向量证明几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题用向量证明几何问题的关键是把几何问题

21、转化为向量问题, ,通过向量的运算得通过向量的运算得到结论到结论, ,然后把向量问题还原为几何问题然后把向量问题还原为几何问题. .角度角度2 2向量加法在生活中的应用向量加法在生活中的应用【典例典例】 在长江南岸的某渡口在长江南岸的某渡口a a处处, ,江水以江水以12.5 km/h12.5 km/h的的速度向东流速度向东流,“,“顺风号顺风号”渡船要以渡船要以25 km/h25 km/h的速的速度度, ,由南向北垂直地渡过长江由南向北垂直地渡过长江, ,其航向应如何确定其航向应如何确定? ?【思路导引思路导引】由题意可得渡船实际垂直过江的速度是船的速度与水流速度的由题意可得渡船实际垂直过江

22、的速度是船的速度与水流速度的和和, ,因此解决此问题可建立向量加法模型因此解决此问题可建立向量加法模型. .【解析解析】设设 表示水流速度表示水流速度, , 表示渡船的速度表示渡船的速度, , 表示渡船实际垂直过表示渡船实际垂直过江的速度江的速度. .如图所示如图所示, ,以以abab为一边为一边,ac,ac为对角线作平行四边形为对角线作平行四边形, ,在在rtrtacdacd中中,acd=90,acd=90, , =12.5, =12.5, =25,cad=30 =25,cad=30. .即渡船的航向为北偏西即渡船的航向为北偏西3030. .ab ad ac |dc| |ab| |ad| 【

23、题组训练题组训练】1.1.在四边形在四边形abcdabcd中中, , ,则一定有则一定有( () )a.a.四边形四边形abcdabcd是矩形是矩形b.b.四边形四边形abcdabcd是菱形是菱形c.c.四边形四边形abcdabcd是正方形是正方形d.d.四边形四边形abcdabcd是平行四边形是平行四边形【解析解析】选选d.d.由由 得得 , ,即即ad=bc,ad=bc,且且adbc,adbc,所以四边形所以四边形abcdabcd一组对边平行且相等一组对边平行且相等, ,故为平行四边形故为平行四边形. .ac abad ac abad ad bc 2.2.若若g g为为abcabc的重心的

24、重心, ,则则 =_.=_.【解析解析】延长延长agag至至e e交交bcbc于于d d使得使得ag=ge,ag=ge,则由重心性质知则由重心性质知d d为为gege中点中点, ,又又d d为为bcbc中中点点, ,故四边形故四边形bgcebgce为平行四边形为平行四边形, ,所以所以 又又 , ,所以所以 = =0. .答案答案: :0gagbgc ge gb gc. gage ga gb gc 3.3.如图所示如图所示,p,q,p,q是是abcabc的边的边bcbc上两点上两点, ,且且 = =0. .求证求证: : bpcq apaq abac. 【证明证明】因为因为 所以所以 又因为又

25、因为 = =0, ,所以所以 ap abbp aq accq ， ，apaq abacbpcq. bpcq apaq abac. 【补偿训练补偿训练】如图如图, ,在在abcabc中中,o,o为重心为重心,d,e,f,d,e,f分别是分别是bc,ac,abbc,ac,ab的中点的中点, ,化简下列三式化简下列三式: :(1) ;(2) ;(1) ;(2) ;(3) .(3) .bcceea oeabea abfedc 【解析解析】(1) (1) (2) (2) (3) (3) bcceeabeeaba. oeabeaoeeaaboaabob. （）abfedcabbddcaddcac. 备选类

26、型求与向量的模有关的问题备选类型求与向量的模有关的问题【典例典例】已知已知| |a|=3, |=3, |b|=5,|=5,则向量则向量a+ +b模长的最大值是模长的最大值是_._.【解析解析】因为因为 =3+5=8,=3+5=8,所以所以 的最大值为的最大值为8.8.答案答案: :8 8 | | | | |abab|ab【解题策略解题策略】模长的最值问题的解法模长的最值问题的解法运用不等式运用不等式|a|-|-|b|a+ +b|a|+|+|b| |进行求解进行求解. .【跟踪训练跟踪训练】本例中本例中a+ +b模长的最小值是模长的最小值是_._.【解析解析】| |a+ +b|a|-|-|b|=5-3=2,|=5-3=2,所以所以 的最小值为的最小值为2.2.答案答案: :2 2|ab课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.下列命题中正确的个数为下列命题中正确的个数为( () )(1)(1)如果非零向量如果非零向量a与与b的方向相同或相反的方向相同或相反, ,那么那么( (a+ +b)a; ;(2)(2)在平行四边形在平行四边形abcdabcd中中, ,必有必有 ; ;(