解三角形的实际应用举例(北师大必修课件

1、1.1.能根据题意建立数学模型，画出示意图能根据题意建立数学模型，画出示意图. .（重点、难点）（重点、难点）2.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量距离、高度、能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量距离、高度、角度有关的实际问题角度有关的实际问题.(.(重点重点) )二、测量高度问题二、测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何的知识，角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何的知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以先把立体几

2、何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决解决. . 解三角形实际应用问题的思路解三角形实际应用问题的思路三、测量角度问题三、测量角度问题1.1.测量角度，首先应明确方向角的含义测量角度，首先应明确方向角的含义. .2.2.解决与角度有关的问题，可以转化为求角的函数值问题，如解决与角度有关的问题，可以转化为求角的函数值问题，如果是用余弦定理求得角的余弦，则该角容易确定，如果用正弦果是用余弦定理求得角的余弦，则该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦定理求得该角的正弦, ,就需要讨论解的情况就需要讨论解的情况. . 在实际问题中在实际问题中, ,一般测量哪些角度？一般测量哪些角度？提示：

3、提示：一般情况下一般情况下, ,若测量高度若测量高度, ,则需测量仰角或俯角则需测量仰角或俯角; ;若测量若测量距离或角度距离或角度, ,则需测量方向角则需测量方向角. . 测量高度问题测量高度问题1.1.测量高度问题的方法测量高度问题的方法: :（1 1）测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依）测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依条件结合正弦定理和余弦定理来解解决测量高度的问题时，常条件结合正弦定理和余弦定理来解解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系（2 2）测量底部不能到达的建筑物的高度问题

4、，一般是转化为直）测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决 2.2.俯角和仰角的概念：俯角和仰角的概念：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, ,目目标视线在水平视线上方叫仰角标视线在水平视线上方叫仰角, ,目标视线在水平视线下方叫俯目标视线在水平视线下方叫俯角（如图）角（如图）. .【例【例1 1】在某点】在某点B B处测得建筑物处测得建筑物AEAE的顶端的顶端A A的仰角为的仰角为，沿，沿BEBE方方向前进向前

5、进30 m30 m至点至点C C处，测得顶端处，测得顶端A A的仰角为的仰角为22，再继续前进，再继续前进 m m至至D D点，测得顶端点，测得顶端A A的仰角为的仰角为44，求，求的大小和建筑物的大小和建筑物AEAE的高的高. .10 3【审题指导】【审题指导】本题可利用三角形的外角与其两不相邻内角的关本题可利用三角形的外角与其两不相邻内角的关系定理系定理, ,寻找寻找BCBC、ACAC及及CDCD、ADAD之间的关系，再利用正弦定理和之间的关系，再利用正弦定理和直角三角形的知识求解直角三角形的知识求解; ;也可利用方程思想求解也可利用方程思想求解. .【规范解答】【规范解答】方法一：（用正

6、弦定理求解）由已知可得，方法一：（用正弦定理求解）由已知可得，在在ABCABC中，中，AC=BC=30AC=BC=30， 在在ACDACD中，中，AD=DC= AD=DC= ，ADC =180ADC =180-4-4，由正弦定理得由正弦定理得因为因为sin4=2sin2cos2sin4=2sin2cos2cos2= ,cos2= ,得得2=302=30，10 330.sin2sin(1804 ) 3210 3=15=15，在在RtRtADEADE中，中，AE=ADsin60AE=ADsin60=15.=15.答：所求角答：所求角为为1515，建筑物高度为，建筑物高度为15 m.15 m.方法二

7、：（设方程来求解）设方法二：（设方程来求解）设DE= xDE= x，AE=hAE=h在在RtRtACEACE中中,( +x),( +x)2 2+h+h2 2=30=302 2在在RtRtADEADE中中,x,x2 2+h+h2 2=( )=( )2 2两式相减，得两式相减，得x= ,h=15x= ,h=15，在在RtRtACEACE中中,tan2=,tan2=2=302=30,=15,=15. .答：所求角答：所求角为为1515，建筑物高度为，建筑物高度为15 m.15 m.10 310 35 3h3310 3x，【变式训练】如图，在塔底【变式训练】如图，在塔底B B测得山顶测得山顶C C的仰

8、角为的仰角为6060，在山顶，在山顶C C测得塔顶测得塔顶A A的俯角为的俯角为4545，已知塔高为，已知塔高为AB=20 mAB=20 m，求山高，求山高DC.DC.【解析】【解析】在在ABCABC中，中，AB=20AB=20，ABC=90ABC=90-60-60=30=30，ACB=90ACB=90-(45-(453030)=15)=15，由正弦定理得由正弦定理得BC=BC=在在RtRtBCDBCD中，中，CD=BCsinCBDCD=BCsinCBD=20( =20( 1)sin601)sin6047.3(m)47.3(m)，山高约山高约47.3 m.47.3 m.答：山高答：山高DCDC

9、约为约为47.3 m.47.3 m.AB sinCABsinACB22020 sin(1801530 )220( 3 1)sin15624 ，3 测量距离问题测量距离问题1.1.求距离问题要注意以下两点求距离问题要注意以下两点: :（1 1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解在另一确定三角形中求解. .（2 2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就

10、选择更便于计算的定理便于计算的定理. . 2.2.方向角方向角: :方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成：正北或正南，北偏东常表达成：正北或正南，北偏东度，北偏西度，北偏西度，南偏度，南偏东东度，南偏西度，南偏西度度. . 解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题中解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题中有关术语的准确含义有关术语的准确含义. .【例【例2 2】如图，】如图，A A，B B是海面上位于东西方

11、向相距是海面上位于东西方向相距5 5（3+ 3+ ）海）海里的两个观测点，现位于里的两个观测点，现位于A A点北偏东点北偏东4545，B B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一艘轮船发出点有一艘轮船发出求救信号，位于求救信号，位于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相距点相距 海里海里的的C C点的救援船立即前往营点的救援船立即前往营救，其航行速度为救，其航行速度为3030海里海里/ /小小时，该救援船到达时，该救援船到达D D点需要多长时间？点需要多长时间？ 320 3【审题指导】【审题指导】求解的目标是求解的目标是CDCD的长度，在的长度，在DBCDBC中，中， BDBD可以

12、求可以求出，又已知出，又已知BCBC和和CBDCBD，根据余弦定理即可求出，根据余弦定理即可求出CD.CD.【规范解答】【规范解答】由题意知由题意知AB=5AB=5（3+ 3+ ）,DBA=90,DBA=90-60-60=30=30,DAB=45,DAB=45,ADB=105,ADB=105. .又又sin105sin105=sin45=sin45cos60cos60+sin60+sin60cos45cos45= =3213226.22224在在ABDABD中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：BD=BD=在在DBCDBC中，中，BC= BC= ，DBC=60DBC=60，CDCD2 2=300

13、=3001 200-21 200-2 =900 =900CD=30CD=30，t= t= =1=1（小时）（小时）答：救援船到达答：救援船到达D D点需要点需要1 1小时小时. . BDABsinDABsinADBAB sinDAB5 33 sin45sinADBsin105（）25 3310 3 13210 3.26134（）（）20 3110 320 323030【变式训练】某人在【变式训练】某人在M M汽车站的北偏西汽车站的北偏西2020的方向上的的方向上的A A处，观处，观察到点察到点C C处有一辆汽车沿公路向处有一辆汽车沿公路向M M站行驶站行驶. .公路的走向是公路的走向是M M站

14、的北站的北偏东偏东4040. .开始时，汽车到开始时，汽车到A A的距离为的距离为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米千米后，到后，到A A的距离缩短了的距离缩短了1010千米千米. .问汽车还需行驶多远，才能到达问汽车还需行驶多远，才能到达M M汽车站？汽车站？【解析】【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进由题设，画出示意图，设汽车前进2020千米后到达千米后到达B B处处. .在在ABCABC中，中，AC=31AC=31，BC=20BC=20，AB=21AB=21，由余弦定理得：，由余弦定理得：cosC=cosC=则则sinsin2 2C=1-cosC=1-cos2 2C =

15、C = ，则，则sinC=sinC=所以所以sinMAC = sinsinMAC = sin（120120-C-C）= sin120= sin120cosC - cosC - cos120cos120sinC =sinC =在在MACMAC中，由正弦定理得中，由正弦定理得 从而有从而有MB=MC-BC=15MB=MC-BC=15（千米）（千米）. .答：汽车还需行驶答：汽车还需行驶1515千米，才能到达千米，才能到达M M汽车站汽车站. .222ACBCAB23,2AC BC3124323112 3,3135 362ACsinMAC3135 3MC35,sinAMC6232 【误区警示】【误区

16、警示】解题时不能正确的求出解题时不能正确的求出MACMAC的正弦值，的正弦值，原因是没能利用原因是没能利用AMC=60AMC=60. . 测量角度问题测量角度问题 测量角度问题：在利用正弦定理、余弦定理解测量角度问题：在利用正弦定理、余弦定理解决航海问题中的综合应用题时决航海问题中的综合应用题时. .要根据实际，找出等量关系，要根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法在画示意图时，要注意方向角的画法. .【例【例3 3】某巡逻艇在】某巡逻艇在A A处发现北偏东处发现北偏东4545相距相距9 9海里的海里的C C处有一艘处有一艘走私船，正沿南偏东走私船，正沿南偏东7575以以 1

17、010海里海里/ /小时的速度向我海岸行驶，小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以巡逻艇立即以1414海里海里/ /小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？【审题指导】【审题指导】由题意可知由题意可知ACBACB的大小，根据巡逻艇和走私船的大小，根据巡逻艇和走私船的速度，可用时间表示出的速度，可用时间表示出ABAB、BC,BC,再利用正、余弦定理即可解再利用正、余弦定理即可解决决. .【规范解答】【规范解答】如图，设该巡逻艇沿如图，设该巡逻艇沿ABAB方向经过方向经

18、过x x小时后在小时后在B B处追处追上走私船，则上走私船，则CB=10 x, AB=14x,CB=10 x, AB=14x,AC=9,ACB=75AC=9,ACB=75+45+45=120=120，(14x)(14x)2 2=9=92 2+(10 x)+(10 x)2 2-2-29 910 xcos12010 xcos120化简得化简得32x32x2 2-30 x-27=0-30 x-27=0，即即x= x= 或或x= (x= (舍去舍去) )，32916所以所以BC=10 x=15,AB=14x=21,BC=10 x=15,AB=14x=21,又因为又因为sinBACsinBACBAC =

19、38BAC =381313或或BAC =141BAC =1414747（钝角不合题意，舍（钝角不合题意，舍去），去），383813+4513+45=83=8313.13.答：巡逻艇应该沿着北偏东答：巡逻艇应该沿着北偏东83831313方向去追，经过方向去追，经过1.51.5小时小时可追上走私船可追上走私船. .BCsin1201535 3AB21214，【变式训练】如图，在海岸【变式训练】如图，在海岸A A处发现北偏东处发现北偏东4545方向，距方向，距A A处处( -1)( -1)海里的海里的B B处有一艘走私船处有一艘走私船. .在在A A处北偏西处北偏西7575方向，距方向，距A A处处

20、2 2海里的海里的C C处的我方缉私处的我方缉私船，奉命以船，奉命以 海里海里/ /小时的速小时的速度追截走私船，此时走私船正度追截走私船，此时走私船正以以1010海里海里/ /小时的速度，从小时的速度，从B B处处向北偏东向北偏东3030方向逃窜方向逃窜. .问：缉私船沿什么方向行驶才能最快问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间（精确到截获走私船？并求出所需时间（精确到0.010.01小时）小时）. .310 3【解析】【解析】设缉私船应沿设缉私船应沿CDCD方向行驶方向行驶t t小时，才能最快截获小时，才能最快截获( (在在D D点点) )走私船，则走私船，则CD= C

21、D= 海里，海里，BD=10tBD=10t海里海里. .BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2ABACcosBAC-2ABACcosBAC=( -1)=( -1)2 2+2+22 2-2( -1)2cos120-2( -1)2cos120=6.=6.BC=BC=sinABC=sinABC=10 3t336BCAC,sinBACsinABCAC sinBAC2sin1202,BC26ABC=45ABC=45,B,B点在点在C C点的正东方向上，点的正东方向上，CBD=90CBD=90+30+30=120=120sinBCD=sinBCD=BCD=30BCD=30. .由由CBD=

22、120CBD=120,BCD=30,BCD=30, ,得得D=30D=30, ,BD=BC,BD=BC,即即10t= ,t= 0.24(10t= ,t= 0.24(小时小时) )答：缉私船研北偏东答：缉私船研北偏东6060方向行驶方向行驶0.240.24小时最快截获走私船。小时最快截获走私船。BDCD,sinBCDsinCBDBD sinCBD10tsin1201CD210 3t6610 【误区警示】【误区警示】在解决有关现实生活的应用题时，必须检在解决有关现实生活的应用题时，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. .【

23、例】如图，【例】如图，A A、B B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量测量A A、B B两点间距离的方法两点间距离的方法. .【审题指导】【审题指导】问题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题问题. .首先需要构造三角形，所以需要确定首先需要构造三角形，所以需要确定C C、D D两点两点. .根据正弦根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法分别求出法分别求出ACAC和和BCBC，再利用余弦定理计算出，再利用余弦定理计算出ABA

24、B的长度的长度. .【规范解答】【规范解答】测量者可以在河岸边选定两点测量者可以在河岸边选定两点C C、D D，测得，测得CD=CD=a a，并且在，并且在C C、D D两点分别测得两点分别测得BCA=BCA=，ACD=ACD=，CDB=CDB=，BDA =BDA =，在，在ADCADC和和BDCBDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得AC=AC=BC=BC=计算出计算出ACAC和和BCBC后，再在后，再在ABCABC中，应用余弦定理计算出中，应用余弦定理计算出A A、B B两点两点间的距离间的距离AB=AB=asin()asin()sin180sin() ，（）asinasinsin180

25、sin() （）22ACBC2AC BCcos .【互动探究】若在河岸选取相距【互动探究】若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两点，测得两点，测得BCA=60BCA=60，ACD=30ACD=30，CDB=45CDB=45，BDA=60BDA=60，求，求AB.AB.【解析】【解析】AC=AC=20+=20+BC= =40BC= =40，AB=AB= =asin40sin4560sinsin304560 （）（）（）（）20 3，asin40sin45sin()sin(603045 ) 22ACBC2AC BCcos222020 3402 2020 340cos60206. （）（）

26、【典例】（【典例】（1212分）甲船在分）甲船在A A处、乙船在甲船正南方向距甲船处、乙船在甲船正南方向距甲船2020海里的海里的B B处，乙船以每小时处，乙船以每小时1010海里的速度向正北方向行驶，而海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时甲船同时以每小时8 8海里的速度由海里的速度由A A处向南偏西处向南偏西6060方向行驶，方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【审题指导】【审题指导】用时间用时间x x和速度分别表示甲、乙两船航行的距离，和速度分别表示甲、乙两船航行的距离，用余弦定理可得到关于两船之间距离的函数，再利用函数思想用余弦定

27、理可得到关于两船之间距离的函数，再利用函数思想求最值求最值. .【规范解答】【规范解答】设经过设经过x x小时后，甲船和乙船分别到达小时后，甲船和乙船分别到达C C，D D两两点点22分分则则AC=8x,AD=AB-BD=20-10 xAC=8x,AD=AB-BD=20-10 x44分分 CDCD2 2=AC=AC2 2+AD+AD2 2-2ACADcos60-2ACADcos60= =（8x8x）2 2+ +（20-10 x20-10 x）2 2-28x-28x（20-10 x20-10 x）=244x=244x2 2-560 x+400-560 x+400= =当当CDCD2 2取得最小值

28、时，取得最小值时，CDCD取得最小值取得最小值. .当当x= 1.1x= 1.1小时时，小时时，CDCD取得最小值，取得最小值， 10 10分分答：经过约答：经过约1.11.1小时后，甲、乙两船相距最近小时后，甲、乙两船相距最近. 12. 12分分122704 800244 x6161（）7061【误区警示】【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】一辆汽车从【即时训练】一辆汽车从A A点出发，沿海岸边一条直线公路以点出发，沿海岸边一条直线公路以100 km/h100 km/h向东匀速行驶，汽车开动时，在点向东匀速行驶，汽车开动时，在点A

29、A南偏东距点南偏东距点A 500 A 500 kmkm且距海岸且距海岸300 km300 km的海上的海上B B处有一快递需送给汽车的司机，若处有一快递需送给汽车的司机，若快艇沿直线行驶且与汽车在岸边相遇，求：快艇的最小速度及快艇沿直线行驶且与汽车在岸边相遇，求：快艇的最小速度及行驶方向与行驶方向与ABAB所成的角所成的角 【解析】【解析】如图所示，设快艇在如图所示，设快艇在B B处以处以v km/hv km/h的速度出发，沿的速度出发，沿BCBC方向航行方向航行t t小时与汽车相遇（在小时与汽车相遇（在C C点）点） 在在ABCABC中，中，AB=500 kmAB=500 km；BQ=300

30、 kmBQ=300 km，AC=100tAC=100t，BC=vtBC=vt则则sinBAC=sinBAC=在在ABCABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得即即 则则v= 60v= 60，当且仅当当且仅当ABC=90ABC=90时等号成立时等号成立故快艇最小速度为故快艇最小速度为60 km/h60 km/h且行驶方向与且行驶方向与ABAB成直角成直角QB3AB5BCACsinBACsinABC，vt100t3sinABC5，60sinABC1.1.某市在某市在“旧城改造旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上中计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米种植草皮

31、以美化环境，已知这种草皮每平方米a a元，则购买这元，则购买这种草皮至少要种草皮至少要( )( )（A A）450a450a元元 （B B）225a225a元元（C C）150a150a元元 （D D）300a300a元元【解析】【解析】选选C.S= C.S= 202030sin15030sin150=150=150，购买这种草皮至购买这种草皮至少要少要150a150a元元. .12课堂训练：2.2.某工程中要将一长为某工程中要将一长为100 m100 m倾斜角为倾斜角为7575的斜坡，改造成倾的斜坡，改造成倾斜角为斜角为3030的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加的斜坡，并保持坡高不变，则坡底

32、需加长长( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)200 m(C) (D)200 m【解析】【解析】选选A.A.在在ABDABD中，中，BADBAD4545，BDBD 故选故选A.A.100 2 m100 3 m50( 26)m2100AD sinBAD2100 2,1sinABD23.3.飞机沿水平方向飞行，在飞机沿水平方向飞行，在A A处测得正前方地面目标处测得正前方地面目标C C的俯角为的俯角为3030，向前飞行，向前飞行10 00010 000米，到达米，到达B B处，此时测得目标处，此时测得目标C C的俯角为的俯角为6060，这时飞机与地面目标的水平距离为，这时飞机与地面目标的水平距离为( ) ( ) （A A）5 0005 000米米 （B B） 米米（C C）4 0004 000米米 （D D） 米米【解析】【解析】选选A.A.作出示意图如图，作出示意图如图，A=30A=30,DBC=60,DBC=60,AB=10 ,AB=10 000.000.BCD=30BCD=30,BC=10 000