高中数学必修2第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、 点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1 点、直线、平面点、直线、平面之间的位置关系之间的位置关系主要内容2.1.1 平 面构成图形的基本元素构成图形的基本元素AABBCCDDA AB BC CD D点、线、面点无大小线无粗细面无厚薄点点直线直线平面平面可无限延伸的平面是可无限延展的平面的表示平面的画法平面的画法 一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.图一图二平面的符号表示平面的符号表示1. 1. 希腊字母：希腊字母： 平面平面 ， 平面平面 ，平面，平面 2. 2. 一个或几个

2、拉丁字母：一个或几个拉丁字母： 平面平面M M， 平面平面ACAC， 平面平面ABCDABCD等等ABCD平面的表示平面的表示平面的表示平面的表示两个相交平面的画法和表示两个相交平面的画法和表示平面和平面相交于一条直线a被遮住的部分画虚线aa平面平面=直线a平面的表示,Pl A直线和平面都可以看成点的集合“点P在直线l上”,“点A在平面内” 用集合符号表示用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线点与直线、点与平面、直线与平面的关系与平面的关系“点P在直线l 外”,“点A在平面外”直线直线 l 在平面在平面内，或者说平面内，或者说平面经过直线经过直线 l直线直线 l 在平面在平面外外. .,ll

3、AlP,平面的基本性质AB 公理公理1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内, ,那么这条直线在此平面内那么这条直线在此平面内. .思考思考1 1：如何让一条直线在一个平面内？：如何让一条直线在一个平面内？,Al BlABl 且作用作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据：为判断直线与平面的位置关系提供依据集合符号表示集合符号表示平面经过这条直线平面的基本性质 公理公理2 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,有且只有一个有且只有一个平面平面. 思考思考2：经过两点可以确定一条直线，：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？那么经过几

4、个点可以确定一个平面呢？作用作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内：判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示集合符号表示A AB BC C“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面” 已知已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平三点不共线，则存在惟一平面面 ，使得，使得A、B、C平面的基本性质平面的基本性质 思考思考3 3：如果两个平面有一个公共点，：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？公共点有什么特征？ 公理公理3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

5、一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线. . P Pl,PlPl且P且 作用：判断两个平面位作用：判断两个平面位置关系的基本依据置关系的基本依据探究问题根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性.根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.小结小结 1. 1.平面的表示平面的表示：概念、图形、符号等：概念、图形、符号等 2. 2.平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1 1 公理公理2 2 公理公理3 3 3. 3.判断共面的方法判断共面的方法2.1.2空间中直线与直线空间中直线与直线之间的位置关系之间的位置关系两条直线的位置

6、关系两条直线的位置关系思考思考1 1：同一平面内两条直线有几种位置关系？：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？空间中的两条直线呢？abC 1 1）教室内）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？侧所在直线的位置关系如何？2 2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？街所在直线的位置关系如何？两条直线的位置关系 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线叫做异面直线.baab异面直线的图示两条直线的位置关系两条直线的位置关系A. A. 空间中既不平

7、行又不相交的两条直线；空间中既不平行又不相交的两条直线；B. B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C. C. 分别在不同平面内的两条直线；分别在不同平面内的两条直线；D. D. 不在同一个平面内的两条直线；不在同一个平面内的两条直线；E. E. 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线. . 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？最合适？问题两条直线的位置关系两条直线的位置关系空间中的直线与直线之间有三种位置关系：空间中的直线与直线之间有三种位置关系：相交直线相交直线: :平行直线平

8、行直线: :共面直线共面直线异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点 同一平面内，有且只有一同一平面内，有且只有一个公共点；个公共点； 同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点； 平行直线 公理公理4 4 平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行. .空间中的平行线具有传递性空间中的平行线具有传递性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面平行直线平行直线 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？AFEDCBAB

9、CDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面问题问题等角定理 定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平行，那么这两个角相等或互补. . 等角定理：空间中如果两个角的两边分别等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且对应平行且方向相同方向相同，那么这两个角相等，那么这两个角相等. .ABCCABABCCABBA ABCAAC/,/异面直线所成的角a ab b思考思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系

10、呢？a ab b平面内两条相交直线空间中两条异面直线abaO O 已知两条异面直线已知两条异面直线a a，b b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作作直线直线 ，把，把 与与 所成的锐角（或直角）所成的锐角（或直角）叫做叫做异面直线异面直线a a与与b b所成的角所成的角bb aa/,/abababO O异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？2, 0 如果两条异面直线所成角为如果两条异面直线所成角为90900 0，那么这两，那么这两条直线垂直条直线垂直. .探究ab记直线记直线a a垂直于垂直于b b为：为：a a b b异面直线所成的

11、角异面直线所成的角探究 （1）在长方体）在长方体 中，有没有两条棱中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？所在的直线是相互垂直的异面直线？DCBAABCD （2）如果两条平行直线中的）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如：如：,BBAD与BBDA与等等垂直垂直AABBCCDD,BBBCBBAB不一定，如上图的立方体中不一定，如上图的立方体中直线直线AB与与BC相交，相交，本节小结（1）空间直线的三种位置

12、关系（2）平行线的传递性（3）等角定理（4）异面直线所成的角基本知识基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.2.1.3空间中直线与平面之间空间中直线与平面之间的位置关系的位置关系主要内容主要内容 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内 有无数个公共点a记为：a直线与平面(2)直线与平面相交直线与平面相交有且只有一个公共点有且只有一个公共点a记为：a=AA直线与平面（3）直线与平面平行没有公共点a记为：a/直线与平面直线与平面相交或平行的情况统

13、称为直线在平面外记为：aaa a/ aa=AA或或主要内容主要内容 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面平行直线与平面平行平面与平面之间的位置关系2.1.4两个平面的位置关系两个平面的位置关系两个平面的位置关系有且只有有且只有两种两种 两个平面平行两个平面平行没有公共点没有公共点 两个平面相交两个平面相交有一条公共直线有一条公共直线分类的依据是什么？分类的依据是什么？ 公理公理3 3 如果两个不重合的平面有一个公共如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

14、. . 两个平面平行或相交的两个平面平行或相交的画法及表示画法及表示 / m=m直线、平面平行的直线、平面平行的判定及其性质判定及其性质2.2主要内容主要内容直线与平面平行的直线与平面平行的判定判定2.2.1（1 1）直线在平面内）直线在平面内有无数个公共点有无数个公共点（2 2）直线和平面相交）直线和平面相交有且只有一个公共点有且只有一个公共点（3 3）直线和平面平行）直线和平面平行无公共点无公共点 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下： 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外复习 若将一本书平放在

15、桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l l与与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面所在的平面具有怎样的位置关系？观察l 如图，设直线b在平面内，直线a在平面外，猜想在什么条件下直线a与平面平行.baa/b思考直线和平面平行直线和平面平行直线和平面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 判定定理ababa直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行线线平行，则线面平行”小结 通过直线间的平行，推证直线与平面平通过直线间的平行，推证直线与平面平行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）

16、转化为直线间的平行关行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）系（平面问题）. .思想方法平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定2.2.2两个平面平行的判定两个平面平行的判定如果一个平面内有两条相交直线都如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行平行于另一个平面，那么这两个平面平行小结小结1. 1. 知识小结知识小结2. 2. 思想方法思想方法面面平行面面平行线线平行线线平行线面平行线面平行直线与平面平行的直线与平面平行的性质性质2.2.3直线与平面平行的判定定理是什么？直线与平面平行的判定定理是什么？复习 定理 若平面外一条直线与此平

17、面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 问：其逆定理是否成立？性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行已知：已知： ， ， /ab求证：求证： ba/证证明：明： b/abbababa/又直线与平面平行小结小结直线与平面平行的性质定理可简述为直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质2.2.4复习1: 两个平面的位置关系是两个平面的位置关系是 . .平行或相交平行或相交两个平面平行

18、的判定两个平面平行的判定如果一个平面内有两条相交直线都如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行平行于另一个平面，那么这两个平面平行复习2: 两个平面平行的性质两个平面平行的性质结论结论1a 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面面/,/aa两个平面平行的性质定理 定理定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 即即：baba/这个定理判定两直线平行的依据之一小结小结知识小结知识小结 几个结论和性质的应用几个结论和性质的应用思想方法思想方法线面平行或线线平行线面平行或线线平行

19、面面平行面面平行直线、平面垂直的直线、平面垂直的判定及其性质判定及其性质2.3主要内容主要内容直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定判定2.3.1复习1线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？ 特征：直线垂直于平面内的任意一条直线BACBC直线和平面垂直 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说内的任意一条直线都垂直，我们说直线直线 l 与平与平面面 互相垂直互相垂直. .定义lP平面 的垂线直线 l 的垂面垂足平面内任意一条直线l记为 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否

20、与这个平面垂直？那么这条直线是否与这个平面垂直？思考4l线面垂直的判定线面垂直的判定 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直balAal bl abAbal作用：判定直线与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直思想： 如图，直四棱柱如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形底面四边形 满足什么条件时，满足什么条件时， ？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD答：底面四边形ABCD对角线相互垂直探究直线与平面垂直的判定定理可简述为直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直线线垂直，则

21、线面垂直”小结 通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）. .思想方法思想方法 前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出直线与平面所成的角直线与平面所成的角第2课时线面角相关概念线面角相关概念P斜线斜线PAPA与平面与平面 所成的角为所成的角为 PABPABl平面的斜线平面的斜线A斜足斜足A A斜线斜线PAPA在平面内

22、的射影在平面内的射影垂足垂足B BB B平面的垂线平面的垂线1.1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角射影所成的角)90, 0(02.平面的垂线与平面所成的角为直角3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是90, 00 如图，如图，BADBAD为斜线为斜线ABAB与平面与平面所成的角，所成的角，ACAC为平面为平面内的一条直线，那么内的一条直线，那么BADBAD与与BACBAC的大小的大小关系如何？关系如何？DCABBAD BACBAD BACE解：作解：作BOBO ADAD于

23、于O O，BEBE ACAC于于E E， 则则 BDBEBDBEsinsin BADsinBADsin BACBAC思考1o 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？面所成的角的大小关系如何？思考2 1. 1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？是哪些图形？ 2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？ 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考3小结小结1. 1. 直线与平面的位

24、置关系可以用直线与平面所成的直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量角来度量. . 线面垂直和线面平行是特殊情况线面垂直和线面平行是特殊情况. .2. 2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角所成角中最小的角. .3. 3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影平面内的射影. .平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定2.3.2卫星轨道面卫星轨道面地球赤道面地球赤道面概念 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线

25、分都叫做射线. . 平面上的一条直线将平面分割成平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面两部分，每一部分叫半平面. .半平面半平面射线射线概念 从一点出发的两条射线，构成平面角从一点出发的两条射线，构成平面角. . 同样同样, ,从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角. .这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱，这两个半平面叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的面面. . m记为：二面角记为：二面角 -m-m- 记作记作 AOBAOBABO二面角的图示二面角的图示二面角的记号二面角的记号（1 1）以直线）以直线 为为棱

26、，以棱，以 为半平面的二面角记为：为半平面的二面角记为： ll,（2 2）以直线）以直线ABAB为为棱，以棱，以 为半平面的二面角记为：为半平面的二面角记为： , ABlAB思考3两个相交平面有几个二面角？两个相交平面有几个二面角？如何用平面角来表示二面角的大小？如何用平面角来表示二面角的大小？探究lOABlOAB二面角二面角 - -l- - 二面角的平面角二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角所成的角叫做二面角的平面角. .平面角AOB即

27、为二面角-AB-的 注意：二面角的平面角必须满足：注意：二面角的平面角必须满足： （1 1）角的顶点在棱上）角的顶点在棱上. . （2 2）角的两边分别在两个面内）角的两边分别在两个面内. . （3 3）角的边都要垂直于二面角的棱）角的边都要垂直于二面角的棱. . 二面角的取值范围二面角的取值范围0180,000，或0 0度角度角180180度角度角l0 00 01801800 0小结二面角的平面角的作法：1.定义法：根据定义作出来.2.作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到.3.应用三垂线定理：应用三垂线定理或其逆定理作出来.oABoAoABBllll第第2课时课时定义定义 一般地，两

28、个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平两个平面互相垂直面互相垂直. .aAb 记为记为 判定定理：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直垂线，则这两个平面垂直aAaa 面 面面垂直线面垂直线线垂直,ABBCD BCCD已知面请问哪些平面互相垂直的请问哪些平面互相垂直的, ,为什么为什么? ?ABCBCD面面ABCACD面面ABDBCD面面ABBCD面CDABC面ABBCD面探究：探究：ABCD小结小结1. 1. 知识小结知识小结 1 1）二面角及其平面角）二面角及其平面角 2 2）两个平面互相垂直）两个平面互相垂直 2. 2. 思想方法思想方法面面垂直面面垂直线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直直线与平面垂直的直线与平面垂直的性质性质2.3.3直线与平面垂直的判定定理是什么？直线与平面垂直的判定定理是什么？复习直线与平面垂直的定义是什么？aa a思考1 如图，长方体如图，长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱中，棱AAAA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1，DDDD1 1所在直线与底面所在直线与底面ABCDABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？的位置关系如