高中数学《2-2-4用样本的数字特征估计总体的数字特征》课件新人教A版必修

1、【课标要求课标要求】1会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差2理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法3会应用相关知识解决简单的统计实际问题会应用相关知识解决简单的统计实际问题【核心扫描核心扫描】1求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差(重点重点)2准确求出样本的数字特征，并理解其意义准确求出样本的数字特征，并理解其意义(难点难点)2.2.2 用样本的数字特征估计用样本的数字特征估计总体的数字特征总体的数字特征众数、中位数、平均数的概念众数、中位数、平

2、均数的概念(1)众数：一组数据中出现众数：一组数据中出现_最多的数称为这组数据的最多的数称为这组数据的众数一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有众众数一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有众数反映了该组数据的数反映了该组数据的_在频率分布直方图中，在频率分布直方图中，最高矩形的最高矩形的_就是数据的众数就是数据的众数(2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于_位置的数称为这组数据的中位数位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均或两个数据的平均数数)一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组

3、数据的集中趋势在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直集中趋势在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积方图的面积_ .自学导引自学导引1次数次数集中趋势集中趋势中间中间相等相等中点中点聘聘 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系是怎众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系是怎样的？样的？提示提示(1)众数是最高矩形中点的横坐标；众数是最高矩形中点的横坐标；(2)中位数左右中位数左右两边的直方图的面积应该相等；两边的直方图的面积应该相等；(3)平均数的估计值等于频平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点

4、的横坐标之和横坐标之和平均水平平均水平标准差与方差标准差与方差(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用一般用s表示，通常用公式表示，通常用公式s=_.2对众数、中位数、平均数的理解对众数、中位数、平均数的理解(1)众数通常用来表示样本数据的中心值，容易计算但是众数通常用来表示样本数据的中心值，容易计算但是它只能表达样本数据中很少的一部分信息，通常用于描述它只能表达样本数据中很少的一部分信息，通常用于描述样本数据的中心位置样本数据的中心位置(2)中位数不受少数几个极端数据中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数即排序靠前

5、或靠后的数据据)的影响，容易计算，它仅利用了中间数据的信息当的影响，容易计算，它仅利用了中间数据的信息当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该用抗样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该用抗极端性很强的中位数表示数据的中心值极端性很强的中位数表示数据的中心值(3)平均数受样本中的每一个数据的影响，平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群越离群”的数据，的数据，对平均数的影响也越大与众数和中位数相比，平均数代对平均数的影响也越大与众数和中位数相比，平均数代表了数据更多的信息当样本数据质量比较差时，使用平表了数据更多的信息当样本数据质量比较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能与实

6、际情况产生较大的误均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差差名师点睛名师点睛1(4)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之说明数据中存在许多较小的极端较大的极端值；反之说明数据中存在许多较小的极端值在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均值在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息对标准差和方差的理解对标准差和方差的理解(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周

7、围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散数的两边越分散(2)若样本数据都相等，则若样本数据都相等，则s0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量就由标准差来衡量2(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描数据的离散程度可以通过极差

8、、方差或标准差来描述极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据述极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，波动的大小为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常用标准差通常用标准差样本方差的算术平方根来描述样本方差的算术平方根来描述(5)标准差的大小不会越过极差标准差的大小不会越过极差(6)方差、标准差、极差的取值范围：方差、标准差、极差的取值范围：0，)当标准差、当标准差、方差为方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，时，样

9、本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性数据没有离散性(7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差差题型一题型一众数、中位数、平均数的简单应用众数、中位数、平均数的简单应用 高一高一(3)班有男同学班有男同学27名，女同学名，女同学21名，在一次语文测名，在一次语文测验中，男同学的平均分是验中，男同学的平均分是82分，中位数是

10、分，中位数是75分，女同学的分，女同学的平均分是平均分是80分，中位数是分，中位数是80分分(1)求这次测验全班平均分求这次测验全班平均分(精确到精确到0.01)；(2)估计全班成绩在估计全班成绩在80分以下分以下(含含80分分)的同学至少有多少人？的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？么？思路探索思路探索 根据各种数据的定义及意义解决根据各种数据的定义及意义解决【例例1】 (2)男同学的中位数是男同学的中位数是75，至少有至少有14人得分不超过人得分不超过75分分又又女同学的中位数是女同学的中位数是80，

11、至少有至少有11人得分不超过人得分不超过80分分全班至少有全班至少有25人得分低于人得分低于80分分(含含80分分)(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大极分化现象严重，得分高的和低的相差较大规律方法规律方法1.中位数的求法中位数的求法(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数中间那个数(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的平均数的平均数2深刻理解和把握平均数

12、、中位数、众数在反映样本数深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用据上的特点，并结合实际情况，灵活应用 某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：计如下：选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩【变式变式1】分数分数5060708090100人数人数甲班甲班161211155乙班乙班351531311解解甲班平均分甲班平均分79.6分，乙班平均分分，乙班平均分80.2分，从平均分看分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为成绩较好的是乙班；甲班众数为90分

13、，乙班众数为分，乙班众数为70分，分，从众数看成绩较好的是甲班；从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第甲班的第25个和第个和第26个数据都是个数据都是80，所以中位数是，所以中位数是80分，分，同理乙班中位数也是同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数含中位数)的学生有的学生有31人，占全班学生的人，占全班学生的62%，同理乙班，同理乙班27人，占全班学生的人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是，所以从中位数看成绩较好的是甲班甲班如果记如果记90分以上分以上(含含90分分)为优秀，甲班有为优秀，甲班有20人，优秀率为人，优秀率为40%，乙

14、班有，乙班有24人，优秀率为人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较，从优秀率来看成绩较好的是乙班可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需好的是乙班可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评视要求而定如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适估比较合适 甲、乙两机床同时加工直径为甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验的零件，为检验质量，各从中抽取质量，各从中抽取6件测量，数据为：件测量，数据为：甲：甲：9910098100100103乙：乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；分别计算两组数据的平均数

15、及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定题型题型二二标准差、方差的应用标准差、方差的应用【例例2】 从甲、乙两种玉米苗中各抽从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株，分别测得它们的株高如下：株高如下：(单位：单位：cm)甲：甲：25414037221419 392142乙：乙：27164427441640401640问：问：(1)哪种玉米的苗长得高？哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？哪种玉米的苗长得齐？【变式变式2】 已知一组数据：已知一组数据：1251211231251271291251281301291261

16、24125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：填写下面的频率分布表：题型题型三三用频率分布表或直方图求数字特征用频率分布表或直方图求数字特征【例例3】分组分组频数频数频率频率120.5,122.5)122.5,124.5)124.5,126.5)126.5,128.5)128.5,130.5合计合计(2)作出频率分布直方图；作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数中位数和平均数审题指导审题指导 先由频数分别求出各组的频率，列出频率分布先由频数分别求出各组的频率，列出

17、频率分布表，画出频率分布直方图，再由频率分布直方图中数字特表，画出频率分布直方图，再由频率分布直方图中数字特征的意义作答征的意义作答 规范解答规范解答 (1)分组分组频数频数频率频率120.5,122.5)20.1122.5,124.5)30.15124.5,126.5)80.4126.5,128.5)40.2128.5,130.530.15合计合计201（4分分）(2)（8分分）(3)在在124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确，事实上，众数的精确值为值为125.

18、又又前两个小矩形的频率和为前两个小矩形的频率和为0.25.设第三个小矩形底边的一部分长为设第三个小矩形底边的一部分长为x.则则x0.20.25，得，得x1.25.中位数为中位数为124.51.25125.75.【题后反思题后反思】 利用频率分布直方图求数字特征；利用频率分布直方图求数字特征；众数是最高的矩形的底边的中点众数是最高的矩形的底边的中点中位数左右两侧直方图的面积相等中位数左右两侧直方图的面积相等平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标坐标利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似

19、值，往往与实际数据得出的不一致但它们能粗略估计其众数、中与实际数据得出的不一致但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数位数和平均数 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.【变式变式3】求：求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数高一参赛学生的成绩的众数、中位数(2)高一参赛学生的平均成绩高一参赛学生的平均成绩解解(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值用频率分布直方图中最高矩