2017-2018学年高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点学案(含解析)新

1、3.1.1方程的根与函数的零点函数的零点提出问题如图为函数f(x)在4,4上的图象：问题 1:根据函数的图象，你能否得出方程f(x) = 0 的根的个数？提示：方程f(x) = 0 的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由题图可知，方 程有 3 个根，即x= 3, 1,2.问题 2:你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标.导入新知1.函数的零点对于函数y=f(x)，把使f(x) = 0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2方程、函数、图象之间的关系方程f(x) = 0 有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴

2、有交点？函数y=f(x)有零点.-X化解疑难函数零点的本质(1) 函数的零点的本质是方程f(x) = 0 的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个 实数.例如函数f(x) =x+ 1，当f(x) =x+ 1 = 0 时，仅有一个实数根x= 1，所以函数f(x) =x+ 1 有一个零点一 1,由此可见函数f(x) =x+1 的零点是一个实数一 1，而不是一个点.(2) 函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有 零点.函数零点的判断提出问题层析教材.新知无师自逋O1234*2函数f(x) =x2 4x+ 3 的图象如图.3问题 1 函数的零点是什么?提示：1,3.

3、问题 2:判断f(0) f(2)与f(2) f(4)的符号.提示： f(0) = 3, f (2) =- 1, f(4) = 3,f(0) f(2)0 ,f(2) f(4)0.导入新知函数零点的存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a) f(b)0 , 那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c (a,b)，使得f(c) = 0，这个c也 就是方程f(x) = 0 的根.化解疑难A .对函数零点存在性的探究1(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y=x.x(2) 当函数y=f(x)同时满足：函数的图象在 a,b上是连续曲线；f(a)

4、f(b)0. 则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个.(3) 当函数y=f(x)的图象在a,b上是连续的曲线，但是不满足f(a) f(b)0 时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点.x+ 32(1)f(x) =- ； (2)f(x) =x+ 2x+ 4;z.f(x) = 2x 3;f(x) = 1-log3X.求函数的零点顿宦考向.老題千变不离其宗例 1 (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.4解(1)令- =0，解得x=- 3,xx+ 3所以函数f(x)=的零点是x=-3.x25令x+ 2x+ 4 = 0,由

5、于 = 22-4X1X4= 120, 所以方程x2+ 2x+ 4= 0 无实数根， 所以函数f(x) =x2+ 2x+ 4不存在零点.令 2x 3= 0,解得x= log23.所以函数f(x) = 2x 3 的零点是x= log23.令 1 log3X= 0,解得x= 3,所以函数f(x) = 1 log3x的零点是x= 3.类题通法函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x) = 0.若方程f(x) = 0 有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点.活学活用判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.2(1)f(x)

6、=x 4x 4;x(3)f(x) = 4 + 5;(4)f(x) = log3(x+ 1).解：(1)令x2 4x 4 = 0,解得x= 2，所以函数的零点为x= 2.所以函数的零点为x= 1.(3)令 4x+ 5= 0,贝 U 4x= 50,无解，即方程 4x+ 5 = 0 无实数根，所以函数不存在零占八、(4)令 log3(x+ 1) = 0，解得x= 0, 所以函数的零点为x= 0.(2)f(x)=x1 x2 4x +；1x 3x1x2 4x+2x 3=0，解得x= 1,262例 2 (1)二次函数f(x) =ax+bx+c(x R)的部分对应值如表:7x32101234y6m4664n

7、6不求a,b,c的值，判断方程ax+bx+c= 0 的两根所在的区间是()A.( 3, - 1)和(2,4)B.( 3, 1)和(1,1)C.( 1,1)和(1,2)D.( a, 3)和(4,+)(2)若avbc,则函数f(x) = (xa)(xb) + (xb)(xc) + (xc)(xa)的两个零-点分别位于区间()IA.(a,b)和(b, c)内B.(a,a)和(a,b)内C.(b, c)和(C,+a)内D. (a,a)和(C,+a)内解析(1)利用f(a)f(b)0,f( 1) = 40,.在(一 3, 1)内必有根.又Tf(2) = 40,在(2,4)内必 有根.(2)/f(x) =

8、 (xa)(xb) + (xb)(xc) + (xc)(xa) , f(a) = (ab)(ac),f(b) = (bc)(ba),f(c) = (ca)(cb),Tab0 ,f(b)0,f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c) 内.答案(1)A(2)A类题通法确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、 方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理,两端点对应的函数值的符号是否相反.活学活用在下列区间中，函数f(x) = ex+ 4x 3 的零点所在的区间为()1 1、A.4 ,0B. 0, 4C.解析：选 C 显然f(x)为定义域 R 上的连续函数.如图，作出y= ex与y= 3

9、 4x的图转化为D.象，由图象知函数f(x) = ex+ 4x 3 的零点一定落在区间f2 =. e 1 0,故选 C.8判断函数零点的个数1例 3(1)函数f(x) = Inx= 的零点的个数是()XIA.0B.1C. 2D.3(2)判断函数f(x) = 2X+ lg(x+ 1) 2 的零点个数.1 1Inx与y=x的图象有两个交点，所以函数f(x) = Inxx的零点个数为 2.f(2) = 4 + lg 3 20,f(x)在(0,2)上必定存在零点,又Tf(x) = 2x+ lg(x+ 1) 2 在(0,+s)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.法二：在同一坐标系中作出h(x) =

10、2 2x和g(x) = lg(x+ 1)的草图.由图象知lg(x+ 1)的图象和h(x) = 2 2x的图象有且只有一个交点，即f(x) = 2x+ lg(x+ 1) 2 有且只有一个零点.类题通法判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法:解(1)选 C 在同一坐标系中画出y= Inx与y= 丄的图象，如图所示,x 1g(x)=9方法一：直接求出函数的零点进行判断；10方法二：结合函数图象进行判断；方法三：借助函数的单调性进行判断.若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)上单调，满足f(a) f(b)0 时，f(x)0 ;当x0 时，f(x)

11、0.所以函数没有零点，故选 A.活学活用1| ,已知函数f(x) = 3x- 1，则实数a的取值范围为()A. (1,3)C. (0,2)xv2,B.D.若方程f(x) a= 0 有三个不同的实数根,10.因函数图象不连续造成判断失误1函数f(x) =x+x的零点个数为B.D.(0,3)(0,1)11答案A12易错防范1 函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域,1通过作图，可知函数f(x) =x+-的图象不是连续的.若忽视该特征，易由f( 1)0 ,X得出错误的答案 B.2零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲

12、线；二是f(a) f(b)0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立， 那么就不能使用该定理.活学活用X2+ 2x 3,x0A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选 C 当x0 时，令一 2+ lnx= 0,解得x= e ,r 2x+2x3,xw0,所以函数f(x)= *有 2 个零点.2+ lnx,x0自主演练.百炼方成钢随堂即时演练1 .函数f(x) = log3X 8 + 2x的零点一定位于区间()A. (5,6)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)解析：选 Bf(3) = log33 8 + 2X3= 10.又因 为f(x)在(0,+)上为增函数，所以其零点一定位于区间

13、(3,4).2.函数f(x) =ax2+bx+c,若f(1) 0,f(2) 0，则f(x)在(1,2)上的零点()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D. 个也没有13解析：选 C 若a= 0，则f(x) =bx+c是一次函数，由f(1) f(2) 0,与已 知矛盾.3.已知函数f(x) =x2axb的两个零点是 2 和 3，则函数g(x) =bx2ax 1 的零点14解析：由题意知，方程x2axb= 0 的两根为 2,3 ,152+3=a,2x3=一b,即a= 5,b= 6,方程bx2ax 1 = 6x2 5x 1 = 0 的根为一 1, 1，即为函数g(x)的零点.1答案：1，4

14、.函数f(x) = 3x+x 5 的零点x a, b，且ba= 1,a,b N,则a+b=_解析：ba=1,a,bN*,f(1)=3+15=1v0,f(2)=9+25=60,f(1) f(2)v0,.a+b= 3.答案：35.求函数f(x) = log2Xx+ 2 的零点的个数.解：令f(x) = 0,即 log2xx+ 2 = 0,即 log2X=x 2.令y1= log2x,y=x 2.画出两个函数的大致图象，如图所示.有两个不同的交点.所以函数f(x) = log2xx+ 2 有两个零点.课时达标检测一、选择题x1234f(x)136.13615.5523.9210.88x567f(x)

15、52.488232.06411.238yj-log?*f(x)对应值表x,1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的由表可知函数f(x)存在零点的区间有(16A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个解析：选 D /f(2)f(3)0 ,f(3)f(4)0 ,f(4) f(5)0 ,f(6)f0,则不存在实数c (a,b)，使得f(c) = 0B.若f(a)f(b)v0,则存在且只存在一个实数c (a,b)，使得f(c) = 0C. 若f(a)f(b) 0,则有可能存在实数c (a,b)，使得f(c) = 0D. 若f(a)f(b)v0,则有可能不存在实数c(a,b)，使得f(c)

16、 = 0解析：选 C 根据函数零点存在性定理可判断，若f(a) f(b)v0,则一定存在实数c (a,b)，使f(c) = 0,但c的个数不确定，故 B、D 错.若f(a) f(b) 0，则有可能存在 实数c (a,b)，使得f(c) = 0，如f(x) =x- 1,f( 2) f(2) 0，但f(x) =x- 1 在(一 2,2)内有两个零点，故 A 错，C 正确.4.已知f(x) = (x-a)(x-b) - 2，并且a, 3是函数f(x)的两个零点，则实数a,b,a,3的大小关系可能是()A.aab3B.aa3bC.aab3D.aa3b解析：选 CT a,3是函数f(x)的两个零点，f(

17、a)=f(3)= 0.又f(x) = (x-a)(x-b) - 2,- f(a) =f(b) =-20.结合二次函数f(x)的图象，如图所示， 可知，a,b必在a,3之间，只有 C 满足.x15.已知X。是函数f(x) = 2 + 的一个零点.若X1 (1,xo),X2 (xo,+s)，则()1 xA.f(xj0,f(X2)0B.f(xj02.A.0B.1C. 2D.3x22ix，则f(x)为减函数，值域为R,故有 1 个.方程 0.9x的实数解的个数是(解析：选 B设f(x) = 0.917C.f(Xi)0,f(X2)0 ,f(X2)01解析：选 B 在同一平面直角坐标系中画出函数y= 2X

18、和函数 y=；x-11的图象，如图所示，由图可知函数y= 2X和函数y=的图象只有一个交x- 11点，即函数f(X) = 2X+只有一个零点X0,且X01.1 X因为X1(1,Xo),X2(X0,+8)，所以由函数图象可知，f(X1)0.二、填空题6. 函数f(X) = InXX2+ 2X+ 5 的零点个数为 _ .解析：令 Inxx+ 2x+ 5= 0 得 Inx=x 2x 5,画图(图略)可得函数y= Inx与函数y=x2 2x 5 的图象有 2 个交点，即函数f(x)的零点个数为 2.答案：27._已知方程mXx 1 = 0 在(0,1)上恰有一解，则实数m的取值范围是 _ .解析：设f

19、(x) =mXx 1,：方程mXx 1 = 0 在(0,1)内恰有一解，且当m= 0 时，方程一x 1 = 0 在(0,1)内无解， m0,由f(0)f(1)v0,即一 1(m- 1 1)v0，解得 m 2.答案：(2,+R)&若函数f(x) =axxa(a0,且a* 1)有两个零点，则实数a的取值范围是 _ .解析：函数f(x) =axxa(a0,且a* 1)有两个零点，就是函数y=ax(a0 且a* 1)与函数y=x+a的图象有两个交点，由图象可知当 0a1 时，因为函数y=a(a1)的图象过点(0,1),当直线y=x+a与y轴的交点a)在(0,1)的上方时一定有两个交点.所以a1

20、.答案：(1,+8)三、解答题_ 2 _ _9.关于x的方程mx+2( m+ 3)x+ 2m 14= 0 有两实根，且一个大于4, 一个小于求m的取值范围.2解：令f(x) =mx+ 2( m 3)x+ 2m 14.(0,118n 0,依题意得f4mv0,或 cIf40,m 0,即26m 38v0,mV0,或 i26m 380,1919 解得13v m0)，则t2+mt+ 1 = 0.当 = 0，即吊一 4 = 0 时，m= 2;当 m= 2 时，t= 1;当 m= 2 时，t= 1 不合题意，舍去，2 = 1,x= 0 符合题意.当 0,即卩m2 或m0,.t10,t20,则原方程有两个根.这种情况不可能.综上可知：m= 2 时，f(x)有唯一零点，该零点为x= 0.22e11.已知函数f(x)