不等式(组)与简单的线性规划问题

1、学习必备欢迎下载二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题X_1I1.已知 aO,x,y 满足约束条件x y空3若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=（）y a x311A. B.C.1 D.242【解析】选 B.画出不等式组表示的平面区域如图所示：1解得 a=,故选 B.2x - y 1 _ 0,I72.设x, y满足约束条件x y -1 _ 0,则z =2x3y的最小值是（）x o4.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：x +2y 1 o,所表示的区域上一动点，则直线OM3x十y 8I,3；【解题指南】作出平面区域， 则区域的边界点中有一个在【解析】选 C。作出可行域如

2、下图所示：Xo 2yo=2 的上方，一个在下方。大值，通过平移可求解【解析】 选 A.y=|x|与y=2的图像围成一个三角形区域，3 个顶点的坐标分别是学习必备欢迎下载2(-m,1-2m)在直线y=x-1上方，且(-m,m)在直线y=2x-1下方，解不等式组2 2m 2m,121 2m m1,得 nx .23mm -1,I 2x + y兰8,2 v x兰46.若变量x, y满足约束条件且z =5y一x的最大值为a，最小值为b，则a - b的值是p0,y -0,( )A.48B.30c.24D.16【解题指南】 本题考查的是简单的线性规划问题，求解的关键是正确的作出可行域，然后求出最大值与最小值

3、.【解析】 选 C,作出可行域如图，1111结合图形可知，当y x z经过点 A4,4时，z取最大值 16，当y x z经过点 B8,0时,5555z取最小值为-8，所以a-b=24，故选 C.7.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A,B两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且B型车不多于A型车 7 辆则租金最少为()A. 31200 元 B . 36000 元 C . 36800 元D. 38400 元【解题指南】 利用线性规划求解.【解析】 选 C.设 A 型、B 型车辆的数量分

4、别为x, y 辆，则相应的运营成本为 1600 x+2400y，依题意，x , y 还需满足：x+y 21 , y 900 ,于是问题等价于求满足约束条件x + y兰21,Wx+7,36x 60y -900,x,y 0,x,y N,要使目标函数z =1600 2400y达到最小值。作可行域如图所示30*10叫）/学习必备欢迎下载尹O-S102卜为（U可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6),学习必备欢迎下载由图可知，当直线 z=1600 x+2400y 经过可行域的点P 时,直线 z=1600 x+2400y 在 y 轴上截距2400小，即 z 取得最小值.故应

5、配备 A 型车 5 辆,B 型车 12 辆.Zmin=1600 x+2400y=1600X5+2400X12=36800（元）. 3x y 一 6 _0,&设变量 x,y 满足约束条件 x-y-20, y 亠 0,A.-7【解题指南】 画出约束条件所表示的可行域【解析】 选 A.由 z=y-2x,得 y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域可行域的三个端点为（1,0）,（ 2, 0（ 1,1,分别代入可得 zmin=2X1+0=2,zmax=2X2 + 0=4.y 兰 2x10.若变量x, y满足约束条件x,则 x 2y 的最大值是（）八-1A.先作出约束条件对应的可行域，再求出顶点坐

6、标，然后找出最优解即可。W2x【解析】 选 C.作出不等式组 丿x十y兰1，表示的平面区域 得到如图的 ABC 及其内部则目标函数 z=y-2x 的最小值为B.-4C.1D.2,平移直线 z=y-2x 至截距最小即可ABC.作直线 y=2x,平移直线 y=2x+z ,由图象知当直线经过点B 时,y=2x+z 的截距最小x y 一 2 =0,得 x =5, y -3 =0, 寸 y -3,此时 z 最小.由代入 z=y-2x 得 z=3-2 X5=-7.所以最小值为-7.9.若变量x,y 满足约束条件x y _2,I7x -1,则 z=2x+y 的最大值和最小值分别为y -0,B.4 和 2D.

7、2 和 找出可行域A.4 和 3C.3 和 2【解题指南】【解析】选 B.可行域如图所示0，将各端点代入求出最值【解题指学习必备欢迎下载其中 A(, -1 ),B(, ),C(2,-1). 设 z=x+2y,将直线 l:z=x+2y 进行平移，二、填空题X*3y=4，解得A(1,1),所以zmirl=-1+1=0、3x + y = 4当 I 经过点 B 时，目标函数5z 达到最大值,所以311.设 x,y 满足约束条件厂1 Wx -y W0【解题指南】 画出 x,y 满足约束条件的可行域 出点的坐标，将该点坐标代入目标函数中 【解析】画出可行域如图所示， 贝Uz=2x-y,平移目标函数，确定目

8、标函数取得最大值的位置当目标函数【答案】12.若X、【解X-0,y满足约束条件x 34,则3x y乞4,画出x、y满足约束条件的可行域,z - -x y 的最小值为如图.y可知过点A时，目标函数取得最小值，联立学习必备欢迎下载【答案】0.学习必备欢迎下载X _0,13.记不等式组x亠3y _4,所表示的平面区域为D.若直线3x y _4,y=ax 1 与 D 有公共点，贝 U a 勺取值范围是.【解析】 画出可行域如图所示，a取得最大值为4，当直线y二a(x1)过点(1,1)时，a取得11丄.所以a的取值范围为丄,4.224x y -20,I7x,y 满足x2y+40,若 z 的最大值为 12

9、,则实数 k=2x y 4W 0,1-k 2,取最大值 12,即 4k+4=12,所以 k=2.【答案】216.抛物线 y=x2在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域 D 内的任意一点，则 x+2y 的取值范围是 _.【解题指南】 先确定可行域，再通过平移目标函数求范围.2【解析】 由 y =2 x得抛物线y = x在x = 1处的切线方程为y -1二2(x - 1)即y = 2x -1即得可行域如图中阴影 1 1目标函数z=x，2y=2y x z平移目标函数经过点 A 时x 2y最小经过点 B 时x 2y最2 2一1大，故x 2y的

10、取值范围是-2, 21【答案】-2,丄2x 2y乞8,17.若变量 x,y 满足约束条件0兰X兰4,则 x+y 的最大值为 _0 3,【解题指南】 先作出约束条件对应的可行域，求出顶点坐标，然后找出最优解即可。【解析】画出可行域如图，15.设 z=kx+y,z 的最大值为 12,则实数 k=【解题指-k0 且直线过点A(4,4)时,z其中实数 x,y 满足x2y0,若2x - y -4= 0,根据不等式组画出可行域，再把目标函数 z 转化为在 y 轴上的截距.学习必备欢迎下载18.若非负数变量x、y 满足约束条件【解题指南】作出可行域,【解析】由|U=：T求出最优点，丿 2 ?x = _3，即

11、点5?y =- ?3X-y?1则 x+y 的最大值为?x + 2y ? 4,A( ,5)，同理可得点3 3B( 4,0 )，可行域如图阴影所示,x 2y乞8,由得A(4,2),目标函数 z=x+y 可看成斜率为-1 的动直线,其纵截距越大z 越大，数形结lx=4,合可得当动直线过点A 时,z最大=4+2=6.【答案】6学习必备欢迎下载(0,1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1,1), (1,2),(2,3), (2, 2), (3,1), (4,0这 11 个点是z=x+y在D上取得最大 值或最小值的点为(0,1), (0, 4), (1,3), (2, 2), (3,

12、1), (4,这些点共确定6 条不同的直线.【答案】6.*54乡红|pi 2 3 4 7 x4,0 )时得所求的最大值是4.19.设 D 为不等式组x 0,2x - y _0 x y -3 _ 0，表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最(1, 0)到直线 2x-y=0【答|2 1-0|2.5d二.221252”5520.给定区域x 4y _4,x y _4,令点集T=(xo,yo)x一0,，贝 U T 中的点共确定 _ 条不同的直线。本题考查线性规划中的整点最优解问题，可列出整点验算DX0,y乙(X0,y0)是 z=x+y 在D上取得最大值或最小值的点【解题指南】【解析】

13、区域D是以(0,1), (0, 4), (4,为顶点的三角形内部区域(含边界)，D内的整点有由图可知当直线x+ y = k经过(【答案】4点(1，的距离,小值为_ .【解题指南】 作出可行域 D,然后可以看出点 (1 , 0)到 D 的距离的最小值为点 的距离。【解析】学习必备欢迎下载fx_y+3启0,21.已知变量x,y满足约束条件 -仁x乞1，则的最大值是 _ .I -1,【解题指南】 本题考查线性规划中的最优解问题，可画出可行域计算【解析】 可行域D是以(-1,1), e 1,2), (1,4), (1为顶点的直角梯形内部区域(含边界)，z=x+y在D上取得最大值的点为(1,4)，最大值是 5.【答案】5.学习必备欢迎下载点与原点的距离最小 【解析】 作出可行域如图【解题指南】 画出直线围成的封闭区域，把求2x-y 最小值转化为求y=2x-z 所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解【解析】 封闭区域为三角形。令| x -1 | = 2 , 解得xi1, X2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为(1,0, ),( -1,2 ),( 3,2 )，在封闭区域内平移直线y=2x，在点(-1