2017-2018版高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案北师大版选修1-1

1、第一章常用逻辑用语i 化为集合一一理清关系 充分（必要）条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点, 将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法本节使用 集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释,如下：1A是B的充分条件，即A?B（如图 1）2A是B的必要条件，即B?A（如图 2）B既有公共元素也有非公共元素.例 1 “x2 3x+ 20”是“x 1”的_条件.（填“充分不必要”、 “必要 不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）解析 设命题p：“x2 3x+ 20”，q：“x 1”对应的集合分别为A、B,贝UA=x|x2,B=x|

2、x 1,显然“A?B, B?A”，因此“x2 3x+ 20” 是“x 1” 的既不充分 又不必要条件.答案既不充分又不必要2.-抓住量词 对症下药技巧点拨qi 解逻辑用语问题的三绝招实践证明效果较好.集合模型解释A是B的既不充分又不必要条件，即AnA ?或A2全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药.例 2 （1）已知命题p: “任意x 1,2 ,x2a0”，与命题q： “存在x R,x2+ 2ax+ 2 +a=0”都是真命题，则实数a的取值范围为 _.2 2已知命题p：

3、“存在x 1,2 ,xa0”与命题q：“存在x R,x+ 2ax+ 2+a= 0”都是真命题，则实数a的取值范围为_ .解析将命题p转化为当x 1,2时，2(xa)min0 ，即 1 a0，即卩aw1.命题q：即方程有解， = (2a) 4X(2 +a)0,解得aw 1 或a2.综上所述，aw 1.将命题p转化为当X 1,2时，(Xa)max0,即 4a0, 即卩aw4.命题q同(1).综上所述aw 1 或 2waw4.答案(1)(R, 1(2)(1U2,4点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质-量词，有的放矢.3.等价转化一一提高速度在

4、四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真.3x+ 4y 120,2 2 2 _例 3 设p：*2xy 8w0,q：x+ywr(r0)，若q是綈p的充分不必要条件，& 2y+ 60,求r的取值范围.分析 q是綈p的充分不必要条件”等价于p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B,则可由A?RB出发解题.解 设p、q对应的集合分别为A、B,将本题背景放到直角坐标系中，则点集

5、A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2+y2=r2外的点的集合. A?RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r,3直线 3x+ 4y 12= 0 上的点到原点的最近距离大于r,原点O到直线 3x+ 4y 12 = 0 的距离| 12| 1212d=22=，二r的取值范围为 0r0)在p:3x+ 4y 120,2xy 8w0,所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的x2y+60充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”， 更好地体现了相应的数学思4想方法.否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它

6、们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别.1 否命题与命题的否定的概念设命题“若A,则B”为原命题，那么“若綈A则綈B”为原命题的否命题，“若A,则綈B为原命题的否定所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到 的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.例 1 写出下列命题的否命题及否定：(1)若 |x| +1y| = 0，则x,y全为 0 ；函数y=x+b的值随x的增加而增加.分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A,则B”的形式，然

7、后再写出相应的命题.解 原命题的条件为“|x| + |y| = 0”，结论为“x,y全为 0”.写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x| + |y|工 0,则x,y不全为 0”.写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x| + |y| = 0,则 x,y不全为 0”.原命题可以改写为“若x增加，则函数y=x+b的值也随之增加”.否命题为“若x不增加，则函数y=x+b的值也不增加”； 命题的否定为“若x增加，则函数y=x+b的值不增加”.2否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为

8、假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假但是原命题与其否定的 真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真这也可以作为检验 写出的命题是否正确的标准.例 2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若X24，则2x0 且n0，则nun0.类比分析q2 命题的否定与否命题辨与析5分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假. 解(1)否命题：“若x24，则x2或x 2”.命题的否定：“若X22或x0 且n0,则 minw0”.由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假误区 1 所有

9、不等式、集合运算式都不是命题例 1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假.2（1）x+ 20; （2）x+ 20;（3）AnB=AUB;（4）A?AUB.错解（1）、（2）、（3）、都不是命题.剖析（1）中含有未知数X,且x不定，所以X+ 2 的值也不定，故无法判断x+ 20 是否成 立，不能判断其真假，故（1）不是命题；x虽为未知数，但x20,所以x2+ 22,故可判断x2+ 20 成立，故为真命题.若A=B,贝UAnB= AUB=A=B;若A B,则AnB=A AUB=B.由于代B的关系未知，所以不能判断其真假，故（3）不是命题.A为AUB的子集，故A?AUB成立，故为真命题.正解

10、（2）、（4）是命题，且都为真命题.误区 2 原命题为真，其否命题必为假例 2 判断下列命题的否命题的真假：（1）若a= 0,贝V ab= 0；若a2b2，贝Uab.错解（1）因为原命题为真命题，故其否命题是假命题； 因为原命题为假命题，故其否命题为真命题.剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断.正解（1）否命题为：若0,贝U abz0,是假命题；（2）否命题为：若a2wb2,则a0 成立的一个充分不必要条件是（）易错辨析43 走出逻辑用语中的误区7A.x3B.x4D.x 1,2,3错解 由不等式x 30 成立，得x3,显

11、然x3?x2,又x2D? /x3，因此选 C.剖析 若p的一个充分不必要条件是q,则q?p,pD?/q.本题要求使不等式x 30 成立的 一个充分不必要条件， 又x4?x 30,而x 30D? /x4,所以使不等式x 30 成立的一 个充分不必要条件为x4.正解 B误区 4 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例 4已知p：方程(x 11)(x 2) = 0 的根是x= 11;q：方程(x 11)(x 2) = 0 的根是x= 2，试写出p或q”.(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”.错解 p或q：方程(x 11)(x 2) = 0 的根是

12、x= 11 或x= 2.p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.剖析(1)(2)两题中 p,q都是假命题，所以“p或q”，“p且 q”也都应是假命题.而上 述解答中写出的两命题却都是真命题. 错误原因是： (1) 只联结了两个命题的结论； (2) 只联 结了两个命题的条件.正解(1)p或q：方程(x 11)(x 2) = 0 的根是x= 11 或方程(x 11)(x 2) = 0 的根是x=2.p且q:四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形. 误区 5 不能正确否定结论例 5p：方程x2 5x+ 6= 0 有两个相等的实数根，试写出“綈p”.错解 綈p:方程x2 5x+

13、 6= 0 有两个不相等的实数根.剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定 “相等”.正解 綈p：方程x2 5x+ 6= 0 没有两个相等的实数根.误区 6 对含有一个量词的命题否定不完全2例 6 已知命题P：存在一个实数x，使得xx 20. 错解二 綈p：对任意的实数X,都有x2x 20.误区 7 忽略了隐含的量词例 7 写出下列命题的否定：(1) 不相交的两条直线是平行直线；C.x28(2) 奇函数的图像关于y轴对称错解 (1) 不相交的两条直线不是平行直线；(2) 奇函数的图像不关于y轴对称剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题 对于

14、一些量词不明显或不含有 量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意正解 (1) 存在不相交的两条直线不是平行直线；(2) 存在一个奇函数的图像不关于y轴对称91 转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明.例 1 证明：若a2b2+ 2a 4b 3 工 0,贝U a1.证明命题“若ab+ 2a 4b 3 工 0,则a1”的逆否命题是“若ab= 1,22则ab+ 2a 4b 3 = 0”.22由ab= 1 得ab+ 2a 4b 3 = (a+b)(ab) + 2(ab) 2b 3 =ab 1

15、 = 0. 原命题的逆否命题是真命题，原命题也是真命题.故若a2b2+ 2a 4b 3 工 0,贝U ab* 1.例 2 已知p：x2 8x 200,q：x2 2x+ 1 a20,若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题.解 解不等式x2 8x 200,得p:A= x|x10 或x0,得q：B= x|x1 +a或x0.依题意p?q,但qD? /p,说明A Ba0a0于是有 1 +aw10 或 1 +a10，解得 0 21 a 2所以正实数a的取值范围是(0,3.2.简化意识判断命题真假的关键： 一是识别命题的构成形式；二

16、是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断.例 3 已知命题p：函数y= log0.5(x2+ 2x+a)的值域为 R,命题q：函数y= (5 2a)x是 R 上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 _ .解析 函数y= log0.5(x2+ 2x+a)的值域为 R,即y=x2+ 2x+a的值域是(0,+)，即在方 程x2+ 2x+a=0 中，重点4 解“逻辑”问题需强化三意识10 =44a0?aw1,即卩p真？aw1；11函数y= (5 2a)x是减函数？5- 2a1?a2,即q真？a2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p,q中必有一真一假.若p真q假，则无解；若p假q真，则 1a2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).答案 (1,2)点评 若命题p或q”p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p,q,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q” “p且q”的真假情况确定参数的取值范围.3反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直