2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案新人教B版选修1-2

1、2.1.2演绎推理【明目标、知重点】1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行 一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系填要点记疑点1. 演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理.2. 演绎推理的特征当前提为真时，结论必然为真 3. 三段论推理，三段论的一般表示M是P, S是M所以，S是P.探要点究所然情境导学小明是一名高二年级的学生，17 岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中.由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢 取钱财.但小明却说我是未成年人而

2、且就抢了50 元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一演绎推理与三段论思考 1 分析下面几个推理，找出它们的共同点.(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；一切奇数都不能被 2 整除，(2100+ 1)是奇数，所以(21+ 1)不能被 2 整除；三角函数都是周期函数，tana是三角函数，因此 tana是周期函数；两条直线平行，同旁内角互补.如果/A与/B是两条平行直线的同旁内角，那么/A+ZB=180.答 思考 1 中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论思考 2 演绎推理有什么特点？演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理是

3、从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中 的个别、特殊事实.在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的， 结论必定是2正确的.思考 3 演绎推理一般是怎样的模式？答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1) 大前提已知的一般原理； (2) 小前提所研究的特殊情况； (3) 结论根据一般原 理，对特殊情况做出的判断 .例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式 .(1) 平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，/A, /B是等腰三角形的底角，则/A=ZB;通项公式为an

4、= 2n+ 3 的数列an为等差数列.解 (1) 平行四边形的对角线互相平分,大前提菱形是平行四边形,小前提菱形的对角线互相平分 .结论(2) 等腰三角形的两底角相等,大前提/A, /B是等腰三角形的底角，小前提/A=/B.结论数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，大前提通项公式为an= 2n+ 3 时，若n2,则anan1= 2n+ 3 2(n 1) + 3 = 2(常数)，小前提通项公式为an= 2n+ 3 的数列an为等差数列结论反思与感悟 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一 个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合

5、起来,揭示了一般原理与特殊 情况的内在联系 . 有时可省略小前提, 有时甚至也可把大前提与小前提都省略, 在寻找大前提 时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 .跟踪训练 1 把下列推断写成三段论的形式：(1) 因为ABC三边的长依次为 3,4,5，所以ABC是直角三角形；(2) 函数y= 2x5 的图象是一条直线；y= sinx(x R)是周期函数.解 (1) 一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,大前提ABC三边的长依次为 3,4,5，而 32+ 42= 52,小前提ABC是直角三角形.结论(2) 一次函数y=kx+b(0)的图象是一条直线，大前提函数y= 2x+ 5

6、是一次函数，小前提函数y= 2x+ 5 的图象是一条直线.结论3(3) 三角函数是周期函数,大前提y= sinx(x R)是三角函数，小前提y= sinx(x R)是周期函数.结论探究点二三段论推理中的易错点例 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1) 整数是自然数，大前提3 是整数，小前提3 是自然数.结论常数函数的导函数为 0，大前提函数f(x)的导函数为 0，小前提f(x)为常数函数.结论(3)无限不循环小数是无理数，大前提13(0.333 33)是无限不循环小数，小前提13 是无理数.结论解(1)结论是错误的，原因是大前提错误.自然数是非负整数.(2) 结论是错误的，原因

7、是推理形式错误.大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”.1(3) 结论是错误的，原因是小前提错误.孑 0.333 33)是循环小数而不是无限不循环小数.反思与感悟演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确跟踪训练 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1) 因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地.结论(2) 因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，

8、小前提所以菱形是正多边形.结论解(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提 中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.(2)结论是错误的，原因是大前提错误.因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多 边形才是正多边形.探究点三三段论的应用4例 3 如图，在锐角三角形ABC中,ADL BQ BH AC,D, E是垂足，求证：AB的中点M到点D, E的距离相等.5B.某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人,3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过50 人证明（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形

9、，大前提在厶ABD中,ADL BC即/ADB=90,小前提所以ABD是直角三角形.结论同理，AEB也是直角三角形.（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线，小前提1所以DMkqAB结论1同理EM=qAB所以DM= EM反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件（小前提），根据需要引入相关的适用的定理和性质（大前提），并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得 出正确的结论.如果大前提是显然的，则可以省略跟踪训练 3 已知：在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB AD的中点，如图所示，求证:EF/平面BCD证明 三角形

10、的中位线平行于底边，大前提点E、F分别是AB AD的中点，小前提所以EF/ BD结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF?平面BCD BD?平面BCD EF/ BD小前提EF/平面BCD结论当堂测查疑缺1.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果/A与/B是两条平行直线的同旁内角，则/A+ZB=180C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质6D.在数列an中ai= 1,an=1an-i+2），由此归纳出an的通项公式2Ian-1；答案 A解析 A 是演绎推理，B D 是归纳推理，C 是类比推理.2. 已知正方形的对角线相等；矩形的

11、对角线相等；正方形是矩形根据“三段论”推理出一个结论则这个结论是 _ .答案正方形的对角线相等解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角 线相等3. 把“函数y=x2+x+ 1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提： _ ;小前提：_ ;结论：_.答案 二次函数的图象是一条抛物线函数y=x2+x+1 是二次函数 函数y=x2+x+ 1 的图象是一条抛物线4. 如图，在ABC中,AOBC CD是AB边上的高，求证：/ACD/BCD证明：在厶ABC中,因为CDL AB AOBC所以AOBD,于是/ACD/BCD则在上面证明的过程中错误的是 _.（只填序号）答案解析 由ADBD得到/ACD/BCD勺推理