2018年高考数学一轮复习专题35一元二次不等式及其解法教学案理

1、专题35一元二次不等式及其解法考情解读1. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;3. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.判别式=b2 4ac 0 = 0 0)的图象7丿*02一兀二次方程ax+bx+c= 0(a0)的根有两相异实根X1,X2(X10 (a0)的解集x|XX2x|X丰X1x|x Rax+bx+c0)的解集x|X1X0 或(xa)(xb)0 型不等式的解法不等式解集ab(xa) (xb)0 x|xbx|XMax|xa(xa) (xb)0 x|axb?x|bxa口诀：大于取两

2、边，小于取中间.高频考点一一元二次不等式的求解例 1、求不等式一 2x2+x+ 30 的解集.2 2【解析】 化2x+x+ 30,23解方程 2xx 3= 0 得Xi= 1,X2= ,重点知识梳频考点突破1“三个二次”的关系-2 -，3不等式 2xx 30 的解集为（g, 1）U（2，+m）,3即原不等式的解集为（一gi）U（2, +m）.【变式探究】解关于x的不等式ax2 22xax（x R）.【解析】 原不等式可化为皿 2 + 一 2 讴2 龙 0 一1当“二 0 时，原不等式化为 X+1W0,解得 xW-L2当 Q0 时，原不等式化为卜-瓠+1 庐仏解得鼻务技 xW 1.3当处 0 时，

3、原不等式化为&一寻口+1）00.2 2t t_ _ 2 2岂-1“ 即a-2Ba-2B 解得一 lWxW；当彳=一匕即。=一 2 时，解得 x= l 満足题意；专龙当笊一 1,即 23）,解得菇点1.综上所述，当。二。时，不等式的解集为创点-1;当 Q0 时，不等式的解集为中拓 或 rW-l；当一 2a2(a R)的解集【解析】T12x2axa2,.12x2axa2 0,即(4x+a)(3xa) 0，令(4x+a)(3xa) = 0,a a得：Xi= 4,X2= 3.a a1a 0 时，解集为432a= 0 时，x20,解集为x|x R 且XM0;a a3av0 时，一匚，解集为43综

4、上所述，当a0 时，不等式的解集为广aax|xv-或x-43当a= 0 时，不等式的解集为x|x R 且XM0；、”a、a、当av0 时，不等式的解集为x|xv3 或x 4 r高频考点二一元二次不等式恒成立问题23例 2、若一元二次不等式 2kx+kxv0 对一切实数x都成立，则k的取值范围为()8A.( 3, 0 B. 3, 0)C. 3, 0 D.( 3, 0)【答案】D【解析】2kx2kx2 2+ ir-|0 对一切实数 j 都成立，则必有*4如(-知，解之得十皿【变式探究】设函数f(x) =mxmx-1.若对于x 1,3 ,f(x) m+ 5 恒成立，求m的取值 范围.【解析】 要使f

5、(x)3 ；a、a x|xv3或x 4 -4 -mx;j+ 匚 m-60 时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3) ? 7m- 60,6 6 所以m7，所以 0m7;当m 0 时，60 恒成立；当m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1) ?n 60，所以m6,所以no，26 又因为m(xx+ 1) 60,所以mrr.xx+ 1因为函数y6在1,3上的最小值为6，所以只需即可.xx+ 112377x2+4所以，m的取值范围是mm.【举一反三】设函数f(x) mxmx-1( m0)，若对于x 1 , 3 ,f(x)vm+ 5 恒成立, 则m的取值范围是_

6、.【答案】movmv或mv07-5 -【解析】 要使一加+ 5 在1, 3上恒成立，则mxmx1 1- - mx+mx+ m-m-60 时，g在1, 3上是増函数,所以玖 X)mai 二 g(3) =加 W0.所以 x*则 o0,2426又因为m(xx+ 1) 6K0,所以mK丁xx+ 1因为函数y=627xx+ 1- 在1 , 3上的最小值为；，所以只需mK-即可.12377x2 + 4因为m0,所以m的取值范围是” 6 m|0KmK7 或mK0【感悟提升】(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象

7、在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，-6 -7 -求谁的范围，谁就是参数.2 2【变式探究】 若不等式x 2x+ 5a 3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )A.1,4B.(s,2U5,+s)C.(s, 1U4,+s)D.2,5已知函数f(x) =x+mx-1,若对于任意x m m1，都有f(x)v0 成立，则实数m的取值范围是_.【答案】(1)A(2)与,0【解析】 由于启-加+5=。1)却4的最小値対仏所以卡2x+5虫-孔对任意实数扩恒成立 只需护解得一

8、1沁4一二;5数兀C)对于任意还叫朋十1,都有尺x)0成立，卩(m)=討十并一1V0,从!/(用+1=(m+l)2+ m (.rt+n一】6解得_ 證 10260,113化简得 8x2 30 x+ 13W0.解得x .所以x的取值范围是 21【感悟提升】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.-8 -(2) 引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3) 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4) 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【变式探究】某汽车厂上年度生产汽车的投入成

9、本为10 万元/辆，出厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x-200000,即_6000 x2+200(h),即工的范围为(S j).【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集(I)x：1(II) x (山)x-51x x5：2 x1 x5：2 x1x 5：2解(I )得：x 1,解(II )得：1 _ x：4,解(III )得：x,所以，原不等式的解集为 xx 4.故选 A._ _ 22.【2015 高考江苏，7】不等式2x4的解集为1.【2015 高考山东，理 5】不等式

10、 X1 x-5：2 的解集是( )(A) (- , 4)(C) (1, 4)(D) ( 1, 5)-9 -【答案】(_1,2).【解析】由题意得：x2-x：2= _1：x：2，解集为(-1,2).3.(2014 全国卷)设集合M=x|x2 3x 40,N=x|0 x 5，贝UMP N=()A. (0，4 B . 0，4)C. 1, 0) D . ( 1, 0【答案】B【解析】因为 M= x|x2 3x 40 = x| 1x4, N= x|0 x 5，所以MPN=x| 1x4P0wx5=x|0wx4.nx4.(2014 新课标全国卷n设函数f(x) = 3sinm，若存在f(x)的极值点xo满足

11、x2+f(xo)2v吊，则m的取值范围是()A. (s,6)U(6,+s)B. (s,4)U(4,+s)C. (s,2)U(2,+s)D. (s,1)U(1,+s)【答案】C【解析】固数的极值点满足釜孕+瓦 即工二讹+扌)KZ,且极值为士逅 问题等价于存在商使之2 2満足不等式应十另十3曲一因为任十茁的最小值为若所以只要扣成立即可，即屈浊解得心 或*一工、故虑的馭值范围是一卩-2)U(2,(x|x 5 . (2013 安徽卷)已知一元二次不等式f(x)0 的解集为-1x2，则 f(10 x)0 的解集为()A. x|x lg 2B. x| 1x lg 2D. x|x0 的解是1x2 故110

12、x2，解得 x lg 2.6【答案】x| - 2x12【解析】x + x - 2 = (x + 2)(x - 1)0，解得一 2x1.故不等式的解集是x| - 2x0 时，f(x) = x2-4x，那么，不 等式 f(x + 2)5 的解集是.【答案】(-7, 3)【解析】当亞9时，住十十刀空一怒+2)=妙一4,由恥+2)丈5,得疋一45即0外解得一3x3,又时亞故-2x3为所求.又因为躯)为偶函数故恥+勾的图像关于直戸-2对称, 于是心ax,则ill x +1,x0.a的取值范围是()A. ( a,0 B.( a,1C. - 2,1 D . - 2,0【答案】D【解析】：当xax化简为x2-

13、 2xax, 即x2(a+ 2)x，因为xw0,所以a+ 2x恒成立，所以a- 2；当x0 时，f(x) = ln(x+ 1)0，所以|f(x)| ax化简为 ln(x+1)ax恒成立，由函数图象可知aw0,综上，当一 2wawo时，不等式|f(x)| ax恒成立，选择 D.1 .不等式(x-1)(2 -x)0的解集为()A. x|1wxw2B. x|xwi或x2C. x|1x2D. x|x2【答案】 A【解析】 由(x- 1)(2 -x)0可知(x- 2)(x- 1)w0,所以不等式的解集为x|1wxw2.6(2013 广东卷)不等式 x2+ x 20,则不等式f(x) x2的解集为()-1

14、2 -A. 1,1C. 2,1D. 1,2【答案】 A【解析】方法一当却时小十左珀当eO时一工+2込 二01.由得原不等式的解集为側一1业1.方法二 作出函数尸用）和函数尸/的團象如團，由團知用）R 的解集为-口3. 若集合A=x|ax2ax+ 10 = ?，则实数a的取值范围是（）A. a|Oa4B. a|0 a4C. a|0a4D. a|0o,a0时，由*2A =a4a0,得 0aw4,所以 Owaw4.4. 已知不等式x2 2x 30 的解集为 A,不等式x2+x 60 的解集是B不等式x2+ax+b0的解集是AnB,那么a+b等于（）A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】 A【解析】

15、 由题意，A= x| 1x3,B= x| 3x2,AnB=x| 1x2,2则不等式x+ax+b0 的解集为x| 1x0,不等式一cax+bc的解集是x| - 2x1，贝 Ua:b:c等于（）A. 1:2：3B. 2：1：3C. 3：1：2D. 3:2：1【答案】B【解析】T 又A + ccbcb -xx-* *a a a a丁不等式的解集为.小：f：岁許2：1：3-6若不等式mX+ 2mx-42x7 8+ 4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是()A. ( 2,2B. ( 2,2)C. (a,2)U2,+)D. (32【答案】A【解析】原不等式等价于(m- 2)x2+ 2( m- 2)x 40,1当 m= 2 时，对任意x不等式都成立；2当 m- 20 时，= 4( m- 2) + 16( m- 2)0 ,一 2m2,综合，得 m ( 2,2.17【解析】原不等式即(xa)(x-)0,a-15 -7.若 0a0 的解集是_ .a1【答案】x|ax;a-16 -11由 0a1 得a-,.ax0 的解集为x| 2x3,则不等式 2x+bx+a0 的解集是_ .23【答案】 x| 2x3【解析】由题意，知-扌和提一元二次方程么：+加+ 2=0 的两根且 X0,r 1 1b b2 十厂aa所以I 2 解得一7一 I 2 3-/贝 i不等式 2+加+曲)，即 * 2x-121 ,f(