2018年高考数学一轮复习第七章立体几何第45讲立体几何中的向量方法(二)—求空间角和距离实

1、设AB= m贝y QP= PGQG=故当n=彳，即AB=此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为Q0,0,0),故PC=4 (0, .6, 0),2018 年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 45 讲 立体几何中的向量方法(二)一求空间角和距离实战演练 理板块冋/考题集萃*宾战演练1. (2014 江西卷)如图，四棱锥P-ABCDK ABC为矩形，平面PADL平面ABCD(1) 求证：ABL PD(2) 若/BPC=90,PB=.2,PC=2，问AB为何值时，四棱锥RABCD勺体积最大？并 求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.解析：(1)证明：ABCD矩形，故ABL AD又平面PA

2、DL平面ABCD平面PACT平面ABCIAD所以ABL平面PAD故ABL PD过P作AD的垂线，垂足为Q过O作BC的垂线，垂足为G连接PG故PQL平面ABCD BCL平面PQG BCL PG在 RtBPG中PG=233，GC=甘，BG=J333故四棱锥P-ABCD勺体积为因为叫 8 6吊=p8吊一6ITJ=F-ABC啲体积最大.1_62,63，0，0,2设平面BPC勺一个法向量ni= (x,y,1),-存竽y-， 则由ni丄PC ni丄 B得3336y= 0,解得x= 1,y= 0,ni= (1,0,1).同理可求出平面DPC勺一个法向量n2= 0, 2, 1 .从而平面BPC与平面DPG夹角

3、0的余弦值为P-ABCD中,PA!底面ABCDAD/ BC AB= AD= AC=3,PA= BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD N为PC的中点.(1) 证明：MN/平面PAB(2) 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.民冷,0,2. (2016 全国卷川)如图，四棱锥3以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.P(0,0,4),M020) ,Q,5, 2,0),2解析：(1)证明：由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT TN由N为PC的中点知TN/ BC1TN=?BC=2.又AD/ BC故TN綊AM故四边形AMN为平行四边形，于是M/A

4、T因为AT?平取BC的中点E,连接AE由AB= AC得AE丄BC从而AEL AD,且AE= AWBE=由题意知,设n= (x,y,z)为平面PMN勺法向量.可取n= (0,2,1)3. (2016 山东卷)在如图所示的圆台中，AC是 下 底 面 圆O的 直 径 ，EF是 上 底 面 圆0的直径，FB是圆台的一条母线.已知G H分别为EC FB的中点，求证：GH/平面ABC1 已知EF=FB=JAC=2 羽，AB= BC求二面角F-BGA的余弦值.解析：(1)证明：设FC中点为I，连接GI,HI.在厶CEF中，因为点G是CE的中点，所以Gl/EF又EF/ OB所以GI/OB又OB平面ABC GI

5、?平面ABC GI/平面ABC在厶CFB中，因为H是FB的中点，所以HI/BC同理HI/平面ABC又HI n GI=I, 所以平面GHI/平面ABC因为GH平面GHI,所以GH/平面ABC(2)连接OO，贝U OO丄平面ABCPM (0,2 , - 4) ,PN=则厂P昨0,、nPN=0,-4z =0,x+y 2z=0,于是|cosn,ANInAN_ 空In|AN25即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为525,1 , - 2 ,AN=45又AB= BC且AC是圆O的直径，所以BC丄AC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz所以診(2 3, 2 3, 0),过点F作FM垂直OB于

6、点 M 所以FMkFWBM=3,可得F(0 , 3, 3).故BF= (0，3, 3).设mi=(x,y,z)是平面BCF的法向量.-2 羽X-2 風=0,寸 3y+ 3z= 0.由题意得B(0,23, 0) ,C( 2 3, 0,0),可得平面BCF的一个法向量1, 1,因为平面ABC的一个法向量n= (0,0,1),mn所以cosm n=帀厂而所以二面角F-BGA的余弦值为吕.4. (2014 新课标全国卷I)如图，三棱柱ABGABC中，侧面BBCQ为菱形，ABL BC.(1)证明：AC=AB;若ACLAB, /CBB=60 ,AB= BC求二面角AAB-G的余弦值.解析：(1)证明：连接

7、BC,交BC于点O,连接AO因为侧面BBCC为菱形,所以BC丄BC,且O为BC及BC的中点.又ABL B C, ABA BO= B,所以B C丄平面ABO由于AC?平面ABO故B C丄AO又B O= CO故AC= AB.(2)因为ACL AB,且O为B C的中点,BC=0,由T7所以AO= CO又因为AB= BQ所以BOABOC故OAL OB从而OA OB OB两两互相垂直.以O为坐标原点，OB OB, OA勺方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|6B为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系Oxyz因为/CBB=60，所以CBB为等边三角形.又AB= BC OC= OA则A0, 0,申!，政 1,0,0)，Bp 申,0 !，Co，-零 0 !，AB= 0, , -AB=芯 1，0, -设n= (x,y,z)是平面AAB的法向量,nrAB=0,设m是平面ABC的法向量，则I