2019年高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法学案理北师大版

1、4第一节数列的概念与简单表示法考纲传真（教师用书独具）1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）2 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.（对应学生用书第 79 页）基础知识填充1 数列的概念（1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个*数列的项.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N+（或它的有限子集）为定义域的函数an=f（n）,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.（3）函数有三种表示示，它们分别是列表法、图像法和通项公式法.2 数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数

2、无限按项与项间的大小关系分类递增数列nan+1an其中n N+递减数列an+1vanA常数列an+1=an按其他 标准分类有界数列存在正数M使|an|wM摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列3.数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an=f（n）来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数 解析式.（2）递推公式：如果已知数列an的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这 个公式就叫作这

3、个数列的递推公式.知识拓展双基自主测评I梳理自测41 若数列an的前n项和为S，通项公式为an,3352,34.在数列an 中,a1= 1,an= 1 +(-1)an-1n-(nA2)，则a5等于(A.B.C.D.a2= 1 +=2,La1as= 1 +a2S,n=1,an=陋一S-1,n2.anAan-1,2.在数列an中，项an最大，贝yanAan+1.anWan-1,若an最小，则anWan+1.3数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.基本能力自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确

4、的打“V”，错误的打“X”)(1) 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2) 一个数列中的数是不可以重复的.()(3) 所有数列的第n项都能使用公式表达.()(4) 根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()(5) 如果数列an的前n项和为 S,则对任意nN+,都有an+1= S+1-Sn.(答案X(2)X(3)X(4)V(5)V22.已知数列 an 的通项公式为&= n-8n+ 15,则 3()A. 不是数列an中的项/B. 只是数列an中的第2 项C. 只是数列an中的第 6 项D. 是数列an中的第 2 项或第 6 项D 令an= 3,即卩n-8n+

5、 15 = 3,解得n= 2 或 6,故 3 是数列an中的第 2 项或第 6 项.23. 设数列an的前n项和 S=n,则a8的值为()A. 15B . 16C. 49D. 6422A 当n= 8 时，a8=S-S= 8 - 7 = 15.当自变45.(教材改编)数列 1, 3 5, 4, 5，的一个通项公式an是_3579123n由已知得，数列可写成厂；，2，故通项为1352n 1(对应学生用书第 80 页)由数列的前几项归纳数列的通项公1題型1|式卜二写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9，；1 1 1 1(2)- - - 1x22x33x44X51925(3)2，2,2，8

6、，2，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)各项减去 1 后为正偶数，所以an= 2n+ 1.(2) 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数，且奇数项为负，n1偶数项为正，所以它的一个通项公式是an= ( 1)nx,n N+.n(n+ 1)(3) 数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即2a4= 1 +(_ 1)4=a33,a5= 1 +(-1)5=a43.n2n- 1题型分类突破I止514 9 16 25n2, 2，2，2，2，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an=?.555n将原数列改写为 9X9, 9X99,

7、9X999,，易知数列 9,99,999 ,的通项为 10规律方法1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：1 分式中分子、分母的特征.2 相邻项的变化特征.拆项后变化的部分和不变的部分的特征-1 各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来1，故所求的数列的一个通项公式为an=|(10n-.对于6正负符号变化，可用1n或1n+1来调整，可代入验证归纳的正确性跟踪训练(1)已知n N+,给出 4 个表达式:0,n为奇数;1,n为偶数;2n+ 1A(2)n+y(1)检验知都是所给数列的通项公式2X1+1 2X2+1 2X3+1

8、 2X4+1 皿2n+1数列刘的刖 4 项可变形为十+1,22+1,32+1,42+1，故 an=n2+由an与S的关系求通项an已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式：2(1) S= 2n 3n；S= 3n+ b.解(1) a= S= 2 3= 1,Vi/r /当n2时，an=S S-1= (2n 3n) 2(n 1) 3(n 1) = 4n 5,由于a1也适合此等式，an= 4n 5.(2)a1=S= 3+b,r.nn1n1当n2时，an=S S-1= (3 +b) (3 +b) = 2 3.当b= 1 时，a1适合此等式.当bM1 时，a1不适合此等式.当b= 1 时，an=

9、2 3n1；3+b,n= 1,1 + ( 1)nan=1 + cos2an=sin.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()A. B.C. D.379 数列刘的前 4 项是-,1 ,-,-,则这个数列的一个通项公式是2 10 17(1)当b 1 时，an=72 3n1,n2.规律方法已知 S 求 an的三个步骤8 先利用ai=Si求出a.2 用n 1 替换S中的n得出S-1,利用an=SSin沁 便可求出当n2时an的表 达式3看ai是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果 不符合，则应写成分段函数的形式易错警示：利用an=SSn-1求通

10、项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n= 1 致误.跟踪训练(1)(2017 石家庄质检(二)已知数列ad 的前n项和为S，若S=2an 4(nN)，贝Uan=()【导学号：79140166】n+1nA. 2B. 2_ n1n2C. 2D. 2(2)(2015 全国卷n)设 S 是数列an的前 n 项和，且 a = 1, an+1=$+1,贝US1(1) A (2) n(1)由 s= 2an 4 可得S-1= 2an-1 4(n2)，两式相减可得an= 2an2an-1(n2)，即an= 2an-1(n2).又a1= 2a 4,a= 4,.数列an是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，则

11、an= 4X2n1= 2n+1，故选 A.(2)Tan+1=S+1Sn，an+1=SS+1，Sn+1Si=S1S1+1.1S- = 1,即Si+11= 1+(n-1)X(1)= n,由递推关系式求数列的通项公式卜工分别求出满足下列条件的数列的通项公式.(1)a1= 2,an+1=an+ 3n+2(n N+)；n(2)a1= 1,an=an1(n2,n N+)；n- 1(3)a1= 1,an+1= 3an+ 2(n N+).解(1)Tan+1an= 3n+ 2,首项为一 1,公差为一 1 的等差数列.I题型31$+11又S1=1,19anan1= 3n1(n2),10(2)在数列an中，a1=

12、1,an+1= 2nan, 求an.解(1)an= (ana -1) + (an-1an-2)+ + (a2a1) +a1=.十an+1n(2)由于=2 ,ana21a32ann-1故a;=2,a;=2,，aa-1=2,将这n 1 个等式叠乘, an=(anan-1)+(an-1an-2)+，+ (a2ai) +ainq(n2) 1当n= 1 时，a1= (3x1+ 1) = 2 符合公式,32n. an=+g.(2)当n2,n Nk时,a2a3anan=a1x xx xa132an-1n2n-1nn3Xn2Xn- 1 =n,当n= 1 时，也符合上式,该数列的通项公式为an=n.an+1= 3an+ 2 ,an+1+ 1 = 3(an+ 1),又a1= 1, a1+ 1 = 2,故数列an+ 1是首项为 2,公比为 3 的等比数列,an+1=2*31,因此 an=2*311.规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法a1，且anan1=f n，可用“累加法”求1 已知an.2 已知ann，可用“累乘法”a1a1/0,且an-1求ana1，