第4章空间力系

1、2 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。迎 面风 力侧 面风 力b第四章第四章 空间力系空间力系 41 空间汇交力系空间汇交力系 42 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的矩 43 空间力偶系空间力偶系 44 空间一般力系向一点的简化空间一般力系向一点的简化 主矢主矢 和主距和主距 45 空间一般力系的平衡方程及应用空间一般力系的平衡方程及应用 46 重心重心 习题课习题课 4一、力在空间轴上的投影与分解一、力在空间轴上的投影与分解： 1.1.力在空

2、间的表示力在空间的表示： 力的三要素： 大小、方向、作用点(线) 大小：大小： 作用点作用点：力作用在物体的哪点就 是哪点。 方向方向： 由、g三个方向角确定 由仰角与俯角来确定。gFxyOFF 4-1 4-1 空间汇交力系空间汇交力系52、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）由图可知：g cos, cos, cosFZFYFXgcoscoscoscossinFFFXxygsincossinsinsinFFFYxygsincosFFZ3、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即64、力

3、沿坐标轴分解、力沿坐标轴分解： 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： zyxFFF,zyxFFFF222ZYXFcos,cos,cosXYZFFFgkZFjYFiXFzyx,而：kZjYiXF所以：FxFyFz7 1、几何法、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和inFFFFFR3212、解析法、解析法： 由于 代入上式合力由 为合力在x轴的投影， kZjYiXFiiiikZjYiXRiiiiXxiRXyiRYziRZ二、空间汇交力系的合成二、空间汇交力系的合成：83、合力投影定理、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于

4、各分力在同一轴上投影的代数和。222222)()()(:ZYXRRRRzyx合力cos,cos,cosyxzRRRRRRg9三、空间汇交力系的平衡：三、空间汇交力系的平衡： 0X0Y0Z 称为平衡方程称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程解析法解析法平衡充要条件为：几何法几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭力多边形封闭。0iFR空间汇交力系平衡空间汇交力系平衡的充要条件是：的充要条件是：力系的合力为零，力系的合力为零，即：即：10 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 例例 汽车反镜的球铰链4-2 4-2 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的

5、矩一、力对点的矩的矢量表示一、力对点的矩的矢量表示面积AOBdFFmO2)(如果r 表示A点的矢径，则：11即：力对点的矩等于矩心到该力力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。作用点的矢径与该力的矢量积。()sin( ,)(,)OOrF mFr FFdmFrF21 kZjYiXF由于kzj yi xrZYXzyxkjiFrFmO)( )( )( )()()()OxOyOzmFimFjmFyZzY izXxZ jxYyXkk两矢量夹角为O12定义：定义：它是代数量，方向规定 + 的面积2)()(BOAdFFmFmxyxyOz二、力对轴的矩二、力对轴的矩结论结论：力对平行它的轴力对平行

6、它的轴的矩为零。即力的矩为零。即力F与轴与轴共面时，力对轴之矩为共面时，力对轴之矩为零。零。)()()()(xyOxyzzzzFmFmFmFm证证力对力对/它的轴的矩为零。即力它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴之矩为零。14即：)(cos)(FmFmzOg)()(FmFmzzO三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于AOBFmO2)(证证2)()(BOAFmFmxyzz通过O点作任一轴Z，则：cosBOAOABg由几何关系：2cos2BOAOABg所以：15 定理定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等

7、于这力力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 ()()()cos,cos,cos()()()yxzOOOmFmFmFmFmFmFg222)()()()(FmFmFmFmzyxOkFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于所以力对点O的矩为：164-3 4-3 空间力偶系空间力偶系 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。一、力偶矩用矢量表示：一、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为右手螺

8、旋定则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。空间力偶是一个自由矢量。17 证证 作II/，cd / ab 作一对平衡力R, R (在E点,且 使-R=R) 由反向平行力合成得： F1与R合成得F2，作用在d点 F1与R合成得F2，作用在c点 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 在I内的力偶（F1，F1）等效变成II内的（ F2， F2 ） 二、空间力偶的等效定理二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。18由此可得出，空间力偶矩是自

9、由矢量空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素： 力偶矩的大小力偶矩的大小= 力偶矩的方向力偶矩的方向与力偶作用面法线方向相同 转向转向遵循右手螺旋规则。m三、空间力偶系的合成与平衡三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和19niinmmmmmm1321mmmmmmmmmmzyxzyxgcos,cos,cos;2220imm显然空间力偶系的平衡条件是：投影式投影式为：0 xm 0ym 0zm 20 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把

10、平面坐标系扩充为空间坐标系。 4-4 4-4 空间一般力系向一点简化空间一般力系向一点简化 主矢和主距主矢和主距nFFFF321, 设作用在刚体上有空间一般力系向向O点简化点简化（O点任选）点任选）一 空间一般力系向一点简化空间一般力系向一点简化 21根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系： 和附加力偶系 注意 分别是各力对O点的矩。由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。, , 321nFFFFnmmm,2112,nm mm22合成 得主矢即（主矢 过简化中心O， 且与O点的选择无关）合成 得主矩即： （主矩 与简化中心O有关）123 ,nFFFFRiiFFRR12,nm m

11、mOM)(iOiOFmmmOM23若取简化中心简化中心O点为坐标原点，则： 主矢大小主矢大小 主矢方向主矢方向 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: 则主矩大小主矩大小为： 主矩方向主矩方向：222222)()()(ZYXRRRRzyxcos,cos,cosRZRYRXg()(); ( )( ); ( )( )OixxiOxOyOyyOzOzzmFm FmmmFmFmmFm F222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cosg24 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。1 1、若 , 则该力系平衡平衡（下节专门讨论）。0,

12、0ORM2 2、若 则力系可合成一个合力偶合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关0,0ORM3 3、若 则力系可合成为一个合力合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）0,0ORMRRR 二二 主矢和主矩主矢和主矩:25 4 4、若 此时分两种情况讨论。即： OMR OMR / 0, 0OMR,OOOiMMMR ddRFRR合力若时ORM)(dRMO可进一步简化，将MO变成( R, ,R)使R与R抵消只剩下R。由于做26若 时，为力螺旋的情形为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）例例 拧螺丝 炮

13、弹出膛时炮弹螺线/ORMR不平行也不垂直M0，最一般的成任意角 在此种情况下，首先把MO 分解为M/和M 将M/和M 分别按、处理。27M 使主矢R搬家，搬家的矩离：sinRMRMOOO所以在O点处形成一个力螺旋点处形成一个力螺旋。因为M/ / 是自由矢量，可将M/搬到O处M/不变， 28力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R， M/简化中心为O时：为M 当简化中心为O时，为M 但M/总是不变的（它是它是 原力系中的力偶与简化原力系中的力偶与简化 中心无关中心无关） 注意注意29)(RmROOMMOO()OOiMmF又主矩( )()OOiMRmF)()(izzFmRM常用投影式 空间力系

14、向O点简化后得主矢R和主矩MO , 若MO R，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力R 。空间力系的合力矩定理空间力系的合力矩定理：30 一、空间任意力系的平衡充要条件是：一、空间任意力系的平衡充要条件是：0)(iOOFmM00FR222)()()(ZYXR又222) )() )() )(FmFmFmMzyxO所以空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。0)(, 00)(, 00)(, 0FmZFmYFmXzyx4-5 4-5 空间一般力系的平衡方程空间一般力系的平衡方程31空间汇交力系的平衡方程为空间汇交力系的平衡方程为：因为

15、各力线都汇交于一点，各轴都通过因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。该点，故各力矩方程都成为了恒等式。000ZYX空间平行力系的平衡方程，设各力线都空间平行力系的平衡方程，设各力线都 / z 轴轴。 因为因为 均成为了恒等式。均成为了恒等式。0)(0)(0FmFmZyx000)(YXFmz32 例例 二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力

16、偶。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。1、球形铰链、球形铰链334、带有销子的夹板、带有销子的夹板 5、空间固定端、空间固定端2、向心轴承，蝶铰链、向心轴承，蝶铰链 3、止推轴承、止推轴承 34滚珠（柱）轴承滚珠（柱）轴承 2、向心轴承，蝶铰链、向心轴承，蝶铰链35滑动轴承滑动轴承止推轴承止推轴承36带有销子的夹板带有销子的夹板空间固定端空间固定端37 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 4-6 4-6 重心重心一、空间平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心1 1、平

17、行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理：)()(iOOFmRmnnCFrFrFrRr2211380110,RRP FFP令1 12 2Cn nRrFrF rF r1 12 2i in nCiFrFrF rF rrRFRzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , :投影式39如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理： CiiP xP x,iCiCiCPxxPPyyPPzzP物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n )，常用积分法求物体的重心位置。二、重心坐标公式二、重心坐标公式：40设g gi表示第i个小

18、部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：式中 ，上式为重心重心C 坐标的精确公式坐标的精确公式。 ,VVVCCCx dVy dVz dVxyzPPPgggiiiVPgVdVPg对于均质物体，g =恒量，上式成为：,VVVCCCx dVydVz dVxyzVVV同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。41 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：PzPzzPPziiCiiC ,综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可

19、得质心公式,iiiiiiCCCm xm ym zxyzMMM42 同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：,:iiiiiiCCCV xV yV zxyzVVV立体,:iiiiiiCCCAxA yAzxyzAAA平板,:iiiiiiCCCl xl yl zxyzlll细杆解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段ddLR2dcosd 2LCxLxLRRsinCRx下面用积分法求物体的重心求物体的重心实例实例：例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。O cosxR44三、重心的求法三、重心的求法： 组合法112212 6.4cmiiCA yyAS y

20、S ySS由解解：cm248 cm4 21 ,80cm212 221)R(y,y,RSS 求：该组合体的重心？已知：450)(FmB由01CxPlP称PlPxC1称简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。实验法： 悬挂法称重法46例例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？(Q力作用在C轮的最低点）和轴承A , B的约束反力？解解：选研究对象 作受力图 选坐标列方程最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。47)N(746, 010050; 0)N(352, 0; 0QQPmPYPYYxzyyAyA由48

21、)N(385 , 020sin ; 0)N(2040 , 020sin 50300200 ; 0)N(729 , 020cos ; 0)N(437 , 020cos 5020050300 ; 00000AzBABzBxAxBABByxzZQPZZZZQPZmXQPXXXXQXPPmAA49方法方法(二二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。50 一、概念及内容一、概念及内容： 1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量， 2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对

22、点之矩是代数量。 3、空间力系合力投影定理合力投影定理： 4、空间力系的合力矩定理合力矩定理： 5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系空间力对点之矩与对轴之矩的关系： , ( )oMm F,xiyiziRX RY RZ( )()ooim Rm F:( )()zzim Rm F投影式( )( )ozZm Fm F 第四章第四章 空间力系空间力系习题课习题课51二、基本方程二、基本方程 1、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程空间一般力系空间一般力系空间汇交力系空间汇交力系 000ZYX空间力偶系空间力偶系000000zyxmmmZYX000zyxmmm空间空间x轴力轴力系系000zymmX00000

23、zyxmmmYX空间空间xoy 面的面的力力系系000000 xzyxmmmmYX四矩式四矩式、 五矩式和六矩式的附加条件五矩式和六矩式的附加条件均 为使方程式独立。52三、解题步骤、技巧与注意问题三、解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤解题步骤： 选研究对象 (与平面的相同) 画受力图 选坐标、列方程 解方程、求出未知数 2、空间力系的几个问题、空间力系的几个问题：x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的 六个轴。取矩方程不能少于三个（MO是矢量）空间力系独立方程六个（空间物体六个自由度） 平面三个自由度空间力系中也包括摩擦问题。53 2、解题技巧解题技巧： 用取

24、矩轴代替投影轴，解题常常方便 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交 一般从整体局部的研究方法。 摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。3、注意问题：注意问题： 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。 求物体重心问题常用组合法。 对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。54例例1 已知已知:P=2000N, C点在Oxy平面内求：力求：力P对三个坐标轴的矩 60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解解：选研究对象；画受力图；选坐标列方程。55( )()()()6( 5)06 cos45 sin605 cos45 cos6038.2(N m)xyzzzzzxym Pm Pm Pm PPPPP ( )()()()0066 sin4584.8(N m)xyzxxxxzm Pm Pm Pm PPP ( )()()()0055 sin4570.7(N m)yxyzyyyzmPmPmPmPPP 56 例例2 已知