第2章控制系统的数学描述-V12(1)

1、数学模型：数学模型：描述系统输入、输出变量及内部变量之间因果关系的数学表达式。描述系统输入、输出变量及内部变量之间因果关系的数学表达式。 建立数学模型的方法有两种：建立数学模型的方法有两种：解析法：解析法：分析系统各环节运动机理，按照其遵循的物理化学规分析系统各环节运动机理，按照其遵循的物理化学规律列写输入输出变量之间关系的数学表达式。律列写输入输出变量之间关系的数学表达式。实验法：实验法：对系统输入某种测试信号，记录系统或各环节输出变对系统输入某种测试信号，记录系统或各环节输出变量的运动响应。通过数据处理选择一种数学模型可以近似地表示量的运动响应。通过数据处理选择一种数学模型可以近似地表示这

2、种响应，该过程称为系统辨识。这种响应，该过程称为系统辨识。控制系统描述公式描述图形描述微分方程可以描述被控量（系统输出）和给定量（系统输入）微分方程可以描述被控量（系统输出）和给定量（系统输入）或扰动量（扰动输入）之间的函数关系。或扰动量（扰动输入）之间的函数关系。通过对微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系统稳定通过对微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系统稳定性、变量动态响应轨迹等性能。性、变量动态响应轨迹等性能。 2.1 控制系统的微分方程描述控制系统的微分方程描述)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxd

3、m2.1.1 建立微分方程建立微分方程 建立控制系统的微分方程，需要了解整个系统的组成环节建立控制系统的微分方程，需要了解整个系统的组成环节和工作原理。和工作原理。列写微分方程的一般步骤如下列写微分方程的一般步骤如下： 分析元件的工作原理和在系统中的作用，分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，按工作条件忽略一些次要因素，并考

4、虑相邻元件的彼此影响，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。消去中间变量消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程即系统的数学模型。即系统的数学模型。例例 2.1.1 电气系统电气系统w 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。组成的电路，又称电气网络。w

5、仅由电阻、电感、电容仅由电阻、电感、电容(无源器件无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器果电气网络中包含运算放大器(有源器件有源器件)，就称为有源网络。，就称为有源网络。例例 由电阻由电阻R、电感、电感L和电容和电容C组成无源网络。组成无源网络。 ui输入，输入，uo输出，求微分方程。输出，求微分方程。LCui(t)uo(t)i(t)+R( )( )odu ti tCdt)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo消去中间变量消去中间变量i (t )，可得，可得)()()()(22tutudttduRCdttudLC

6、iooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm( )( )( )( )oidi tLRi tututdt解解 设回路电流为设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到式中式中i ( t )是中间变量。是中间变量。 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。角位移）两种。例例 一个由弹簧一个由弹簧-质量质量

7、-阻尼器组成阻尼器组成的机械平移系统如图所示。的机械平移系统如图所示。m为物为物体质量，体质量，k为弹簧系数，为弹簧系数，f 为粘性为粘性阻尼系数，外力阻尼系数，外力F(t)为输入量，位为输入量，位移移x(t)为输出量。为输出量。列写系统的运动方程。列写系统的运动方程。 例例2.1.2 机械系统机械系统xmFkf解解 在物体受外力在物体受外力F的作用下，质量的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力。设外作用力F为输入量，位为输入量，位移移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关

8、为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在系和牛顿第二定律，可列出作用在m上的力和加速度之间的关系上的力和加速度之间的关系为为 )()()()(22tFtkxdttdxfdttxdmkxdtdxfFdtxdm22xmFkk和和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的 例如上述RLC

9、串联网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统相似系统Raei(t)LaiaemTJfif=常数)(to P13 图2-4 电枢控制 直流电动机 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机电机电枢输入电压电机输出转角电枢绕组电阻电枢绕组电感流过电枢绕组的电流电机感应反电动势电机转矩电机及负载折合到电机轴上的转动惯量电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数例例2.1.3 机电系统机电系统 反电势常数反电势常数其中，其中，根据电磁感应定律，有根据电磁感应定律，有

10、KKeeoemdttdt 2o2odttdJdttdftT ，有，有根据牛顿第二定律定律根据牛顿第二定律定律 tdttditteLiRemaaaai 根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律，有有Raei(t)LaiaemTJfif=常数)(to P13 图2-4 电枢控制 直流电动机 电机力矩常数电机力矩常数其中，其中，作用定律，有作用定律，有根据磁场对载流线圈的根据磁场对载流线圈的KiKTaTttT 将上面四个方程联立，可得 tdttdadttJfdttJeKKKfRdRLdLiToeT2o2aa3o3a tdttdadttJeKKKfRdRiToeT2o2a 化为：化为：若忽略电枢电感，可简若忽

11、略电枢电感，可简考虑到考虑到: :dtd)(teKdtdTimm可将上式改写成可将上式改写成 可知：对于同一个系统，若从不同的角度研究问题，则所得出可知：对于同一个系统，若从不同的角度研究问题，则所得出的数学模型式不一样的。的数学模型式不一样的。 电机时间常数电机时间常数 电机传递系数电机传递系数)/()/(TeaTmTeaamkkfRkKkkfRJRT tdttddttJeKKKfRdRiToeToaa22 注：注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。项写在方程的右边，与输出量有关

12、的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。单输入、单输出系统微分方程的一般形式： mntxtxtttxtxttimimmmononnnbbxbxbaaxaxaiioo其中： 11101110 实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。的非线性，如下图所示。放大器饱和 电机死区 齿轮间隙 继电器开关特性2.1.2 2.1.2 非线性系统的线性化非线性系统的线性化严格讲：严格讲：所有系统都是非线性的所有系统都是非线性的尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原

13、理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。线性化条件：非线性因素对系统影响很小系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性化，求其增量增量方程 不是各个变量的绝对数量，不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离平衡点的量而是它们偏离平衡点的量y=f(r)r元件的输入信号，元件的输入信号，y元件的输出信号元件的输出信号0r0r0+ry0y0+yyAB略去高次项，略去高次项，00220002( )1( )( )()()2!r rr rdf

14、rd f ryf rrrrrdrdr000( )()r rdf ryyrrdr设原运行于某平衡点（静态工作点）设原运行于某平衡点（静态工作点）A A点：点：r=r0 , , y=y0 , ,且且y0=f(r0)B B点：点：当当r变化变化 r， y=y0+ + y函数在（函数在（r0 , , y0 ）点连续可微，在）点连续可微，在A A点展开成泰勒级数，即点展开成泰勒级数，即0( ),r rdf rKdryK r )(to mTi(t)P15 图2-5 单摆l 22sindttdmltmgoo：根据牛顿第二定律，有 !5!3sin 0sin 53oooooo 台台劳劳级级数数展展开开，得得：附

15、附近近用用在在将将 单摆 sin oo 忽忽略略高高阶阶小小量量，则则 0 22tmgdttdmloo线性化步骤：线性化步骤：找出找出静态工作点静态工作点（工作点不同，所得方程系数也不同）（工作点不同，所得方程系数也不同）在工作点附近展开成在工作点附近展开成泰勒级数泰勒级数略去高阶项，得到关于增量的略去高阶项，得到关于增量的线性化方程线性化方程作业习题：2-1(1)(2) 时域微分方程复变函数代数方程拉氏变换拉氏反变换l一种解线性微分方程的简便方法一种解线性微分方程的简便方法l分析工程控制系统的基本数学方法分析工程控制系统的基本数学方法2.2.1 拉氏变换定义对于函数 ，满足下列条件 tx 正

16、正实实数数，其其中中、 dttxet02 续续。在在每每个个有有限限区区间间分分段段连连时时，当当时时，、当当txttxt0 ;001 dttxtxLsXsXtxest0 的的拉拉氏氏变变换换为为则则可可定定义义象函数原函数复变量 量纲 1tsj例2.2.1 单位阶跃函数 t1 00101,ttt ssdtttLeestst101110 0t1例2.2.2 指数函数 tet1 ssdtdtttLeeeeetstssttt10111000t1sinjcos sinjcos eejj根据欧拉公式： 的的结结果果。可可利利用用tLet1 t1tcost1tsin.2.32和余弦函数正弦函数例 2co

17、s2sineeeejjjjj 则则 2222222221)(211121 121sinsjsjjjsjsjsjjsjsjtjLttLeetjtj 221121 121cos ssjsjstLttLeetjtj同理：同理：例2.2.4幂函数 ttn1 ！则设n)n(ndxexn0)x(d)e()e(x)e(dxdxexdxex)1n(dxex)( 0 x1n 0 nx0 xn 0 xn 0 xn 0 x11n 0 x10t1n1n 0 xn1nst 0 nns!ns)1n(dxexs1dtet)t ( 1t Ldxs1dtsxt,stx根据定义有则令应记住的一些简单函数的拉氏变换 12222 1

18、 1cos 1sin-s1 1s1 1 nntsn!tssttsttttte 象函数象函数原函数原函数2.2.2 拉氏变换的性质及应用叠加性质微分定理积分定理衰减定理延时定理初值定理终值定理时间比例尺改变的象函数tx(t)的象函数10 的象函数 ttx )(11 周期函数的象函数12 卷积分的象函数叠加性质叠加性质 则设 ,st stXxXx2211LL 积分的性质易得出。根据拉氏变换的定义和为常数。、basbSatbtaXXxxL2121 sbsadtetbdtetadtetbdtetadte tbtatbtaXXxxxxxxxx21 0 st2 0 st1 0 st2 0 st1 0 st

19、2121L 0 xsXstxdtdL微分定理微分定理dttdxLssxdtedttdxssxtdxsesetxesdtxdtetxtxLststststst)(1)0()(1)0()()()1()()()(00 0 00 0 xsXstxdtdL微分定理微分定理 00001221nnnnnnnxsxxsxssXsdttxdL sXsdttxdLxxxxnnnnn 0000012若：两个重要推论： 1210000 0nnnnnnnntnfffF sLf tdtssssff tdt 式中，符号积分定理积分定理 110 fF sLf t dtftf t dtss其中 12 0000 nnnnfffF

20、 sLf tdts 若两个推论：两个推论：4 衰减定理 sXtxLet 2222cos cos : cos sstLsstLtLeett已知已知解解求求例：例：原函数原函数衰减衰减，象函数，象函数超前超前Step1、找出简单函数；、找出简单函数；Step2、套用性质；、套用性质；5 延时定理 sFttfLes 100 ttf1 ttf1原函数原函数滞后滞后，象函数，象函数衰减衰减求求其其拉拉氏氏变变换换。，例例：已已知知)6t ( 1)32t(4sin)( tfs62222e2s24) s (Fs tsinL ，则则已已知知注意注意：f(t)表达式里所有的表达式里所有的 都要延时！都要延时！S

21、tep1、找出简单函数；、找出简单函数；Step2、套用性质；、套用性质；6 初值定理 ssXtx limlims0t)(lim)(lim)0(lim)(lim0)0()(lim)(lim)0()()()(000ssXtxxssXxssXdtedttdxxssXdtedttdxdttdxLstsssstsst0sin 220limlim sstst求求例例：)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0(lim)(lim)()0()(lim)(lim)0()()()(000000000ssXtxxssXxtxxssXdtdttdxxssXdtedttdxxssXdtedttdxdtt

22、dxLststsssstsst终值定理 ssXtxstlimlim0 平面。的极点全在左半即有稳态解，的终值存在，即使用条件： s sXtxtx无终值。平面。在虚轴上，而不在左半的极点求例： tsin s js stsinL tsin 22tlim)()()()()()(,000asaXwaXdexadaexdteatxatxLwasatwwst8 时间比例尺改变的象函数 asaXatxL2222221)2(21 2sin)( sin 2sin ssFtLsFstLtL求例： 9 tx(t)的象函数 dssdXttxL)()(nnnndssXdtxtL)() 1()(10 的象函数 ttx )

23、(10 的象函数 ttx )(sdssXttxL)()(11 周期函数的象函数 txTtx 设设： dtetxetxLstTsT 011则则：12 卷积分的象函数 sYsXtytxL dytxtytxt0例2-1 求单位脉冲函数的象函数 00000 , 0 0 ,1lim0tttttttt或或 0t0t01 t 0000000111lim11lim00tttttttttttt 解解： 1! 21111lim 111lim22000000000 stststessttLtstt 例 求象函数 )( 16132cos4)(5tetttft 1)( 1 22cos22stLsstL)( 161)6(

24、2cos4)( 16132cos4)(55tetttetttftt 51 24)(226ssestfLs作业习题：2-3(1)(2) 2.2.3 拉氏反变换 sXLtx1 简记为：时域微分方程复变函数代数方程拉氏变换拉氏反变换 dssXjtxestjj21 :公式拉氏反变换方法：利用拉氏变换表利用部分分式展开法，然后再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质控制系统象函数的一般形式： 将分母因式分解后，包括三种不同的极点情况，采用部分分式法进行拉氏反变换 mnsssXaasasbbsbsbnnnnmmmm 1111110使分子为零的S值称为函数的零点使分母为零的S值称为函数的极点三种不同的极点情

25、况只含有不同单极点情况只含有不同单极点情况含有共扼复极点情况含有共扼复极点情况含有多重极点情况含有多重极点情况1、只含有不同单极点情况： nn1n1n2211n21m1m1m1m0n1n1n1nm1m1m1m0psapsa psapsa ssss mn sssXpppbbsbsbaasasbbsbsb对分母分解因式再分解为部分分式 pkskkkkpssXa psa上的留数，为极点 t1aaasFLtxeeetpntp2tp11n21 的拉氏反变换求例 2s3s3ssX 6 . 2 . 22 2sa1sa2s1s3s 2s3s3ssX21212s2s1s3sa21s2s1s3sa2s21s1 2

26、112 sssX teetxtt122 -即含有不可因式分解的二次因式即含有不可因式分解的二次因式 待定系数法待定系数法 将不可分解的二次因式做为一项分解为将不可分解的二次因式做为一项分解为:21221dsdsese 将右边的部分分式通分将右边的部分分式通分,按分子分母对应项系数相按分子分母对应项系数相等的原则得到关于待定系数的方程组等的原则得到关于待定系数的方程组,求解即可求解即可.21221dsdsese 的原函数求法的原函数求法配方配方,利用利用 22)()( 1sin stteLt 22)()( 1cos sstteLt2 2、含有共扼复极点情况：、含有共扼复极点情况：sss1sL 7

27、 . 2 . 2231例 sassasassssssss32212231111 1 1 01 332313323221 aaaaasasasasasa有有：通通分分、比比较较系系数数1 012 aa1-10 111 223ssssssss sssssssssss12321233323212112321332321112222222 )(1123sin3323cos)(2121ttttxeett3、含有多重极点情况： lllmmmmnnnnmmmmpspspspspspspspsbsbsbsbmnasasasbsbsbsbsX 221111112111101111110其中 的求法： 11111

28、1111111!11!1pspsjjjpspspssXdsdpssXdsdjpssXdsdpssX k 32111s3s2sLsXL: 8 . 2 . 2求例 1111321223332sssssssX 12s2dsd213s2sdsd!2102s23s2sdsd21s1s3s2s1s1s22211s1s221s3323 其中：其中： ttxsssXeettt1 111223即： 的的拉拉氏氏反反变变换换求求例例)1()2(3: 2 ssssX 1221122 scsssX 解解： 2 1 222)( sssX2 13 sss 2222123 sssss 1 213 sssdsd22)1()3

29、()1( ssss2 1c 11)( sssX 1223 sss2 1222212 ssssX tx )( 12222teetettt 作业2-4(1)(3) 用拉氏变换解微分方程的步骤：用拉氏变换解微分方程的步骤：1.对微分方程进行拉氏变换，转换成以象对微分方程进行拉氏变换，转换成以象函数为变量的代数方程；函数为变量的代数方程；2. 解代数方程，求出象函数表达式；解代数方程，求出象函数表达式；3. 作拉氏反变换，求出微分方程的时间解。作拉氏反变换，求出微分方程的时间解。 s6sY60yssY50y0sysYs2 解解： 20, 20y 665 82 yyyy 其其中中：解解方方程程例例 3s

30、42s5s13s2ss6s12s2sY20y,22 代入，并整理，得代入，并整理，得将将0y t3t2e4e51ty 作业2-5 传递函数传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身的参数描是在拉氏变换基础上，以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式。表达了述的线性定常系统输入量与输出量的关系式。表达了系统内在的固有特性，而与输入量或驱动函数无关。系统内在的固有特性，而与输入量或驱动函数无关。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。2.32.3控制系

31、统的传递函数描述控制系统的传递函数描述1. 定义定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函传递函数数，记为，记为G(s)，即：，即： ( )( )( ) ( )( )L y tY sG sL r tR s意义意义：( )( ) ( )Y sRGss( )Y s)(sG( )R s 传递函数的求法传递函数的求法 线性定常系统（环节）的一般表达式线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件零初始条件）1110111101( )( )( ).( )( )( )( ).( )n

32、nnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt11101110. ( ). ( )nnnnmmmma sasa sa Y sb sbsbsb R s11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsbsbY sG sR sa sasa sa当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为( )1( )( )1oiUsG sU sRCs例例2.9 求图示求图示RC电路的传递函数，其中电路的传递函数，其中ui(t)是输是输入电压，入电压， uo(

33、t)是输出电压是输出电压 ( )( )( )ooidutRCututdt(1)( )( )oiRCsUsU s解解 由基尔霍夫电压定律可得由基尔霍夫电压定律可得iCiuouR2. 关于传递函数的几点补充说明关于传递函数的几点补充说明 （1）传递函数只适用于线性定常系统。）传递函数只适用于线性定常系统。 （2）传递函数表达式中各项系数的值完全取决于）传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数，并且与微分方程中各导数项的系统的结构和参数，并且与微分方程中各导数项的系数相对应。系数相对应。 （3）实际系统传递函数中分母多项式的阶数）实际系统传递函数中分母多项式的阶数n总总是大于或等于分子

34、多项式的阶数是大于或等于分子多项式的阶数m ，即，即nm。通常。通常将分母多项式的阶数为将分母多项式的阶数为n的系统称为的系统称为n阶系统。阶系统。 （4）传递函数只能表示单输入、单输出的关系。）传递函数只能表示单输入、单输出的关系。1110111011.()( )( )( )().mimmmmnnnnignjjszMb sbsb sbsG sKNa sasa sssap上式中上式中 Kg零极点形式传递函数的根轨迹增益零极点形式传递函数的根轨迹增益 ； -zi 分子多项式分子多项式M(s)=0的根，称为的根，称为零点零点； -pj 分母多项式分母多项式N(s)的根，称为的根，称为极点极点。wN

35、(s)=0是控制系统的特征方程式。是控制系统的特征方程式。zi、pj可为实数、虚可为实数、虚数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。数。（5）零极点表示法）零极点表示法（6）时间常数表示法）时间常数表示法 上式中上式中 i分子各因子的分子各因子的时间常数时间常数 ； Tj分母各因子的分母各因子的时间常数时间常数 ； K 时间常数形式传递函数的增益；通常称为时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。传递系数。11101110.(.)mmmmnnnnb sbsb sba sasa saG s1011110111(1)11(1)

36、mmmimminnnnnjjsbd sdsd sKac scsc sT s121211221122)2()()2()()(njnlllljmimkkkkivgsspssszssKsG122111221221) 12() 1() 12() 1()(njnlllljmkkkkmiivsTsTsTssssKsG121222nvnnmmm一般形式一般形式 一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别械的，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的

37、。很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，如果我们从数学的表达式出发，一般可将一个复杂的系统分一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。函数来，以便于分析及研究复杂的系统。 控制系统中常用的典型环节有，控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、比例环节、惯性环节、 微分环节、微分环节、 积分环节和振荡环节等。积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传以下介绍这些环节的传递函数及其推导。递函数及其推导。 2.3.2 典型环节及其传

38、递函数典型环节及其传递函数( )( )( )(y tKr tG sK微方：传递函数：增益、放大系数）方框图：方框图：K( )R s( )Y s1. 比例环节（放大环节）比例环节（放大环节） 特点特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机作为测量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节。以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节。例例2-9

39、_ + ui(t) uo(t) R1 R2 1212121221 )(00RRKRRsUsUsGsURRsUtuRRtuRtuRtuioioiooi拉氏变换后有( )1( )( )1Y sG sR sTs传递函数：方框图：方框图：1/(Ts+1)( )Y s( )R s( )( )( )dy tTy tr tdt一阶微方：2. 惯性环节惯性环节 特点特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟的时间也越长。节的惯性越大，则延迟的时间也越长。

40、例例2-11 无源滤波电路无源滤波电路 ui(t) uo(t) R C i(t) )( 11)() 1 )(1)(1)()(1)(1)(TRCRCSsUsUsGsURCSsUsICssUsICsRsIsUdttiCtudttiCRtituiooioioi则（消去中间变量得1111)()(1RCscsRcssUsULscsRio、阻抗分别为：电阻、电容、电感的复利用复阻抗的概念： sDsXsKXsKXdttdxDtxtxKooiooi 11sKDKDsKsXsXsGio例2-12弹簧-阻尼系统1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2T3T4T5Tr(t)ty(t

41、)例例 设 输 入 信 号 为 单 位 阶 跃 信 号 ， 其 拉 普 拉 斯 变设 输 入 信 号 为 单 位 阶 跃 信 号 ， 其 拉 普 拉 斯 变换换 ，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为ssR1)(TsssTssY111111)(01)(tetyTt在单位阶跃输在单位阶跃输入信号的作用入信号的作用下，惯性环节下，惯性环节的输出信号是的输出信号是指数函数。当指数函数。当时间时间t=(34)T时，输出量才时，输出量才接近其稳态值。接近其稳态值。 微分环节 理想微分环节 KssXsXsGsKsXsXtxKtxKssGioioio KsssUsGsKssUt

42、Ktuioioio 永磁式直流测速机近似微分环节 1TsKTssG 11 RCsRCsCsRRsssGUUiouiuoRC1 KRCT其其中中：特点：特点：输出正比于输入对时间的积分。输出正比于输入对时间的积分。4. 积分环节积分环节( )( )1( )tr t dtG ss微分方程：y传递函数：方框图：1/s( )Y s( )R s例例 积分调节器电路积分调节器电路 在单位阶跃输入信号的作用下，输出量的拉普拉斯变换表在单位阶跃输入信号的作用下，输出量的拉普拉斯变换表达式为达式为21( )( ) ( )Y sG s R ss( )y tt输出量随时间成正比地无限增加输出量随时间成正比地无限增加

43、 R( )y t( )r tAC4. 二阶振荡环节二阶振荡环节222221( )2121nnnnG sT sTsssT传递函数为时：间数(=常(=常) )01n为自然角频为荡环节率率，阻阻尼尼比比，表表示示振振。222( )( )2( )( )d y tdy tTTy tr tdtdt微分方程：方框图：方框图：2222nnnss( )R s( )Y s 振荡环节阶跃响应振荡环节阶跃响应例例 无源无源RLC网络，输入网络，输入r(t) ， 输出输出y(t) 。LRLCRCTLCTnn/2)/(1222解：221( )11/()/1/()G sLCsRCsLCsRs LLC21/()/22nTLC

44、R LCLLCR LCR LLCL( )y t)(tiLRC( )r t6. 延迟环节延迟环节( )()( )sy tr tG se微分环节：传递函数：方框图：方框图：se( )R s( )Y s( )r t( )y ttt00将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：2211( )112!ssG seess当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：1( )1sG ses特点特点： 1、输出和输入相同仅延迟时间、输出和输入相同仅延迟时间；不失真；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液

45、压机械传动、气动传动。液压机械传动、气动传动。原因：原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速度有限。输出响应要延迟一段时间信号的速度有限。输出响应要延迟一段时间才能产才能产生。生。作业 2-8 （a）（c） 2-92.4.1 方块图方块图的基本概念的基本概念 系统方块图又称系统方块图又称结构图结构图，是将系统中所有的环节用方，是将系统中所有的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连块来表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的；接起来构成的；2.4 控制系统的动态结构图控制系统的动态结构图G(s)R(s)Y(s

46、)输入信号输入信号输出信号输出信号方块：环节方块：环节信号传递的方向信号传递的方向方块图表示的一个典型系统：方块图表示的一个典型系统：表明了系统的组成、信号的传递方向；表明了系统的组成、信号的传递方向；表示出了系统信号传递过程中的数学关系；表示出了系统信号传递过程中的数学关系；可揭示、评价各环节对系统的影响；可揭示、评价各环节对系统的影响；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；直观、方便（图解法）。直观、方便（图解法）。( )R s)(sG( )E s( )Y s2.4.2 组成组成 相加点（综合点、比较点）相加点（综合点、比较点） 相同性

47、质的信号进行去取代数和相同性质的信号进行去取代数和 （相同量纲的物理量）（相同量纲的物理量）G(s)R(s)Y(s) 方块：一个元件（环节）的传递函数方块：一个元件（环节）的传递函数 信号流线：箭头表示信号传递方向信号流线：箭头表示信号传递方向 分支点：分支点：信号多路输出且相等信号多路输出且相等 注意：不是将信号均分注意：不是将信号均分1. 分析系统各环节物理规律，明确输入输出、求得分析系统各环节物理规律，明确输入输出、求得该环节的传函；该环节的传函；2.将同一信号的通路连接在一起将同一信号的通路连接在一起,组成完整的方块图组成完整的方块图动态结构框图可以形象而明确的表达动态过程中系统各环节

48、动态结构框图可以形象而明确的表达动态过程中系统各环节的数学模型及相关关系，是的数学模型及相关关系，是系统图形化的动态模型系统图形化的动态模型。主要绘。主要绘制步骤：制步骤：先单一 后整体例例2.4.1 汽车在凸凹不平的路面行驶，轮胎质量为汽车在凸凹不平的路面行驶，轮胎质量为M2，其弹性可，其弹性可等效为一个弹簧，汽车质量为等效为一个弹簧，汽车质量为M1。若以路面的高低位移变化为。若以路面的高低位移变化为输入输入xi(t)，车体垂直位移为输出，车体垂直位移为输出x0(t)，则汽车承载系统的简化力，则汽车承载系统的简化力学模型如图所示。试建立系统的动态结构方框图。学模型如图所示。试建立系统的动态结

49、构方框图。sF )()()(22sXsXksFis DKF )()()(222sXsMsFsFDKs )()()()(21sXsXDsksFoDK DKF )()(21sXsMsFoDK )()(1)(222sFsFsMsXDKs )(1)(21sFsMsXDKo DKF )()()(22sXsXksFis )()()()(21sXsXDsksFoDK )(1)(21sFsMsXDKo )()(1)(222sFsFsMsXDKs DKFDKF421112221121112222111222)(1)(11)()()()(SMMSDkkSMSDkSMSDkSMkSMSDkSMkSXSXSGio？)

50、()()(11sIRsUsUAi sCsIsIsUA121)()()( )()()(22sIRsUsUoA sCsIsUo22)()( 例例2.4.3 2.4.3 试求图示力学模型的传递试求图示力学模型的传递函数。其中函数。其中 x xi i(t) (t) 为输入位移，为输入位移，x xo o(t) (t) 为输出位移，为输出位移，k k1 1、k k2 2为弹性刚为弹性刚度，度，D D1 1、D D2 2为粘性阻尼系数。为粘性阻尼系数。解：粘性阻尼系数为解：粘性阻尼系数为D D的阻尼筒可的阻尼筒可等效为弹性刚度为等效为弹性刚度为DSDS的弹性元件。的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧并联

51、弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和，而串联弹簧弹性弹性刚度之和，而串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度的倒数之和。的倒数之和。 k1f1xi(t)xo(t)弹簧 -阻尼 系统f2k2ABx1(t)量纲相同与得到第一条结论初始状态为取拉氏变换点进行受力分析对kDSXXSDXXkxxDxxkAii) 1 ()0(01111011111D2D。为并联两弹簧的弹性刚度其中又由即，为串联两弹簧的弹性刚度其中左端代入式可知由取拉氏变换点受力分析对SDkKSDkKXKXSDkSFSDkKSDkSDkKSDkSDkKXXKSDkXXSDkSFSDkXkXkSDXSDkSXDX

52、kSDSFSDkSXDXkXSFSXDXkXXSDxDxkxxDBoooioioiOOiOiOOOoo222222222111111111111111111111111111111111221122011,)()()2()4(111),()()()()()2()3()3() 1 ()2()(型可化为下图：经等效后，上述力学模XiXoBK1K2F(S)F(S)121111( )()( )()iooioF SK XXK Xk D SF SXXkD S可画出该系统的函数方框图：+SDkSDk1111SDk221F(S)Xo(S)Xi(S)-根据方框图，可得该系统的闭环传递函数为：1)(111)()(

53、)(2221112212121221111221111SkDkDkDSkkDDSkDSDkSDkSDkSDkSDkSDkSXSXSGio22( )()oF SkD S X2.4.2 动态结构图的等效变换及简化动态结构图的等效变换及简化 环节的合并环节的合并 分支点分支点/结合点的变位结合点的变位2.4.2 动态结构图的等效变换及简化动态结构图的等效变换及简化 G1(s)G3(s)G2(s)( )R s( )Y s2( )Y s1( )Y s1. 环节的合并环节的合并（1） 串联串联G1(s) G2(s) G3(s) ( )R s( )Y s1( )( )niiG sG s（2）并联）并联G1(

54、s)G2(s)( )R s1( )Y s2( )Ys( )Y sG3(s)3( )Y sG1(s) +G2(s) +G3(s) ( )R s( )Y s1( )( )niiG sG s（3） 反馈反馈1( )( ) ( )Y sG s E s11( )( )( )( )1( )( )G sY sG sR sG s H s( )( )( )( )( )( )E sR sB sR sY s H s1( )( ) ( )( )( )Y sG s R sY s H s)(sB( )R sG1(s)H(s)( )Y s)(sEG G1 1(S)(S)为前向通道的传递函数为前向通道的传递函数H(S)H(S

55、)为反馈通道的传递函数为反馈通道的传递函数G G1 1(S)H(S)(S)H(S)为为闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数2. 框图等效变换原则框图等效变换原则 在对系统进行分析时，为了简化系统的结构在对系统进行分析时，为了简化系统的结构图，常常需要对信号的分支点或相加点进行变位图，常常需要对信号的分支点或相加点进行变位运算，以便消除交叉，求出总的传递函数。运算，以便消除交叉，求出总的传递函数。 变位运算的原则是，变位运算的原则是，输入和输出都不变。变输入和输出都不变。变换前后的方框图是等效的。换前后的方框图是等效的。前移1( )R s( )Y sG(s)2( )R s2( )R sG

56、(s)( )Y s1( )R s1/G(s)相相加加点点进进入入和和出出去去的的信信号号量量纲纲必必须须相相同同，否否则则不不注注：能能加加减减。后移( )Y s2( )R s1( )R sG(s)G(s)G(s)( )Y s2( )R s1( )R s（1）相加点（对信号求和）相加点（对信号求和）（2）分支点（信号由某一点分开）分支点（信号由某一点分开）分分 支支 点点 分分 出出 信信 号号 ， 数数 值值 相相 同同后移G(s)( )R s( )Y s( )R s前移G(s)( )Y s( )Y s( )R sG(s)( )Y s( )Y s( )R sG(s)G(s)( )Y s( )

57、R s( )R s1/G(s)（3）分支点之间可任意互换，）分支点之间可任意互换， 相加点之间可互换相加点之间可互换（但注意前后符号一致）。（但注意前后符号一致）。（4）相加点和分支点之间一般不能互换变位相加点和分支点之间一般不能互换变位注意注意： 有些实际系统，往往是多回路系统，形成回路交错或相有些实际系统，往往是多回路系统，形成回路交错或相套。为便于计算和分析，常将种复杂的方框图简化为较简单套。为便于计算和分析，常将种复杂的方框图简化为较简单的方框图。的方框图。方框图方框图简化的关键是解除各种连接之间，包括环路与环路简化的关键是解除各种连接之间，包括环路与环路之间的交叉，应设法使它们分开，

58、或形成大环套小环的形式。之间的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。 解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。一般，解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。一般，结构图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的相加点也可以结构图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的相加点也可以彼此交换。但是，彼此交换。但是，当分支点与相加点相邻时，它们的位置就当分支点与相加点相邻时，它们的位置就不能作简单的交换。不能作简单的交换。 例例2.4.3 例2.4.1所示汽车承载系统动态结构框图如图2.4.4所示，试简化系统框图，求总传递函数。其传递函数为 21221213412)()()()()(KKsDKs

59、mKMKMKDsmMMmsDsKKsXsXio给出主要的变换步骤给出主要的变换步骤例例2.4.4 简化下图，求出系统的传递函数。简化下图，求出系统的传递函数。 解解 具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用相加点、相加点、分支点互换分支点互换的方法处理。的方法处理。（1）将相加点）将相加点a移移至至G2之后之后（2）再与）再与b点交换点交换（3）因）因 G4与与G1G2并联，并联， G3与与G2H是负反馈环节是负反馈环节（4）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为注：注：以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数 是闭环系统简化的结果；是闭环系统简化的结果；分母不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环分母不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环传递函数应根据定义和具体框图定。传递函数应根据定义和具体框图定。例 2.4.5- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sG41- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2