随机变量及其分布列版本块四事件独立性学生版本

1、独立事件的判断2LLL1迄知识内容1. 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母X , Y, 111 表示.如果随机变量X的所有可能的取值都能列举出来，那么称X为离散型随机变量.离散型随机变量的分布列将离散型随机变量 X所有可能的取值Xi与该取值对应的概率 p (i =1, 2, III, n)列表表示：XX1X2XiXnPP1p2PiPn我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.2. 几类典型的随机分布两点分布如果

2、随机变量X的分布列为X10PpqX服从参数为p的二点分布.其中0 ： p ：1 , q =1 - p，那么称离散型随机变量二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0,产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，那么X的分布列满足二点分布.X10p0.80.2两点分布又称0-1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布.超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n < N), 这n件中所含这类物品件数 X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为m n -mP(X =m)二

3、 M 3 (0 W m w l , l 为 n 和 M 中较小的一个). CN我们称离散型随机变量 X的这种形式的概率分布为超几何分布， 也称X服从参数为N , M , n的超几何分布.在超几何分布中，只要知道N , M和n ,就可以根据公式求出 X取不同值时的概率 P(X二m)，从而列出X的分布列.二项分布1 独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 巳(k)=cn Pk(1p)n±(k=o, 1,2,

4、川，n).2. 二项分布假设将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q =1 -P，那么在n次独立重复 试验中，事件 A恰好发生k次的概率是P(X =k)pkqn±，其中k =0,1, 2，山，n 于是得到X的分布列X01knP厂00nCn p q“1 n 1Cn p q _ k k n kCn p q 一n n 0Cn p q由于表中的第二行恰好是二项展开式(q0nC0 pnq-1 Cf1 pq- hC knknnp n q Cpq各对应项的值,所以称这样的散型随机变量X服从参数为n , p的二项分布，记作X B(n.p).二项分布的均值与方差：假设离散型随机变量X服从参数为

5、n和p的二项分布，那么E(X)二np , D(x) = npq (q =1 - p).正态分布1. 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X，那么这条曲线称为X的概率密度曲线.曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数a, b之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，那么表示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布.服从正态分布

6、的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量.1(x-h2正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)=丁1 e盯，2 nR，其中，二是参数，且二 0 ,；式中的参数和二分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为二的正态分布通常记作 N(),匚2).正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.标准正态分布：我们把数学期望为 0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布.重要结论: 正态变量在区间(-；，；-) , (二-2；二=；2二),(.二-3；，二厂3匚)内，取值的概率分 别是 68.3% , 95.4% , 99.7% .正态变量在(-二,：)内的取值的概率为1 ,在区间(.二-3二， 3

7、刁之外的取值的概率是0.3% ,故正态变量的取值几乎都在距x二.i三倍标准差之内，这就是正态分布的3二原 那么.x假设 N, -2) , f(x)为其概率密度函数，那么称F(x)=P x)二 f(t)dt为概率分布t2函数，特别的，二 N(0,12)，称0(x) = f 丄dt为标准正态分布函数.CT5岳P(X)= (X，).cr标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得. 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可.3. 离散型随机变量的期望与方差1.离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是为,X2 ,，xn，这些值对应的概率是 小,卩2

8、，pn，那么E(X)卞伯* X2P2乂阿，叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.2. 离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是X, , X2 ,，Xn，这些值对应的概率是p, ,P2,Pn，贝VD(X)r(XlE(x)2pi(X2 E X )2P2 HIXn- EX )$Pn 叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度).D(X)的算术平方根D(x)叫做离散型随机变量 X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的

9、量.3. X 为随机变量，a ,b 为常数，那么 E(aX baE(X) b , D(aX，b)二a2D(X);4. 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量 二项分布：假设离散型随机变量X的期望取值为np .X服从参数为n和p的二项分布，那么 E(X)二np ,D(x)二 npq (q =1 _ p).超几何分布：假设离散型随机变量X服从参数为N , M , n的超几何分布,nM那么 E(X):ND(X)二n(N n)(N M )MN2(N -1)4. 事件的独立性如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，

10、即 P(B|A)二P(B), 这时，我们称两个事件 A, B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件A , A2 ,，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积，即p(A nA? nnAn) =p(a)卩傀)卩(人),并且上式中任意多个事 件A换成其对立事件后等式仍成立.5. 条件概率对于任何两个事件 A和B，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号PB|A 来表示把由事件A与B的交或积，记做D=A.B 或D = AB .典例分析【例1】判断以下各对事件是否是相互独立事件容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球， 从8个球中任意取出1个，取出

11、的 是白球与 从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球 一筐内有6个苹果和3个梨，从中任意取出1个，取出的是苹果与 把取出的苹 果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选 1名 同学参加演讲比赛，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生【例2】 假设A与B相互独立，那么下面选项中不是相互独立事件的是A. A 与 A【例3】从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A =抽到K ,B=抽到的牌是B. A与 BC. A 与 BD. A 与 B黑色的,问事件A , B是否独立？【例4】 甲，乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球.今从甲，乙两袋中各取出一球，设A=从甲袋中取出的是偶数号球 , B=从乙袋中取出的是奇数号球 , C =从两袋中取出的都是偶数号