一元函数微分公式

1、一元函数微分公式一元函数微分公式【大 小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算(一)一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分 对于不定 积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种 基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就 需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是 简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数 有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。由于不定积分的计算是最基本的，

2、它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲 述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出 基本积分公式。借助于牛顿莱布尼兹(NewtonLeibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函 数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问 题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函 数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积 分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。牛顿莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分

3、 也涉及到，这里就不再重复了。一、定积分的变量替换法定理 设f(x)在区间a,b上连续，代换x=0满足条件：(t)在a ,卩上连续；(2)(a)=a,(卩)=b，并且当at3时，a0(t)0)上连续，则有： 当f(x)为偶函数时； 当f(x)为奇函数 时。注(1)类似的性质重积分与第一类曲线(或曲面)积分也有，只是第二类曲线(或曲面)积分因为涉及方向问题要特别注意。(2)关于奇、偶函数的导函数与原函数也有一些值得注意的性质，其中重要的是：偶 函数的导函数是奇函数；奇函数的导函数为偶函数；奇函数的原函数为偶函数，但是，偶 函数的原函数不一定是奇函数。3周期函数的积分定理假定连续函数f(x)以T为

4、周期，即对于任意的实数x:f(x+T)=f(x)，那么，即在任何长度为了的区间上的积分值是相等的。4某些不易求原函数的定积分依照牛顿莱布尼兹公式计算定积分，就必须先求原函数，然而有的原函数不易求， 却能够通过变量替换使被积函数变形，并从中找到解决问题的途径。广义积分是定积分的推广，这个推广是针对定积分的两个基本约定作出的。这就是取 消积分区间有限的约定，则为无穷限的广义积分；取消被积函数有界的约定，则为无界函 数的广义积分(即瑕积分)。1无穷限广义积分的概念若f(x)在a,+ g)上连续，则(2)若f(x)在(-g,b上连续，则(3)若f(x)在(-g,+g)上连续，则右端极限存在，则称广义积分收敛，否则称为发散。(9)式要求右端两个广义积分同 时收敛，有一个发散则称发散。2无界函数广义积分的概念(1)若f(x)在a,b)上连续，在b点的左邻域无界，则(2)若f(x)在(a,b上连续，在a点的右邻域无界，贝V(3)若f(x)在a,b上除点c外均连续，在点c的邻域内无界，则与无穷限的广义积分一样，右端的极限存在称为收敛，否则为发散。(12)式要求右端 两个广义积分均收敛。无界函数的广义积分也称为瑕积分，被积函数在其邻域内无界的点 称为瑕点。3四个