中学生数形结合能力水平研究报告

1、-中学生数形结合能力水平研究俊强【缘起】：数形结合思想是中学生常用的、重要的一种数学思想方法，也是一种实用性很强解题方法；所谓数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使*些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，实现抽象概念与具体图形的转化和联系，以达化难为易的本质。“数以形而直观，形以数而入微这是我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述，数形结合的思想是最根本的数学思想之一，其应用围也较为广泛。所以我们把?中学生数形结合能力水平研究?作为一个课题，以期能有所获。【正文】：研究样本：本校学生研究容：一、影响中学生数形结合水平的主要原因我校初中学生的数形结合水平普

2、遍很低，通过长期的跟踪研究分析显示影响学生数形结合水平的原因主要有两方面：一学生自身的原因，主要有以下几点：1.掌握的知识有限，个人学习方法不当 有的学生在平时的学习中根底知识掌握的不够扎实，甚至有局部学生什么知识都没掌握，以致在解题中很难想到用数形结合思想来解题，还有的学生甚至从来就没有听过数形结合这个词，乍听起来还觉得很奇怪，数字与图形根本就没有关系，怎么会联系在一起呢.也有一局部学生在平时的学习中可能会涉及到数形结合的方法，但是他们不能虚心的、脚踏实地的学习，以为会用数形结合的方法解几个题目就掌握了数形结合的思想，从而使他们不能掌握数形结合思想的精华。2.平时疏于练习 有的学生在平时的练

3、习中很少用数形结合的方法来解题，遇到较难的题目时只从外表上思考去寻求解题的方法；也有的学生虽然想到用数形结合的方法来解题，但是懒于动脑思考，从而没有引起太大重视，甚至有时觉得画图麻烦，在平时的练习中索性就干脆不用数形结合的方法去解题，所以在平时的练习中思想上就不重视数形结合的方法，以致在练习中根本就找不到用数形结合方法解题的影子，从而导致中学生数形结合能力水平的低下。3.思维定势，灵活程度不够 绝大多数学生分析判断能力缺乏，审题缺乏完整性，遇到难题只从单一的角度去思考解题的方法，只要他们认定用什么方法去解题的话，即使他们解不出来他们也不会去寻求用别的方法去解题，下面我们来看一个例子：方程|*2

4、-4*+3|+k0有四个根,求k的取值围。此题不少中学生一拿到题目就把题目单纯的看着是方程问题，他们压根就想不到把方程转化成函数，也就是说在他们的头脑中根本就没有把方程转化成函数图象这一思想，仔细揣摩此题假设用代数方法解则首先要去掉绝对值，然后再要保证所得的方程*2-4*+3+k0和方程*2-4*+3-k0在各自的区间都要有两个解，这样解题又要用到分类讨论和根的分布等知识，继续解下去就会发现本来简单的问题被我们复杂化了，再加上计算问题，这样做显然很烦琐并且不容易做对，而我们用数形结合的方法解时只要画出函数y|*2-4*+3|与yk的图象,然后按照题目要求只须两图象有四个交点即可，这样很容易求出

5、结果 1<k<0，如右图。当然要想利用数形结合解此题，首先要发现|*2-4*+3|k，然后再有把左右两边各自看成函数的思想，这也是用数形结合方法解题的难点所在，它要求中学生的思维要发散，对待同一个问题，要从多角度去对待问题，对待问题不能死板，要灵活处理问题，这样才能培养中学生优良的思维品质，中学生才能形成改组思维定势的根底。4.信心缺乏，缺乏创新精神 有的学生在用数形结合方法解题过程中做到一半就放弃了，认为用数形结合方法解题太悬，况且平时练习中用的很少，没有把握好用数形结合方法解题的关键，最终与数形结合“失之交臂；另外绝大局部中学生在平时的学习和练习中没有创新精神，仅仅满足于依葫芦

6、画瓢，解决问题往往都是依照书上的例题和习题，并且解题后又不善于总结和思考，对题目中所表达的数学思想和方法不能作深一层的剖析，往往只要问题稍作改变，就观察不出问题的本质了，也就是说他们的行为只是单纯的解题或纯粹的模仿，不能够从新的角度去看旧的问题。5.抽象和化归意识淡薄 现在的绝大局部中学生往往被问题的外表现象所迷惑，不能透过其外表现象抓住问题的本质，不能运用所学的数学知识去解决遇到的问题，他们在解决问题的过程中不能意识到要对问题进展转化，不能将已有问题转化为自己已经解决或待于解决的问题，明明用数形结合思想解起来很简单的问题，他们却按着外表的方法去解，结果往往是越陷越深。二教师教学不当，主要表现

7、在以下几点：1.局部教师无视数学思想的教学 在数学教学中，有的教师在无意中就把大局部数学思想和数学方法的学习推给了学生自己，他们在上课时仅仅满足于把书上的根底知识讲完，他们根本不会拓宽讲一些书本上没有或者课标上明确不考的数学思想和数学方法，从而导致有的中学生从来就没听过“数形结合这个词，更不提用数形结合思想去解题了。2.教师讲解不到位 在教学中也有一少局部教师在上课时可能讲授诸如“数形结合等书上没有的数学思想和方法，但他们讲解的目的往往也是提高班级中一些“尖子生的解题能力的，讲解时只要班级的一些“尖子生听懂他就认为教学效果到达了，对于一些数学能力不强的学生他们是不会关心的，所以长此以往必然导致

8、中学生数形结合能力水平的低下。 二、提高学生数形结合能力的应对策略一、培养学生对数形结合思想的兴趣“兴趣是最好的教师，中学生自己要对数形结合思想产生兴趣，要想学习数形结合思想，这样才能有利于提高中学生自身的数形结合能力水平；教师在上课时也要善于激发学生的“数形结合兴趣，熏中学生的“数形结合意识，怎么样才能使中学生有着浓厚的数形结合思想呢.教师可以展现数学本身所蕴涵的数形美感，在教学的过程中教师可以不断的向学生介绍数学史方面的知识，关键是要讲出那些有关数学美的典型事例，比方黄金分割、正五边形，勾股几何图等。二、充分利用教材容渗透数形结合的思想方法1、把握代数局部的“数、 “形结合这局部容与原教学

9、大纲比，数形结合的容有很大改变和加强。它重视渗透和提醒根本的数学思想方法，加强数学部的联系及其相关学科的联系，如提前安排平面直角坐标系，用坐标的方法处理更多的容包括二元一次方程组，平移变换，对称变换，函数等。又如，它改变了“先集中出方程，后集中出函数的做法，而是按照一次和二次的数量关系，使方程和函数交替出现，分层递进，螺旋上升。在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。教师要赋予这些系统容新

10、的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的根底上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。这局部容有两种情形：情形一：“数中“形例1、一元二次方程解的意义：a*2+b*+c=0(a0)是一元二次方程。它的解可以理解为函数y= a*2+b*+c的图象与常值函数y=0，即*轴的交点的横坐标。则当公共点有两个时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解；当公共点只有一个时,对应的一元二次方程有两个相等的实数解；当没有公共点时,对应的一元二次方程没有实数解。例：*2-*-6=0，*1=-2，*2=3，y=*2-*-

11、6与*轴的公共点A(-2,0),B(3,0)。*2-2*+1=0，*1=*2=1，y= *2-2*+1与*轴的公共点A(1,0)。*2+1=0，没有实数解，y= *2+1与*轴没有公共点。y*ooy*o1y*o1图 图 图例2、二元一次方程组的解的意义：二元一次方程组的解有三种情况：无解；无数个解； 只有一个解。这三种情况可以转化为两条直线a1*+b1y+c1=0、a2*+b2y+c2=0的三种位置关系：平行；重合； 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。例：，方程组无解。两条直线2*+y+3=0、4*+2y+1=0的位置关系如图：平行。，方程组只有一个解。两条直线2*+y+1=0、*+2y=

12、0的位置关系如图：相交。，方程组有无数个解。两条直线2*+4y=0、*+2y=0的位置关系如图：重合。y*oy*oy*o123情形二：“形中“数cb0a*例3、图形隐含条件：例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c。例4、完成以下计算，1+2=?1+2+3=?1+2+3+4=?如果以1+2+3+4为例，如图：由此可知，1+2+3+4=10=1+2

13、+3+4=10=1+2+3+4+5=?1+2+3+ +100=?1+2+3+n=?此处教师可先让学生思考，让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程后提供以上图形，运用图形的直观性帮助学生理解，使学生从数与形的联系中发现规律，让学生了解这两个代数知识的几何背景，感受数学的神奇魅力。在“数与代数的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形，由形想到数的思想，这样可以加深学生对“数与代数的理解和认识，如利用图形理解完全平方公式、平方差公式，利用函数图像理解函数的变化趋势等都是培养学生数形结合思想的极好的素材。2、把握“空间与图形中的数形结合新课程中的几何容做了较大的删改，削弱了以演绎推理

14、为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。我想，这无疑给了教师充分脱脂的空间。教师要把握好数学思想方法在整个教学开展中的地位，对于“数形结合，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，提醒“形中“数的本质。例4、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：假设只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形.1212对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试一剪，但却极少有人能在短时间拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西面积，假设设小正方形的面积为1，则其边长就是1，这样一来，

15、我们仅需沿着图4中边长为的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。问题之所以能很快解决，关键是我们从问题“变中看到了“不变，从“形的外表找到了“数这一实质。一个似乎是纯几何的问题，在“数的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合的思想方法。又如，以下几个题目也是数形结合的很好的例子。例5、1如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。(2如图，用长30m的篱笆与两堵墙两堵墙成120°角围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围

16、使透进的最多，应选择窗子的长宽各为多少m.在教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。3、把握“统计与概率中的数形结合新课标中的统计与概率，在部编排和容要求上却由所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用适宜的统计表统计图来展示数据做出决策。例6如图略-21032-14-21032-14图9图10概率是新增加的容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概率时，采用画树状图的方法，树形结合，能收到化难为易的效果。例7、一布袋中方有黄、白两种球，其中一个黄球，两个白球，它们除颜色外其它都一样，小亮

17、从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，求两次都摸到白球的概率。黄黄黄白白白白白白由于数形结合具有形象直观、易于承受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活泼课堂气氛，开阔学生的思路，开展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化开展都有很大帮助。三、加强日常训练和指导，提高学生数形结合的解题水平要想提高中学生数形结合能力水平，在平时就要注意培养中学生良好的学习习惯，开展中学生良好的个性品质，掌握好根底知识，细心审题，切实加强中学生代数与几何、数字与图形相结合的意识，注重数形结合思想方法的学习，重视数形结合思想方法的训练。首先，教师在课

18、堂教学中要注意引导学生用图表、图形表达数学信息，培养学生的数形结合意识一个数学思想的形成不是一朝一夕能形成的，所以我们要在平时的教学中，就有意识的逐步引导学生用图形图画来表达数学信息。这种引导在学生初学数学时就应该贯穿始终，甚至始于小学一年级，比方在一年级学习数字时，先出示通过实物、画片，在具体情境中数“出 1 头象，“2头犀牛, “3只长颈鹿，“4朵云，然后呈现数, 这样能使学生把物和数字符号对应起来，让学生充分认识到数学符号所表示的意义，充分认识到数和现实中的形有着在的联系，为学生以后的数学学习奠定了根底。其次，多为学生创设直观的教学情境，让学生在直观的情境中感受题目的数量关系，让学生感悟到数形结合的价值。引导学生充分利用直观的“形，把抽象的数量关系形象具体地表示出来。通过一些看得见、摸得着的事物，抽取出实际问题中的数量，并用简单图形表达这些数量之间的关系，帮助学生理清数量关系，使复杂的数学问题直观化，为列式、建立方程