正弦稳态电路分析

1、1正弦稳态分析正弦稳态分析28.3 8.3 基本元件基本元件VARVAR相量形式相量形式 和和KCLKCL、KVLKVL相量形式相量形式8.4 8.4 复复 阻阻 抗抗 与与 复复 导导 纳纳8.2 8.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法8.1 8.1 正正 弦弦 量量 的的 基基 本本 概概 念念8.5 8.5 正正 弦弦 稳稳 态态 中中 的的 功功 率率8.6 8.6 正弦稳态电路中的中正弦稳态电路中的中 的的 最最 大大 功功 率率 传传 输输主要内容主要内容3学学 习习 目目 标标正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量

2、的相量表示法。深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。能进行对称三相电路的计算。 4按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U U, , I .I . 随时间变化的量随时间变化的量, ,每个时刻值称为瞬时值每个时刻值称为瞬时值 u u( (t t), ), i i( (t t) )tOi(t)tt0i(t0)O引言引言5 大小、方向随

3、时间做周期变化的电流大小、方向随时间做周期变化的电流( (电压电压) )称为周期电流称为周期电流( (电压电压) )工程上往往以频率区分电路：工频工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz50 Hz中频中频 400-2000Hz400-2000Hz高频电路高频电路交变电流：在一个周期内平均值为零的周期电流交变电流：在一个周期内平均值为零的周期电流, ,称为交称为交变电流。即变电流。即tiTtiO TttiT00d)(167 Nikola Tesla (1856-1943): The Man Who Invented the 20th Century.8 尼古拉特斯拉是一位发明了交流发电和供电系

4、统的天才发明家 1887他发明了交流供电系统 他发明了高频发电机和高频变压器。 他发明了日光灯、霓虹灯、速度计、汽车点火系统、雷达的基本原理、电子显微镜、微波炉 、激光9 特兹拉的专利收费已经超过了1百万美元 不过特兹拉的梦想是让所有人都用上便宜的交流电，于是他放弃了自己的专利收益权。不但放弃了做成世界首富的机会，而且花费216600美元推广其专利。108.18.1正弦量的基本概念正弦量的基本概念.1正弦量的三要素正弦量的三要素若电压、电流是时间若电压、电流是时间 t t 的正弦函数，称为正弦交流电。的正弦函数，称为正弦交流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为：以电流为例，正

5、弦量的一般解析式为：)sin()(imtIti 波形如图波形如图4-1所示所示图 4-1 正弦量的波形118.1.1 8.1.1 正弦波的特征量正弦波的特征量tIim sint it mI： 电流幅值（最大值）电流幅值（最大值） ： 角频率（弧度角频率（弧度/秒）秒） ： 初相角初相角mI 特征量特征量: :12tIim sin为正弦电流的最大值为正弦电流的最大值mI正弦波特征量之一正弦波特征量之一 - - 幅度幅度最大值最大值电量名称必须大写电量名称必须大写,下标加下标加 m如：如：Um、Im13 描述变化周期的几种方法描述变化周期的几种方法 1. 周期周期 T： 变化一周所需的时间变化一周

6、所需的时间 单位：秒，毫秒单位：秒，毫秒.Tf1fT22 正弦波正弦波特征量之二特征量之二 - - 角频率角频率3. 角频率角频率 ： 每秒变化的弧度每秒变化的弧度 单位：弧度单位：弧度/秒秒2. 频率频率 f： 每秒变化的次数每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹单位：赫兹，千赫兹 .it T14正弦量每经历一个周期的时间正弦量每经历一个周期的时间T T，相位增加相位增加2 2，则角频率则角频率、周期周期T T和频率和频率 之间关系为：之间关系为： fTfT122即、T T、 反映的都是正弦量变化的快慢，反映的都是正弦量变化的快慢，越大，即越大，即 越大或越大或T T越小，正弦量变化越快；越小，

7、正弦量变化越快；越小，即越小，即 越小或越小或T T越大，正弦量变化越慢。越大，正弦量变化越慢。 15tIi sin2正弦波正弦波特征量之三特征量之三 - - 初相位初相位： t = 0 时的相位，称为时的相位，称为初相位或初相角初相位或初相角。说明：说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。常用于描述多个正弦波相互间的关系。it ）（t：正弦波的相位角或相位：正弦波的相位角或相位16 用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负T/2内内曲线由曲线由负变正负变正经过零值的那一点

8、作为正弦波的起点。初相角就是波经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原，且波形起点在原点点左侧左侧 ；反之；反之 。 00it 17图 4-2如图4-2 所示，初相分别为0、662、18初相为正值的正弦量，在初相为正值的正弦量，在t=0t=0时时的值为正，起点在坐标原点之左。的值为正，起点在坐标原点之左。 初相为负值的正弦量，在初相为负值的正弦量，在t=0时的时的值为负，起点在坐标原点之右值为负，起点在坐标原点之右19把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。只有确定了三要素，正弦量才是确定的

9、 。20)sin()()sin()(222111imimtItitIti叫做他们的相位差而把、初相各为、它们的相位各为2121122121)()(,),()(iiiiiiiiitttt8.1.2、同频率正弦量的相位差、同频率正弦量的相位差 设有两个同频率的正弦量为 正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。21 2121 tt 两个两个同频率同频率正弦量间的相位差正弦量间的相位差( ( 初相差初相差) ) 222111 sin sintIitIimm122i1i t0=00, 电路吸收功率：电路吸收功率：p 0 , 0 , 感性，感性， 滞后功率因数滞后功率

10、因数(电流滞后电压电流滞后电压)X 0 , 0，表示网络吸收无功功率；，表示网络吸收无功功率；QR时，时， UL= UC U 。(5). 功率功率P=RI02=U2/R，电阻功率达到最大。电阻功率达到最大。即即L与与C交换能量，与电源间无能量交换。交换能量，与电源间无能量交换。2002001 , , 0ICQLIQQQQCLCL 139三、特性阻抗和品质因数三、特性阻抗和品质因数1. 特性阻抗特性阻抗 (characteristic impedance) 单位：单位： 与谐振频率无关，仅由电路参数决定。与谐振频率无关，仅由电路参数决定。CLCL 001 2. 品质因数品质因数(quality

11、factor)Q它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定。决定。无量纲无量纲CLRRCRLRQ1100 谐振时的感抗或容抗谐振时的感抗或容抗140(a) 电压关系：电压关系：RIUUR 0 UQIRRLILULjjj0000UQIRCRCIUCj1jj0000 品质因数的意义：品质因数的意义：UUUURILIRLQCL000000即即 UL0 = UC0=QU谐振时电感电压谐振时电感电压UL0(或电容电压或电容电压UC0)与电源电压之比。与电源电压之比。表明谐振时的电压放大倍数。表明谐振时的电压放大倍数。141UL0和和UC0是外

12、施电压是外施电压Q倍，如倍，如 0L=1/( 0C )R ，则则 Q 很高，很高，L 和和 C 上出现高电压上出现高电压 ,这一方面可以利用，另一方面这一方面可以利用，另一方面要加以避免。要加以避免。例：例：某收音机某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20 但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。如信号电压如信号电压10mV , 电感上电压电感上电压650mV 这是所要的。这是所要的。 65 RQ 1290 CL 142(b) 功

13、率关系：功率关系：电源发出功率：无功电源发出功率：无功电源不向电路输送无功。电电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。进行能量交换。200cosRIUIP 0sin0 UIQ有功有功+_PQLCR )( |00202000功功率率谐谐振振时时电电阻阻消消耗耗的的有有功功中中无无功功功功率率的的绝绝对对值值或或电电容容谐谐振振时时电电感感 PQPQRILIRLQCL143(c) 能量关系：能量关系：tLItCUCuwcmCC cos21cos2121220m2202 tICLtCItUuCC cos)9

14、0 sin()90 sin(m0o0m0om0 tLILiwL sin2121220m2 tUu sinm0 设设tItRUi sin sinm00m 则则电场能量电场能量磁场能量磁场能量电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。2020m20m2121LICULIwwwCCL 总总144电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在电场和磁场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何，电场和磁场之间作周期振

15、荡，不管振荡过程剧烈程度如何，它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。电感、电容储能的总值与品质因数的关系：电感、电容储能的总值与品质因数的关系：UC0=QU，则，则 UCm0=QUm品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在要是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。值。2m220m20m212121UCQCULIwC 总总与与 Q2 成正比成正比145由由Q 的定义：的定义：耗的

16、能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的2202020202000TRILIRILIRLQ 从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的路的“品质品质”愈好。愈好。146四、四、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性串联谐振电路的谐振曲线和选择性1. 阻抗的频率特性阻抗的频率特性RXRXXRCLCL111tgtg1tg) ( )(| )(|)1( jZCLRZ 222222)()1(| )(|XRXXRCLRZLL 2. 电流谐振曲线电流谐振曲

17、线谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。幅值关系：幅值关系：可见可见I( )与与 |Y( )|相似。相似。UYCLRUI| )(|)1()(22 幅频特性幅频特性相频特性相频特性147X( )|Z( )|XL( )XC( )R 0 Z ( )O阻抗幅频特性阻抗幅频特性 ( ) 0 O /2 /2阻抗相频特性阻抗相频特性电流谐振曲线电流谐振曲线 0 O|Y( )|I( )I( )U/R148从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏偏离离 0 0时，电流从最大值时，电流从最大值U/R降下来。换句话说，串联

18、谐振降下来。换句话说，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电电流小流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性选择性”。3. 选择性与通用谐振曲线选择性与通用谐振曲线(a)选择性选择性 (selectivity) 0 OI( )149例例. 一接收器的电路参数为：一接收器的电路参数为：L=250 H, R=20, , C=150pF(调好调好), U1=U2= U3 =10 V, 0=5.

19、5 106 rad/s, f0=820 kHz.+_+_+LCRu1u2u3_f (kHz)北京台北京台中央台中央台北京经济台北京经济台 L8206401026X1290166010340 660577129010001611I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z| ( A)C1150从多频率的信号中取出从多频率的信号中取出 0 的那个信号，即的那个信号，即选择性选择性。选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。若若LC不变，不变，R大，大，曲线平坦，选择性差。曲线平坦，选择性差。I0=0.5I1=0.0152I2

20、=0.0173I=U/|Z| ( A)%04. 301 II小得多小得多收到北京台收到北京台820kHz的节目。的节目。Q 对选择性的影响：对选择性的影响：R 变化对选择性的影响就是变化对选择性的影响就是Q对选择性的对选择性的 影响。影响。8206401200I(f )f (kHz)0%46. 302 II151为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以曲线的横、纵坐标分别除以 0和和I( 0)，即，即000)()()()( ,IIIII (b) 通用谐振曲线通用谐振曲线2220)1(11)1(/| /)()(RCRLC

21、LRRRUZUII 20020000)(11)1(11QQRCRL220)1(11)(QII 02)1(11)(IQQIeta152Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。所以选择性好。Q=10Q=1Q=0.51 2 10)(II0.7070 通用谐振曲线：通用谐振曲线：因此，因此， Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。是反映谐振电路性质的一个重要指标。 153Q=10Q=1Q=0.51 2 10)(II0.7070 .

22、 ,707. 02/1/210II和和标分别为标分别为对应横坐对应横坐点点与每一谐振曲线交于两与每一谐振曲线交于两处作一水平线处作一水平线在在 . , ,12022011 12 称为通频带称为通频带BW (Band Width)可以证明：可以证明：.1 ,11201212QQ 即即I/I0=0.707以分贝以分贝(dB)表示：表示： 20log10I/I0=20lg0.707= 3 dB.所以，所以， 1， 2称为称为3分贝频率。分贝频率。Q=1 0 2 1I0.707I00 略1544. UL( )与与UC( )的频率特性的频率特性222222)1( )1()( QQUCLRCUCIUC22

23、2222)11(1 )1(|)(QQUCLRLUZULLIUL 略155UL( )：当当 =0， UL( )=0； 0 0，电流开始减小，但速度不快，电流开始减小，但速度不快， XL继续增大，继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个仍有增大的趋势，但在某个 下下UL( )达到最大值，然后减小。达到最大值，然后减小。 ，XL， UL( )=U。类似可讨论类似可讨论UC( )。UUC( Cm)QU Cm Lm 0UL( )UC( )U( )1略156根据数学分析，当根据数学分析，当 = Cm时，时，UC( )获最大值；获最大值；当当 = Lm时，时，UL( )获最大值。且获最大值。且UC( Cm)

24、=UL( Lm)。)2/1 ( Q条条件件是是Q越高，越高， Lm和和 Cm 越靠近越靠近 0。 Lm Cm = 0。020m211Qc 0220m122QQL QUQQUUULLcC 2mm411)()(略157上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路参数，则变化规律就不完全与上相似。参数，则变化规律就不完全与上相似。上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振电路中去，但不同形式的谐振电路有其不同的特征，要电路中去，但不同形式的谐振电路有其不同的特征，要进行具体分析，不能简单搬用。进行具体分析，不能

25、简单搬用。由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压，即对电压也具有选择性。电压，即对电压也具有选择性。158一、简单一、简单 G、C、L 并联电路并联电路对偶：对偶：R L C 串联串联G C L 并联并联LC10 )1( jCLRZ )1( jLCGY 9. 8 并联电路的谐振并联电路的谐振+_S IGCL ULC10 159R L C 串联串联G C L 并联并联|Z| 0 0O OR 0 OI( )U/R 0 OU( )IS/GLU

26、CU UUR ICI LI SGII U|Y| 0 0O OG160R L C 串联串联G C L 并联并联电压谐振电压谐振电流谐振电流谐振UL( 0)=UC ( 0)=QUIL( 0) =IC( 0) =QIS LCGGLGCQ1100 CLRRCRLQ1100 推导过程如下：由定义得推导过程如下：由定义得GC0 22212GUTCUQCm GCf02 161二二 、电感线圈与电容并联、电感线圈与电容并联 上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了

27、混联，谐振现象也就较为复杂。象也就较为复杂。BGj LRCYj1j )( j)(2222LRLCLRR 谐振时谐振时 B=0，即，即0)(20200 LRLC由电路参数决定。由电路参数决定。求得求得20)(1LRLCCLR162此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不会发生谐振。会发生谐振。在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，要由下列条件决定：要由下列条件决定：当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：RCLRLRRZ 20200)()(可以发生谐振可以

28、发生谐振时时即即当当 , ,)(1 2CLRLRLC . , , 0是是虚虚数数因因不不会会发发生生谐谐振振时时当当CLR 163CLR等效电路：等效电路：其中：其中：C不变。不变。) ( ( j) (2222LRLCLRRY 22)(LRRGe 。或或 , CRLRLCRGee 谐振时：谐振时：LLRLLRLLee22222)(,)(1 GeCLe164近似等效电路：近似等效电路：)1()1()1()()1()1)(CLjRLRjCLCLjRCRjCLCLjRCjLjRZ CLR当线圈当线圈Q值很高时，即：值很高时，即：1RL 时，上式可近似为：时，上式可近似为：LjCjLRCCjLjRCL

29、Z 111 LjCjLCRZY 11 GeCL近似等效电路：近似等效电路：其中，其中，L、C不变，不变，。或或 , CRLRLCRGee LC10 165讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：(a)(b)9. 9 串并联电路的谐振串并联电路的谐振L1L3C2L1C2C3上述电路既可以发生串联谐振上述电路既可以发生串联谐振(Z=0)，又可以发生并联谐，又可以发生并联谐振振(Z= )。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。对对(a)电路，电路，L1、C2并联，在低频时呈感性。随着频率并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率增加，在某一角频率 1下发生并联谐振。下发生并联谐振。 1时，并联部时，并联部分呈容性，在分呈容性，在某一角频率某一角频率 2下可与下可与L3发生串联谐振。发生串联谐振。166对对(b)电路可作类似定性分析。电路可作类似定性分析。L1、C