R软件及其在金融定量分析中的应用-CH07

1、R软件及其在金融定量分析中的应用主编：许启发、蒋翠侠制作：王侠英、侯奇华2014年10月编写第一章 分位数回归与VaR(ES)计算n第一节第一节 VaR与与ES的计算的计算n第二节第二节 分位数回归与分位数回归与VaR(ES)计算计算n第三节第三节 VaR(ES)的极值方法的极值方法n第四节第四节 习题习题n第五节第五节 参考文献参考文献第一节 VaR与ES的计算nVaRVaR的定义 VaR是指一个特定的金融资产或资产组合，在特定的持有期内，在一定置信水平100(1-)%下，其面临的最大可能损失。 损失和收益的关系可以由图7-1表示，其中右侧的实线表示损失，左侧的实线表示收益。 R代码演示如下

2、： 第一节 VaR与ES的计算nVaRVaR的定义 图7-1 损失和收益的关系第一节 VaR与ES的计算nVaRVaR的定义 影响VaR计算的几个主要因素 上尾部概率 持有期 t 损失的累积分布函数 金融头寸的资产价值 需要注意的是，空头头寸与多头头寸在实际分析过程中有明显不同。 第一节 VaR与ES的计算nVaRVaR的性质 单调性：如果 L1L2 在任何情况下都成立，则 VaR(L1) VaR(L2) 正齐次性：对于任意正数 h ，有 VaR(hl) hVaR(L) 平移不变性：对于任意一个固定的常数，有 VaR(L) VaR(L) + 不满足次可加性nESES的定义 对于金融资产损失函数

3、 L ，在VaR的基础上，可以给出置信水平 100(1-)% 的ES定义如下 ES1-(L) = E Lt | Lt VaR1-(L) (7.2) ES的性质 ES不但满足单调性、正齐次性、平移不变性，而且还满足次可加性，是一致性风险测度。第一节 VaR与ES的计算nRiskMetrics模型与模型与VaR和和ES的计算的计算RiskMetrics模型表示 RiskMetrics模型可以表示为 式中，t 服从标准正态分布，t 服从一个无漂移的IGARCH(1,1)模型，为权重参数，RiskMetrics推荐选 = 0.94 。第一节 VaR与ES的计算nRiskMetrics模型与模型与VaR

4、和和ES的计算的计算基于RiskMetrics模型的VaR计算 (7.3) (7.4) (7.5) (7.6)第一节 VaR与ES的计算nRiskMetrics模型与模型与VaR和和ES的计算的计算基于RiskMetrics模型的VaR计算 (7.7) (7.8) (7.9)第一节 VaR与ES的计算nRiskMetrics模型与模型与VaR和和ES的计算的计算基于RiskMetrics模型的ES计算 当 rt 服从条件正态分布时，持有期为1天的VaR可以表示为 VaR1-= z1-t+1 ，则持有期为1天的ES为 (7.10) 例如=0.01 时，ES0.99 = 2.665t+1 。当持有

5、期为 l 天时，有 VaR1- (l)= z1-t+1 l ，因此可以求出相应的ES为 (7.11)第一节 VaR与ES的计算nRiskMetrics模型与模型与VaR和和ES的计算的计算案例分析 例 7-1：考虑APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的日对数收益率，假定其条件均值为0，条件方差服从无漂移的IGARCH(1,1)模型，权重参数 = 0.94 ，则当上尾概率=0.05 时，在R软件中使用rugarch包求出多头头寸持有期为1天和5天的VaR和ES。 R代码演示如下：第一节 VaR与ES的计算nRiskMetrics模型与模型与VaR和和ES的计算的计算案例分

6、析 图7-2 APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的价格与交易的时序图第一节 VaR与ES的计算nRiskMetrics模型与模型与VaR和和ES的计算的计算案例分析 由于对数收益率乘100，可求出以下结果： 持有期为1天时，相应的VaR为0.021，ES为0.026。 持有期为5天时，相应的VaR为0.047，ES为0.059 假定一个投资者持有苹果公司的股票价值为100万美元，则该投资者持有期为1天的VaR为1000000*0.021美元=21000美元，ES为1000000*0.026美元=26000美元，持有期为5天的VaR为1000000*0.047=4700

7、0美元，ES为1000000*0.059美元=59000美元。第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算GARCH模型表示 根据第六章中GARCH模型的相关内容，某金融资产的日对数收益率 rt 的一般时间序列模型可以表示为 (7.12) (7.13)第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算基于GARCH模型的VaR计算 根据式(7.12)和式(7.13)，可以得到日对数收益率 rt 的条件均值和条件方差的向前一步预测，即可以得到 (7.14) (7.15)第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算

8、的计算基于GARCH模型的VaR计算 在 t 时刻可以得到的信息集 t 下，rt +1 服从条件均值为 ，条件方差为 的条件正态分布，即 。令 为上尾概率，则在 t 时刻可以计算出持有期为1天的VaR为 (7.16)第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算基于GARCH模型的VaR计算 如果假定t 服从自由度为 s 的标准student t-分布，则计算出持有期为1天的VaR为 (7.17) 式中， t1-(s) 为自由度为 s 的student t-分布的 1-分位数 第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算基于GARC

9、H模型的ES计算 当日对数收益率 rt +1 服从条件正态分布时，假定 t 服从标准正态分布，则可以计算出持有期为1天的ES为 (7.18)第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算基于GARCH模型的ES计算 如果假定t 自由度为 s 的标准student t-分布，则持有期为1天的ES为 (7.19)第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算案例分析 例 7-2：续例 7-1，仍考虑APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的日对数收益率，假定其条件均值服从ARMA(0,0)模型，其条件方差过程服从GAR

10、CH(1,1)模型，假定t 服从标准正态分布，当上尾概率=0.05 时，在R软件中使用fGarch包求出多头头寸持有期为1天的VaR和ES。 R代码演示如下：第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算案例分析 由于对数收益率乘100，可求出以下结果： 持有期为1天的VaR为0.025，ES为0.032。 当持有期改为5天时： 持有期为5天的VaR为0.027，ES为0.034。第一节 VaR与ES的计算nGARCH模型与模型与VaR和和ES的计算的计算案例分析 例 7-3：续例 7-1，仍考虑APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的日对数

11、收益率，假定其条件均值服从ARMA(0,0)模型，其条件方差过程服从GARCH(1,1)模型，假定t 服从自由度为5的标准student t-分布，当上尾概率=0.05 时，在R软件中使用fGarch包求出多头头寸持有期为1天的VaR和ES。 R代码演示如下： 结果：持有期为1天的VaR为0.025，ES为0.037。第一节 VaR与ES的计算第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型表示 设 Y 为一元随机变量，其右连续分布函数为 F(y) = Pr (Y y) ，则对于任意 0 1 有 F-1() = inf y | F(y) (7.20) 式中，F-1()

12、为 Y 的第 分位数。当=1/2 时， F-1(0.5) 即为 Y 的中位数。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型表示 (7.21) (7.22) (7.23) (7.24) (7.25)第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型表示 (7.26) (7.27) (7.28) (7.29)第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型表示 (7.30) (7.31) 第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归参数估计 分位数回归的参数估计方法主要有 单纯形算法(Simplex

13、Method) 内点算法(Interior Point Method) Koenker等(1978)6将单纯形算法应用于分位数回归分析，给出了分位数回归模型参数估计的单纯形算法。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归参数估计 例 7-4：考虑上证综合指数2012-01-01到2013-12-31的日收盘价和日交易量，对日收盘价取对数得到日对数收益率，对日交易量取对数得到对数日交易量，以日对数收益率为响应变量，以对数日交易量为解释变量，当分位点 为0.5时，运用线性分位数回归进行参数估计，并画出分位点 为0.05,0.10,0.25,0.50,0.75,0.90,0

14、.95时的回归估计曲线。 R代码演示如下：第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归参数估计 在图7-3中，实线表示线性均值回归模型的估计结果，长虚线表示=0.5 时的线性中位数回归估计结果，短虚线表示为0.05,0.10,0.25,0.75, 0.90,0.95时的线性分位数回归估计结果。 第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归参数估计 图7-3 上证综指2012-01-01至2013-12-31价量关系线性分位数回归拟合图第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型检验 线性分位数回归的检验方法主要有Wal

15、d检验、秩检验、似然比检验。 这里主要介绍秩检验，并介绍秩检验求线性分位数回归参数估计的置信区间。 Koenker(1994)10将秩检验运用到线性分位数回归中，并求出参数估计值的置信区间。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型检验 令 Ri 表示第 i 个观测值 yi 在样本中的秩，则秩记分函数为 (7.38) 根据不同的得分函数 对 积分，可以得到类似秩统计的向量，用来构造检验。例如，使用 (t)=1/2sgn(t-1/2) 可以得到符号得分数第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型检验 (7.39) 可以将Hajek-Si

16、dak秩记分看作是一个更普遍的线性模型的特殊形式，在此线性模型中，定义 为线性规划问题的解 (7.40)第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型检验 秩检验其实就是分位数回归中的拉格朗日乘数，考虑以下的模型 (7.41) 建立假设 H0：()0 H1：n()0()/n 对限制条件下的模型进行估计，我们得到 第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型检验 由此可以得到检验统计值 (7.42) 式中， 可以证明，在H0下，Tn 趋向于 xk 分布，k 是的维数。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n线性分位数回归线性分位数回归模型检验

17、 利用秩检验可以求出参数估计的置信区间。利用第分位点的得分函数 (t) =- I(t fp 1 2 3 -0.0013566136 -0.0008319038 -0.0005803079 由运行结果可知，线性分位数回归模型预测的2014-01-07到2014-01-09的日对数收益率分别为 -0.0013566136、-0.0008319038、-0.0005803079第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 Box-Cox变换分位数回归 局部多项式分位数回归 B样条分位数回归第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分

18、位数回归参数非线性分位数回归 Box-Cox变换分位数回归 Box-Cox变换是统计中著名的变换，Cole(1988)11首次提出了LMS方法，并将其应用到分位数回归中，即对于解释变量 x 的给定值，对响应变量 y 运用正态Box-Cox变换，选择三个参数( , , )使惩罚对数似然函数最大化，那么可以通过Box-Cox变换转化正态分布的适当分位数获得所需的分位数。 对样本观测数据运用LMS方法，在给定 xi 的情况下， yi 的正态Box-Cox变换和标准正态的参数分布形式相同 (7.44)第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 Box-

19、Cox变换分位数回归 服从标准正态分布，即 ZN(0,1) 。参数必须是正值因此在默认情况下选择 (x)=(x),(x),log(x)T 。 也是正值，在给定 的情况下，通过对标准正态分布的 100百分位数处进行Box-Cox变换转化可以估计得到 100百分位数 (7.45) Cole等(1992)12提出通过极大化一个惩罚的对数似然函数来估计这三个参数，这个惩罚的对数似然函数为 (x)=(x),(x),log(x)T (7.46)第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 Box-Cox变换分位数回归 例 7-7：继续例 7-4，仍考虑上证综

20、合指数2012-01-01到2013-12-31的日收盘价和日成交量，对日收盘价取对数得到日对数收益率，对日交易量取对数得到对数日交易量，以对数日交易量为响应变量，以日对数收益率为解释变量，当分位点为0.25、0.50、0.75时，运用正态Box-Cox变换分位数回归进行拟合，并画出分位点为0.05、0.25、0.75、0.95时的回归估计曲线。 R代码演示如下：第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 Box-Cox变换分位数回归 图7-4 上证综指2012-01-01至2013-12-31量价关系正态Box-Cox变换分位数回归拟合图第二

21、节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 局部多项式分位数回归 局部多项式分位数回归由Chaudhuri(1991)14提出，考察如下的加权分位数回归问题 (7.47) 式中，vi(x)= K(xi - x)/h)/h ，K 为一正的、对称的单峰函数，h 为带宽参数。在解释变量 xi = x 处，响应变量 y 在分位点处的条件分位数 Q(y|x) 的估计值就是 。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 局部多项式分位数回归 将式(7.47)扩展成高次多项式，则可以得到 (7.48) 式中，模型

22、形式为局部多项式分位数回归的一般形式。在R软件中，可以由lprq命令进行局部多项式分位数回归。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 局部多项式分位数回归 例 7-8：继续例 7-4，考虑上证综合指数2013-07-01到2013-12-31的日收盘价和日成交量，以日成交量为响应变量，以日收盘价为解释变量，当分位点为0.05、0.50、0.95时，运用局部多项式分位数回归进行拟合，并画出相应的回归估计曲线。 R代码演示如下：第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 局部多项式分位数回归 图

23、7-5 上证综指2013-07-01至2013-12-31量价关系局部多项式分位数回归拟合图第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 B样条分位数回归 考虑这样一个非线性模型：Yi=g (x i)+ i () ，其中 i () 为随机扰动项，g () 为随着分位点变动的非线性函数。使用B样条基函数平滑非线性函数 则可以得到 (7.49) 式中， Bj,s (x i) 为第 j 个B样条基函数，其中分段多项式的阶为 s ，s 一般取3，j () 为待估计的参数，式(7.49)可以通过求解优化问题第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位

24、数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 B样条分位数回归 (7.50) 得到参数向量 i () =(1() , k+1() ) 的估计。式中， V() 为在分位点处关于的损失函数，n 为样本个数；第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归参数非线性分位数回归 B样条分位数回归 zi =(B1,p(xi),Bt+1,p(xi) ，在获得估计(1() , k+1() ) 后，可以通过下式 (7.51) 得到非线性函数 g(xi) 的估计。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归非参数非线性分位数回归 非参数回归的回归函数形式是未知的

25、，对解释变量和响应变量的分布也很少限制，因此非参数方法更加灵活。 Nadaraya-Watson核估计主要利用非参数密度估计的思想直接对未知形式的回归函数进行估计，可以将其应用到分位数回归中，得到一个新的非参数条件分布核估计量和相应的非参数条件分位数估计量。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归非参数非线性分位数回归 令 Xi 表示响应变量，Yi 表示解释变量，i =1,2,., n 。令 Xi d 表示 Xi 中的 p 维离散型变量， Xi c 表示 Xi 中的 q 维连续型变量，令 Xis d 表示 Xi d 的第 s个要素，s=1,2,p 。令 F(y|

26、x) 表示在给定 X=x 时 Y 的条件分布函数，则可以得到 F(y|x) 的估计 (7.52)第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归非参数非线性分位数回归 式(7.52)中， 是(x) 的核估计量， (x) 表示 X 的边际密度。 核函数为 ， 其中， 表示连续型变量的核函数， hs 是带宽； 表示离散型变量的核函数， s 是带宽。 第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归非参数非线性分位数回归 根据条件分布函数可以得到条件分位数函数的估计 (7.53) 例 7-9：考虑R软件np包中自带的意大利GDP增长的面板数据，使用np

27、cdistbw命令计算带宽，并使用npqreg命令进行核分位数回归，计算0.25、0.50、0.75分位点下的分位数，并画出相应的拟合曲线。 R代码演示如下：第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归非参数非线性分位数回归 图7-6 意大利1951年至1998年GDP增长面板数据核分位数回归拟合图第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归基于分位数回归的VaR和ES计算 金融时间序列为 yt,xtt-1 n ，其中 yt 为金融资产的收益， xt 为影响金融资产收益的解释变量。则 yt 的第 条件分位数可表示为 (7.54) 等价于求

28、解如下优化问题 (7.55)第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归基于分位数回归的VaR和ES计算 根据VaR的定义可知，对于多头头寸而言，在置信水平为100(1-)%下的VaR与 yt 的分位数的相反数对应，即 (7.54) 因此，可以求出基于分位数回归的VaR。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归基于分位数回归的VaR和ES计算 ES表示损失超过VaR条件下的期望值，式(7.55)可以推导为 因此可以得到ES的计算式为 (7.55) 因此可以求出基于分位数回归的ES。第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回

29、归非线性分位数回归基于分位数回归的VaR和ES计算 例 7-10：考虑以APPLE公司股票2003-01-02到2013-12-31的日收盘价，以2003-01-08至2013-12-31日对数收益率为响应变量，以滞后1期、滞后2期、滞后3期的日对数收益率作为解释变量，在0.05分位点处进行线性分位数回归拟合，得出参数估计，并求出2013-12-31前5天的95%VaR。 R代码演示如下： 第二节 分位数回归与VaR(ES)计算n非线性分位数回归非线性分位数回归基于分位数回归的VaR和ES计算 根据运行结果，可以得到 线性分位数回归的截距项为-2.552513759，回归系数为0.416014

30、222、0.008944717、0.060378067 VaR 2761 2762 2763 2764 2765 0.9429887 2.7711861 3.0100956 3.4397026 2.5600629 由此求出2013-12-31前5天的VaR分别为0.9429887、2.7711861、3.0100956、3.4397026、2.5600629第三节 VaR(ES)的极值方法n区间极大值模型区间极大值模型广义极值分布 可以将三种类型的极值分布(Weibull、Frechet、Gumbel)归纳为广义极值分布(Generalized Extreme Value Distributi

31、on, GEV)，简称GEV分布。GEV分布的累积分布函数可表示为 (7.58) 式中，为形状参数，为位置参数，为尺度参数； 1+(x-)/0 ，即当0 时，x(-)/。 第三节 VaR(ES)的极值方法n区间极大值模型区间极大值模型广义极值分布 根据式(7.58)可以得到GEV分布的概率密度函数为 (7.59) 式中，当0 时，F(x) 为威布尔分布(Weibull)，其累积分布函数为 (7.60)第三节 VaR(ES)的极值方法n区间极大值模型区间极大值模型广义极值分布 当0 ，即当0 时，x 0 ，即当 0 时，有0 x -/ 。第三节 VaR(ES)的极值方法n阈值模型阈值模型广义帕累托分布 GDP分布也可以表示为Pareto型、型和型三种分布形式 Pareto 型： Pareto 型： Pareto 型：第三节 VaR(ES)的极值方法n阈值模型阈值模型阈值选取 如果阈值 u 的取值过大，则会导致超过阈值 u 的样本数据太少，可能会造成参数估计的方差增大，估计的精度较差。 如果阈值 u 的取值过小，不能保证超出量