2020年中考数学专题复习和训练：新定义题型例谈

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年中考数学专题复习和训练: 新定义题型例谈班级： 姓名： 编制：赵化中学 郑宗平专题透析：“新定义”题型主要是指题型中嵌入了新概念、新符号、新运算等，要求结合书本知识，根据“定义”的规则加以运算、推理等以求问题得以解决；这类题在新课改、新课标下的各类数学测试中经常出现，也是近年来中考的热点题型，填空、选择和解答题均有涉及；“新定义”题型注意两点：其一.读懂“定义规则”，找准切入点；其二.经过运算、推理进行迁移解决问题典例精析：例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如；根据对上述式子的观察思考：如果理想分数（是

2、不小于2的正整数），那么= (用含的式子表示).分析： 写成两个不同理想分数的和 （注：实际上是）在中有，在中有，如果理想分数（是不小于2的正整数），那么.故分别应填：和 .点评： 本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.追踪练习：1.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 就是一个数列；如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如就是一个等差数列，它的公差为；如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为

3、二阶等差数列例如数列 ，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是，这是一个公差为的等差数列，所以，数列，是一个二阶等差数列；那么，请问二阶等差数列， 的第五个数应是  _ 2.若是不等于1的实数，我们把称为 的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，则 = .例2.我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为，比如：，如果有，则的取值范围为 . 分析：根据二阶行列式规定的运算法则可知： ，解得：；故应填：.点评： 本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多

4、个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型.追踪练习：1.对于点的一次操作变换，且规定（为大于1的整数）；如，则= （ ）A. B. C. D.2.对于正数，如果规定，例如：，;根据上面的规定计算的值为 ， 的值为 .3.根据例2规定的“二阶行列式运算法则”，计算填空：. = ； .= ；.，则= . 4.若定义 ，则= .5.对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如： ，求 的值.6.我们定义，比如：；若均为整数，且满足 ，求的值.例3.如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.“抛物线三角形”一定是 _ 三角形；.若

5、抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；.如图，是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由分析：问抓住抛物线的轴对称性，抛物线的顶点在抛物线与轴交点线段的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可以得出“抛物线三角形”是等腰三角形；.等腰直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，这个命题的逆命题也是一个真命题，以此切入可以解决问题；同时由于抛物线过原点，所以在第一象限内还可以推出顶点的的横纵坐标相等，以此建立方程也可以解决问题；殊途同归！.由于矩形的对角线相等且互相平分，逆命题也是一个真命题；所以当“抛物线三角形”是等边

6、三角形时，按题中条件中建立的可以四边形是矩形；通过等边来列等量关系可求出的值，进而确定的坐标，利用中心对称性可以确定的坐标，利用待定系数法可以求出过三点的抛物线的表达式.略解：.填：等腰；.抛物线的顶点 的坐标坐标为 ，由于抛物线过坐标原点，当其“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，过点作,垂足为 ,则有,即解得：. 注，本问也可以建立方程解决问题。.存在.如图作与关于坐标原点成中心对称，则四边形是平行四边形；当时， ;此时平行四边形是矩形.又数是等边三角形 作,垂足为 在中， ,则 抛物线顶点的坐标的可知： .解得： 设过三点的抛物线为。则： 解得： 故所求抛物线的表达式为点评： 本题可以视为

7、“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.追踪练习：1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如）和是以为镜面直线的镜面点 .若和是一对镜面点，则镜面直线为 .若以为镜面直线，则的镜面点为 2.如图，是上的两个顶点，是上的动点（不与重合），我们称是上关于点的滑动角.已知是上关于点的滑动角.若是的直径，则 = ;.若的半径为1， ,求的度数；.已知是外一点，以为圆心作一个圆与相交于两点；是上关于点的滑动角，直线交于（点与点,点与点不重合），连接;试探索与、之

8、间的数量关系.3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，则点就是四边形的准内点.如图2,与的角平分线相交于点求证：点是四边形的准内点.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（ ）若点是四边形的准内点，则或（ ）.例4. 对于实数，定义运算某“*”：.例如，因为，所以.若是一元二次方程的两个根，则= .分析：是一元二次方程的两个根 解得： 或 .当 时，*=；.当 时，*=.故应填：或. 点评：

9、本题可以视为“开放题型中的新定义”，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结合对应的定义法则进行运算推理（实际上是同一名称多种形式），这类题容易漏解.追踪练习：1. 对实数 ；比如，计算× = . 2.在平面直角坐标系中，对于任意两点和的“非常距离”，给出以下概念：若 ，则点和点的“非常距离”距离为；.若 ，则点和点的“非常距离”距离为.例如：点和。因为，点和的“非常距离”距离为.也就是图1中线段 与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点）.已知点 ,为轴上的一动点.若点和点的“非常距离”为2，写出一个满足条件点的坐标；.直接写出点和点的“非常距离”的最小值.

10、已知是直线的一个动点.如图2，点的坐标是，求点和点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；.如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点和点的“非常距离”的最小值及相应的点与点的坐标 . 例5.先阅读材料，再根据解答：对于一个关于的代数式,若存在一个系数为正数关于的单项式,使 的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式为代数式的“整系单项式” ，例如：当 时，由于 ，故是的整系单项式； 当 时，由于 ，故是的整系单项式；当 时，由于 ，故是的整系单项式；当 时，由于 ，故是的整系单项式； 显然，当代数式存在整系单项式时，有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式记为 ,例如： .阅

11、读以上材料并解决下列问题：.判断：当 时， 的整系单项式（填“是”或“不是”）；.当 时， = ;.解方程：. 分析：本题的根据可计算判断；问求不但要使是整系单项式，而且要使其“次数最低，系数最小”，所以要进行逆推，即 ,要使结果“次数最低，系数最小”,则 ；问仿照问逆推出 ，然后再解分式方程.略解：.是；. ；. 原方程改写为 整理得： 解得 经检验是原方程的增根，所以原方程无解. 点评： 本题可以视为“阅读材料中的新定义”，这类题是要读懂定义的规则，按规则办事；本题通过数学建模串联起分式的混合运算和解方式方程，其中计算本题的难点，要根据和“次数最低，系数最小的整系单项式”的要求进行逆推；本

12、题的阅读量大，有些显得抽象，由于本卷信息多，要在有限的时间内完成，对大部分学生有一定的挑战性！ 追踪练习：1. 阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形. 我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足且的四边形叫做“筝形”；.写出筝形的两个性质（定义除外）；.写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明.2.阅读下面的材料：我们学过两条直线

13、平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行. 解答下面的问题：.求过点且与已知直线平行的直线的函数表达式,并画出直线 的图象；.设直线分别与轴、轴交于点、，如果直线：与直线平行且交轴于点，求出的面积关于的函数表达式.巩固练习：一.选择题：1.概念：，例如：，则等于（ ）A. B. C. D. 2.设表示这两个数中的最小值，如，则关于的一次函数可以表示为（ ）A. B. C. D.3.历史上，数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示，例如时，多项式的值

14、记为，那么等于（ ）A. B. C. D. 4.小刚用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数为 称为三角形数；类似的，图2中棋子围成正方形，其颗数为 称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A. B. C. D. 5.若定义抛物线满足（的自然数）；若该抛物线与 轴交于 ，用表示这两点间的距离，则=（ ） A. B. C. D.6.定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：.当时，函数图象的顶点坐标是；.当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；.当时，函数在时，随的增大而减小；.当时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（ ）A. B. C. D.

15、7.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A. B. C. D. 8.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如：796就是一个“中高数”若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（ ）A. B. C. D. 9.一次函数的图象与轴、轴分别交于点,为坐标原点；若我们把横纵坐标均为整数的的点定义为整点，则在内部（包括边界）整点个数共有（ ）A.90个 B.92个 C.104个 D.106个二.填空题：10.我们规定：一个边形（为整数，）的最

16、短对角线与最长对角线长度的比值，叫做这个边形的“特征值”，记为，那么 = . 11.若规定:,观察上面的计算过程，寻找规律并计算 .12.对于实数，我们假如用符号表示两数中较小的数，如,若,则= .13.若规定用符号表示实数的整数部分，例如： ，按此规定 的值为 . 14.规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如： ；则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号）.当时，；.当时，；.方程的解为；.当 时，函数的图象与正比例函数图象有两个交点.15.定义一种运算符号，其规则为,若已知，则的值为 .16.定义运算=，下列给出了关于这种运算的几点结论：

17、.=；.=；.若。则（）+（）= ；.若=0，则 .其中正确结论序号是 （填序号）17.若；则的值为 （用含的式子表示），.18.若记 ，其中表示当时的值，即， 表示当时的值，即；则 = 19.是的边上的动点（异于）,过点的直线截截得的三角形与相似，我们不妨称这种直线为过的的相似线，简记为 （为自然数 ）.如图，；当时，都是过点的的相似线（其中,）.此外，还有 条；.如图，,当 = 时，截得三角形面积为面积的 .20.如图，正方形的边长为2，曲线叫“正方形的渐开线”,其中的圆心依次按循环，长度分别标记为.当弧线长度标记为时，的值为 .21.对于二次函数，如果当取任意整数时，函数值y都是整数，此

18、时称该点为整点，该函数的图象为整点抛物线（例如：）.请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式 （不必证明）；.请直接写出整点抛物线与直线围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点个数有 _ _ 个22.对于平面直角坐标系中的任意两点，称 为两点的直角距离，记作 ；若是一定点，是直线上一动点，称的最小值为到直线的直角距离；令 ,为坐标原点。则：. = ;.到直线的直角距离为6，则 = . 三.解答题：23.规定是一种新的运算符号，且，例如：.请你根据上面的规定试求：.的值；.的值.24.规定，比如：；，试求的值.25.平面直角坐标系中过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周

19、长与面积的“数值”相等，则这个点叫做和谐点例如图中过点分別作轴，轴的垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积的“数值”相等，则点 是和谐点.判断点，）是否为和谐点，并说明理由；.若和谐点在直线（为常数）上，求的值26.如图，在平面直角坐标系中，已知点、 ,连接;如果点在直线上，且点到直线的距离小于1，那么点是线段的“临近点”.判断点是否是线段的“临近点”，并说明理由；.若点是线段的“临近点”，求的取值范围. 27若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则成这两个二次函数为“同簇二次函数”.请写出两个同簇二次函数；.已知关于的二次函数和；其中经过;若为的同簇二次函数，求函数 的表达式，并求当时，的最大

20、值. 28.如图，概念：若双曲线与他的意图一条对称轴相交于两点，则线段的长度为双曲线的对径.求双曲线的对径；.若双曲线的对径为，求的值；.仿照上述概念，概念双曲线 的对径. 29.如图，概念：在直角三角形中，锐角的领边与对边的比叫做角的余切，记作 ，即图中 ，根据上述角的余切的概念，解答下列问题：. = ；.如果，已知，其中为锐角，试求的值. 30.在学习锐角三角函数中，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化；类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，假如我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）.如图在中，,顶角的正对记作，这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：. = .对于，的正对值的取值范围是 .如图，已知，其中为锐角，试求的值. 31.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.三角形有_条面积等分线，平行四边形有_条面积等分线；.如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；.如图，四边形中,与不平行，,且