电工技术-姚海彬课件 第3章 正弦交流电路

1、第第3 3章章 正弦交流电路正弦交流电路3.1 3.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念3.2 3.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法3.3 3.3 元件约束和结构约束的相量形式元件约束和结构约束的相量形式3.4 3.4 复阻抗和复导纳复阻抗和复导纳3.5 3.5 正弦交流电路分析举例正弦交流电路分析举例3.6 3.6 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率3.7 3.7 功率因数的提高功率因数的提高3.8 3.8 电路的谐振电路的谐振第第3 3章章 正弦交流电路正弦交流电路随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：电压和正弦

2、电流。表达式为：)sin(umtUu)sin(imtIi特点是：幅度不仅随时间在变动，而且方向也不断变动特点是：幅度不仅随时间在变动，而且方向也不断变动。u t 0 2)(tumUmU3.1 3.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 一、一、： 正弦量单位时间内变化的弧度数。正弦量单位时间内变化的弧度数。角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系： 正弦量完整变化一周正弦量完整变化一周 所需要的时间。所需要的时间。： 正弦量在单位时间正弦量在单位时间 内变化的周数。内变化的周数。Tf1fT22i tOIm0二、二、 两个同频率正弦量的相位之差两个同频率正弦量的相位之差（2） = 1 -

3、 2 0 , i1超前超前i2)sin(0111tIim)sin(0222tIim设两个同频信号：设两个同频信号：02010201)()(tt相位差为相位差为：相位差值等于它们的初相之差。分有相位差值等于它们的初相之差。分有4 4种情况：种情况：例例VttuVttu)90314sin(50)( )120314sin(100)(21，？，谁超前？的相位差与）求 121uu）的参考方向，重复问题）若改变 1 22u解：解：1 1）已知）已知9012021滞后则 150360210 210)90(120 121u2 2） 90 22的参考方向，则若改变u30 3090-120 21uu 超前即12

4、301201 902三、同频率正弦量的叠加三、同频率正弦量的叠加求e=e1+e200100212sin()sin()MMeEteEt12设有2个正弦量e 和e ： 00102010201020010201020sin()sin()2cossin()22sin()2cos22MMMMMeEttEtEtEE 其中：根据三角形和差公式有：根据三角形和差公式有：1.1. 叠加后的结果也是同频率正弦量。叠加后的结果也是同频率正弦量。2.2. 相位差对合成正弦量的幅值影响很大。相位差对合成正弦量的幅值影响很大。上式说明个特点上式说明个特点：四、四、)sin()(imtIti是以解析式表示的：是以解析式表示

5、的：就是上式中的就是上式中的I Im m， I Im m反映了正弦量反映了正弦量振荡的幅度振荡的幅度。指指与交流电热效应相同的直流电数值与交流电热效应相同的直流电数值。R Ri ii i 通过电阻通过电阻R R时，在时，在t t 时间内产生的热时间内产生的热量为量为Q QR RI I例例I I 通过电阻通过电阻R R时，在时，在t t 时间内产生的热时间内产生的热量也为量也为Q Q定义：定义： 让周期电流让周期电流i i和直流电流和直流电流I I分别通过两个分别通过两个阻值相等的电阻阻值相等的电阻R R，如果在相同的时间，如果在相同的时间T T内，两内，两个电阻产生的热量相等，则称该直流电流个

6、电阻产生的热量相等，则称该直流电流I I的值的值称为周期电流称为周期电流i i的有效值。的有效值。由于直流电在电阻上做功大小为由于直流电在电阻上做功大小为 I I2 2RT ,RT ,于是于是根据定义有：根据定义有：222200sinTTmI RTi RdtRItdt22201 cos222TmmtRTII RTRIdt即：即：0.7072mmIII结果说明正弦电流的有效值等于最大值的结果说明正弦电流的有效值等于最大值的0.7070.707倍。同理，倍。同理，正弦电压的有效值为：正弦电压的有效值为：得得0.7072mmUUU交流电有效值的日常应用交流电有效值的日常应用1.1. 日常用的交流电源

7、，电压日常用的交流电源，电压220V220V是指有效值。是指有效值。2.2. 一般电器铭牌上标有的电压、电流（即额定电压、电流）是指有效值。一般电器铭牌上标有的电压、电流（即额定电压、电流）是指有效值。3.3. 一般交流电压表、交流电流表上的刻度是指有效值。一般交流电压表、交流电流表上的刻度是指有效值。U U=180V=180V，则，则U Um m255V255V正弦量的正弦量的三要素是三要素是和和最大值反映了最大值反映了正弦交流电的正弦交流电的；角频率；角频率反映了正弦量反映了正弦量；初相确定；初相确定了正弦量了正弦量何谓正弦量的何谓正弦量的三要素？它们三要素？它们各反映了什么各反映了什么？

8、耐压为耐压为220V220V的电容的电容器，能否用在器，能否用在180V180V的正弦交流电源上的正弦交流电源上？255V255V 220V220V3-2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法一、复数及其运算一、复数及其运算 用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度a a称为复数称为复数A A的的，模总是取正值。该有向线段与实轴正，模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹角方向的夹角称为复数称为复数A A的的。O a1 +1a2 A+ja复数复数12Aaja复数复数A A的实部的实部a a1 1及虚部及虚部a a2 2与模与模a a及辐角及辐角的

9、关系为：的关系为：sin2aa cos1aa 2221aaa12arctgaa其中其中1.1.复数的表示形式复数的表示形式: : 根据上式关系式及欧拉公式根据上式关系式及欧拉公式sincosjej可将复数可将复数A A 表示成代数型、三角函数型、指数型和表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型极坐标型4 4种形式。种形式。aaejaajaaAjsincos21代数型代数型三角函数型三角函数型指数型指数型极坐标型极坐标型sin2aa cos1aa 2221aaa12arctgaa其中其中O a1 +1a2 A+ja121ajaaA221bjbbB2.2.复数的四则运算复数的四则运算：设两复数为

10、设两复数为：(1)(1)相等。若相等。若a a1 1= =b b1 1，a a2 2= =b b2 2，则，则 A A= =B B。(2)加减运算（平行四边形法则）：加减运算（平行四边形法则）：)()(2211bajbaBA(3)乘除运算：乘除运算：12jjA Baebe12()jabe12()ab12jjAaeBbe12()12()jaaebb若将一个复矢量若将一个复矢量I IM M 用复数表示用复数表示jMIe复矢量按复矢量按角速度逆时针旋转，如下图：角速度逆时针旋转，如下图：t直角坐直角坐标系中标系中有一有一有有向线段向线段旋转的矢量旋转的矢量可以描述一可以描述一个正弦量个正弦量旋转起来

11、旋转起来投影投影mImIjecos()sin()tjtj te()()jtjtjMIeee旋转的复矢量为：旋转的复矢量为： 观察复矢量，其中观察复矢量，其中 是复常数，即上图的未旋转的是复常数，即上图的未旋转的复矢量，而复矢量，而 是旋转因子，投影时反映了正弦函数的角是旋转因子，投影时反映了正弦函数的角速度。速度。)sin()(umtUtu 设设)sin()cos()(umumtjUtUtu Im 则则)(utjmeU ImtjjmeeUu Im tjmeU Im sin()Im()MtI则有：则有： 则则 umjmmUeUUu 式式中中的相量称为)(tu)sin()(imtIti 同同理理，

12、设设的相量称为)(ti imjmmIeIIi 说明一个三角函数等于一个旋转向量在虚轴上的投说明一个三角函数等于一个旋转向量在虚轴上的投影。考虑正弦交流线性电路中，电压和电流的频率影。考虑正弦交流线性电路中，电压和电流的频率是不会改变的，为化简计算，将旋转向量的投影中是不会改变的，为化简计算，将旋转向量的投影中的旋转因子去掉，剩下相量部分代表一个三角函数的旋转因子去掉，剩下相量部分代表一个三角函数。且为了与数学上的复数区别开来，将。且为了与数学上的复数区别开来，将相量相量符号上符号上方加方加标号。即：标号。即：Im)sin( tjmmeUtU从式子：从式子：sin()mummUtUU正弦量正弦量

13、相量相量)sin(imtIiimmII)sin(umtUuummUU)sin(2itIiII)sin(2utUuUU幅值相量幅值相量有效值相量有效值相量幅值相量幅值相量有效值相量有效值相量上式说明有效值相量上式说明有效值相量和振幅相量的关系和振幅相量的关系：IIm2UUm2幅值相量与有效值向量：幅值相量与有效值向量：例：例：1 1、写出下列正弦电压的相量（用直角坐标式表示）写出下列正弦电压的相量（用直角坐标式表示）：V2sin210tuV43sin210tu(2)解解：3243(1)1010101024jjUe VUeVV V (2) (1)(1) 2.将下述正弦量用相量表示：将下述正弦量用相

14、量表示：01(1) 5sin(31460 ) it02(2) 5sin(31460 ) it0025602.5 2602I 0015 602.5 2 602I 00035sin(31460180 ) = 5sin(314120 )itt03(3) 5sin(31460 ) it 0035 602.5 2602I 04(4) 10cos(31460 ) it3 3、指出下列各式的错误：、指出下列各式的错误： A530sin530jeti(1)(1)V45sin210010045teUj(2)(2)A3010I(3)(3)A2020eI(4)(4)000410sin(3146090 ) 10sin

15、(314150 ) itt00410 1507.07 1502I 4.将下列指数形式的相量用代数形式表示：将下列指数形式的相量用代数形式表示：0090009000(1)22(cos90sin90222cos( 90sin( 90 )2jjUeVjVj VUeVjVj V +) = (2) )+ = - n相量图：相量图： 相量也可以在复平面上用矢量表示。相量也可以在复平面上用矢量表示。图中相量图中相量 的长度为的长度为E E代表正弦量的有效值，与实代表正弦量的有效值，与实轴夹角轴夹角0等于正弦量的初相位等于正弦量的初相位。V 871561002250).sin()(ttuV15015 02U2

16、1 UUU001501512020 cos)cos(001501512020 sin)sin(001501512020 j8299922 .j0132325.V 87156250.V12020 01U解：解：？求求已已知知)()()()cos()()sin()(tutututtuttu210201 V 60100215 V 120100220 例例3-1V 15010021560100215 002)sin()cos()(tttu五、用相量法求五、用相量法求同频率同频率正弦量的代数和正弦量的代数和. . * 若用三角函数直接求解，则必须应用三角公式：若用三角函数直接求解，则必须应用三角公式：

17、. sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(V8715610025).cos(t)cos()sin()()()(002160100215120100220 tttututu)sincoscos(sin00120100120100220 tt)sinsincos(cos006010060100215 ttt1006015120202 00sin)sincos(t1006015120202 00cos)cossin()cos.sin.(tt10082910099222 ).sin(1323100225 t)tgsin(cossin121222121 KKKKKK 及及)

18、sin()()sin()()sin()(ubbbuutUtutUtutUtu 2 2 2 222111设设bkkbtutututu121 )()()()(则则对对应应于于bkkbUUUU121 有有 将相量法推广到多个同频率正弦量相加情况：将相量法推广到多个同频率正弦量相加情况：ubbbuuUUUUUU 222111)sin()()sin()()sin()(ibbbiitItitItitIti 2 2 2 222111同同理理设设bkkbtitititi121 )()()()(则则对对应应于于bkkbIIII121 有有ibbbiiIIIIII 222111bkkbkkUI110 0 相相量量

19、形形式式bkkbkktuti110 0)()( 时时域域形形式式 KCL KVL .由相量的线性性质可得：由相量的线性性质可得：一、基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫定律的相量形式 . .P813.3 3.3 元件约束和结构约束的相量形式元件约束和结构约束的相量形式(3)(3)相量相量 ) sin(2iRRtIi) sin(2iRRtIRu时域下的电阻模型时域下的电阻模型) sin(2uRtU0iuRRRIU RiRuRRIRRIUU 二、电阻元件约束的相量形式(1)(1)相位差相位差 电压、电流同相位电压、电流同相位(2)(2)有效值有效值相量分析相量分析时电阻时电阻的模型的模型例例3.3.

20、1 已知某电阻已知某电阻R=100,接于初始相角为接于初始相角为300的的220V工工频正弦交流电源上，试分别以时域和相量形式求通过电阻频正弦交流电源上，试分别以时域和相量形式求通过电阻R的电流的电流i。解：由已知条件可知电阻上的电压为：解：由已知条件可知电阻上的电压为：（1）用时域形式解：）用时域形式解：（2）用相量形式解）用相量形式解00220 2sin(31430 ) 220 30utVUV00220 2sin(31430 )2.2 2sin(31430 )100utVitAR00220 302.2 30100UVIAR（3 3）相量）相量 ) sin(2iLLtIitiLuLLdd)

21、2 sin(2iLLtLIu) sin(2uLtUiu2LLLIULXL ( ) j2LLuLiLLUULIX I三、电感元件约束的相量形三、电感元件约束的相量形式式（1 1）相位差）相位差 电压超前电流电压超前电流9090（2 2）有效值）有效值 感抗感抗 时域下时域下电感电感的模型的模型相量分析相量分析时电感时电感的模型的模型例例3.3.2 某线圈的电感某线圈的电感L=0.01H,接于接于 的的电源上，试求当电压频率为电源上，试求当电压频率为10KHZ时通过线圈的电流，并时通过线圈的电流，并写出电流的三角函数式。写出电流的三角函数式。解：根据已知条件解：根据已知条件当电压频率当电压频率f=

22、10KHZ时时电流有效值为：电流有效值为：三角函数式为：三角函数式为：0220 60UV00004220 600.35 (6090 )0.35302100.01UVIAAj Lj0.35IA0200.35 2sin(230 )0.35 2sin(628 1030 )iftAtA0220 2sin(60 ) utV（3 3）相量）相量 （2 2）有效值）有效值 容抗容抗（1 1）相位差）相位差 电压滞后电流电压滞后电流9090) sin(2uCCtUutuCiCCdd) 2 sin(2uCCtCUi) sin(2iCtI2iuCCICU1CXC1CCiCiCCUXCUII1j 四、电容元件约束的

23、相量形式四、电容元件约束的相量形式相量分析相量分析时电容时电容的模型的模型时域下时域下电容电容的模型的模型例例3.3.33.3.3一电容一电容C=40C=40F F，接于，接于220V220V初始相位为初始相位为30300 0的正弦的正弦交流电源上。（交流电源上。（1 1）试计算当电源频率为）试计算当电源频率为50HZ50HZ时的容抗及时的容抗及电流值；（电流值；（2 2）画出电压、电流的相量图；（）画出电压、电流的相量图；（3 3）写出电流）写出电流的三角函数式。的三角函数式。解解：（：（1 1）根据已知条件，电压的相量为）根据已知条件，电压的相量为容抗为容抗为（2 2）电压、电流的相量图）

24、电压、电流的相量图电流值为电流值为（3 3）电流的三角函数式）电流的三角函数式0 220 30UcV61179.6250 40 10CXC 0000220 302.76 (3090 )2.76 12079.6CUVIjjAAX02.76 2sin(314120 )citA例例3.3.4，右图为元件，右图为元件A与与B串联的正弦交串联的正弦交流电路，已知元件流电路，已知元件A和和B上的电压分别为上的电压分别为求总电压求总电压u，并画出三个电压的相量图。，并画出三个电压的相量图。解解:(1)根据已知条件，根据已知条件， 与与 的电压相量为的电压相量为因此因此得得(2)相量图相量图0010sin(1

25、20 ) , 8sin(30 )AButVutVAuBu0 10120AMUV0 8 30BMUV 00(10120 )(8 30)MAMBMUUUV000010cos( 120 )10sin( 120 ) 10cos(30 )10sin(30 )jj58.666.9441.944.66jjj 2204.661.944.665.0567.41.94arctgV05.05sin(67.4 )utV3.4 3.4 复阻抗复阻抗定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，并用符号的比值为该无源二端网络的阻抗，并用符号Z Z表示，表

26、示，即：即：mmIUZIUZZ+U无源二端网络+UII(a) 无源二端网络 (b) 等效电路或或. . ZIUIUZiu根据定义：根据定义：IZU欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式 阻阻抗抗角角iu 的的模模复复阻阻抗抗式式中中ZIUZ 即电压超前电流的相位角即电压超前电流的相位角 N0+_IU 阻抗阻抗 电阻电阻 电抗电抗XRZj22XRZRX tanarc一般情况下阻抗的值一般情况下阻抗的值： 可见一般情况下，电阻、电抗、复阻抗三者之间是可见一般情况下，电阻、电抗、复阻抗三者之间是一个三角形关系，叫阻抗三角形，如上图所示，从一个三角形关系，叫阻抗三角形，如上图所示，从图可得：图可得：在特

27、例情况下才有：在特例情况下才有： 1 1 （容容抗抗）电电容容的的阻阻抗抗CXjXCjZCCC 单位均为欧姆（单位均为欧姆（） CCLLRRICjUILjUIRU 1 （电阻）（电阻）电阻的阻抗电阻的阻抗RRZR （感感抗抗）电电感感的的阻阻抗抗LXjXLjZLLL Lj LU+_LICU+_CICj 1R+_RIRUCLRUUUU)jj(CLXXRI j)j(ZXRXXRIUZCL2222 )(XRXXRZCLRXXCL tanarc 0 0CLXX 感性电路感性电路 0 0CLXX容性电路容性电路 0 0CLXX阻性电路阻性电路 根据根据KVLKVL：2.2.RLC RLC 串联复阻抗串联

28、复阻抗. .由由KCLKCL可证明：可证明：kUUUU 21kZIZIZIZI 21SknkknkknkXRZZ111SjXRjkIIII 21kZUZUZUZU 21p nkkZZ1P1 1由由KVLKVL可证明：可证明：3.3.复阻抗串联复阻抗串联. .4.4.复阻抗并联复阻抗并联. .UYI欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式 N0+_IU 导导纳纳角角uiy 的的模模复复导导纳纳式式中中YUIY yuiYUIUIZY 15 5、导、导 纳纳 . .导纳的定义导纳的定义即电流超前电压的相位角即电流超前电压的相位角 1 1 （感感纳纳）电电感感的的导导纳纳LBjBLjYLLL 单位均为西门

29、子（单位均为西门子（S S） CCLLRRUCjIULjIUGI 1 1 （电导）（电导）电阻的导纳电阻的导纳GRGYG （容容纳纳）电电容容的的导导纳纳CBjBCjYCCC CU+_CICj G+_RIRULU+_LILj 1+ULICIGCj Lj 1GIICjLjGUIY 1 式式中中CLGIIIIUCjULjUG 1UYUCjLjG)( 1CLRYYY导纳的并联导纳的并联 总总导导纳纳为为则则个个导导纳纳（阻阻抗抗）并并联联，一一般般情情况况下下，若若 n nkkYY1Y1YnY221111ZZ 21 YYY联联时时当当两两个个导导纳纳（阻阻抗抗）并并2121ZZZZ2111YYYZ例

30、例 ：求求= 4 rad/s时的等效相量模型时的等效相量模型 。 . 564041420187201874 .)()(jjjjjjZ解解：712H1/80 F71j8j2014.04j4.56等效相量模型等效相量模型 14.04等效时域模型等效时域模型 1.14H .4654. LXL例例3.4.1 右图是一右图是一R、L、C串联电路，已串联电路，已知知R=5.L=0.01H，C=100F F，计算当，计算当电源频率分别为电源频率分别为50HZ50HZ和和1000HZ1000HZ时电路的复时电路的复阻抗。阻抗。解解：（：（1）当电源）当电源f=50HZ时时（1）当电源）当电源f=1000HZ时

31、时6250 0.013.141131.8250 100 10LCXLXC 621000 0.0168.2111.5921000 100 10LCXLXC 220()5(3.1431.8)28.66528.66528.6629.1380.315LCZRj XXjjarctg220()5(62.8 1.59)61.21561.21561.2161.4 85.35LCZRj XXjjarctgRLC+-u例例3.4.2已知某无源二端网络端口电压为已知某无源二端网络端口电压为 电流为电流为 ，问（，问（1）二端网络是感性还是容）二端网络是感性还是容性？（性？（2）画出该网络等效的元件串联电路，并标出其

32、参数。）画出该网络等效的元件串联电路，并标出其参数。解：解： （1）电压、电流的相量为）电压、电流的相量为电路复阻抗为电路复阻抗为等效电路如图等效电路如图其中等效电阻其中等效电阻R=0.19等效电感等效电感0 80 45MUV0400 30MIA0 400sin(1030 )itA080sin(1045 )utV0000080 450.2 15400 300.2cos150.2sin15(0.190.05)MMUZIjj0.050.00510LXLHHRL+-u，二二端端网网络络呈呈电电感感性性。阻阻抗抗角角0150 ，二二端端网网络络呈呈电电感感性性。或或：电电抗抗 0 050 .X二、分析

33、方法二、分析方法1.1.解析法：利用第一、二章所述方法求解。解析法：利用第一、二章所述方法求解。注意：已知或未知的物理量要以相量形式表示，注意：已知或未知的物理量要以相量形式表示，阻抗、感抗、容抗要以复数形式表示。阻抗、感抗、容抗要以复数形式表示。2.2.相量图法：选定参考相量，分别画出相关物相量图法：选定参考相量，分别画出相关物理量的相量图，通过平行四边形法则，确定理量的相量图，通过平行四边形法则，确定所要求的解。所要求的解。 3.5 正弦交流电路分析举例正弦交流电路分析举例V 01500500200ooo2RCUUU , , , 5 , , V 200 ,A 210 ,A 10 12121

34、CLLXXRRXRUII求o: 0 VCCCUUU解 设为参考相量:oo1210 90 A 10 245 A II02.1.010101010jjIIIV 0505010oo22 RIUR三、举例三、举例 已知：已知：1.1.解析法：解析法：15101501IUXCC )j7.55 . 7( 45sin21545cos215 452154521001500000022jIUZC由由21LZRjX得得 R1=7.5,XL=7.5 为参考相量设解CU:2.2.相量图法：相量图法：U2RUI1RILI2I1ICU例例3.5.3当当f=50HZ,R=60时，求时，求C的值的值解（解（1）相量法）相量法

35、22CCRXarctgRRX222222222222()()CCCCCCRXRRXRXarctgRRXRXRX22222222CCCCCRjRXRRXjRXRXRX1()()()CCCCCCCCCCIUjXjRXR RjXjRXIjXRjXRjXRjXURjX由电路得由电路得6130.6 1030.6314360CFFF01tan60360CXRC060CXarctgR02tan302CMCCCCRMRRCRIIIUXRRCIIU RXI由于电容电流要超前由于电容电流要超前总电流总电流600，因此有，因此有（2）相量图分析法）相量图分析法 由相量图有由相量图有06tan301330.6 103

36、0.6314 60CFFR解：解：. . 例例3.53.5.4 .4 . .相量图。相量图。，并画出，并画出及及、求求已知已知uiiitiCLRs A50002340sin.P87 A96116096108500340040000.SRRIYYI2mHiLiCiRRCiLis25F5 +uS961085007500400250100400.jjjYYYYCLRIRICILI+USIS 040.S 0250.jS 10.jRYLYCYV96149611502500.RIRUV961496108500340 000.YIUS或或UA128409610850034010000.jIYYISLLA91

37、5110961085003400250000.jIYYISCCV961500024A91515000210A1285000240A961500021600000).sin().sin(.).sin(.).sin(.tutititiCLRA9611600.RIV96140.URISILICI0961.0128.例例3.5.5 这是常用的相移电路，已知这是常用的相移电路，已知求有效值求有效值U2以及与输入电压以及与输入电压u1的相的相位差，并画出相量图。位差，并画出相量图。12,0.01,1 ,5000RK CF UV fHz1U2URC+-+2U1UICU011 0UV 30612 103760

38、57.86.28 5000 0.01 10CZRjXj014001 02.66 1057.8376057.8UIAZ解：设输入电压为解：设输入电压为40202.66 1057.82000 0.532 57.8UIRV有效值为有效值为0.532V,相位差为相位差为57.80。相量图：相量图：例例3.5.6 已知已知 用叠加定理求用叠加定理求电路的电流电路的电流 、 。RICI0010 0 ,1 ,10 90SCSIRXU 01010 180 1010( 1010)(1)()112CCCjjjIIIAjj 1010011RRRjjIIIAAjj101SRCCUjIIARjXj1010(10)11C

39、SRjIIIAjj101C SRCjX IjIARjXj 解：由电路有解：由电路有3.6 3.6 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率一、一、R R、L L、C C 元件的功率元件的功率1. 1. 电阻元件的功率电阻元件的功率)(sin2)(sin2tUutIi)2cos1 (sin2sin2tUItItUiup瞬时功率用小写瞬时功率用小写！uip=UI(1-p=UI(1-cos2cos2 t)t)ttUIUIUIUIcos2cos2 t t设：设：（1 1）瞬时功率）瞬时功率p p：002211( )(1 cos2)TTPp t dtUIt dtTTUUII RR 平均功率反映了电路中实际消

40、耗的功率。所以又称为平均功率反映了电路中实际消耗的功率。所以又称为有功功率，用有功功率，用 P P 来表示。因此对于电阻来表示。因此对于电阻1. 1. 瞬时功率瞬时功率p p随时间变化；随时间变化； 2. 2. p p0,0,为耗能元件。为耗能元件。2.2.电感元件的功率电感元件的功率utUutIicossinLmLmtIUtItUiup2sinsincosLmLmL（1 1）瞬时功率）瞬时功率 p pip=Up=UL LI Isin2sin2 t tttu iu i 关联关联, ,吸收电能吸收电能; ;建立磁场建立磁场; ;p p 0 0u iu i 非关非关联联, ,送出能量送出能量; ;

41、释放磁能释放磁能; ;p p 0 0u iu i 非关非关联联, ,送出能量送出能量; ;释放磁能释放磁能; ;p p 0u i 非关联非关联,吐出能量吐出能量;释放电能释放电能;p 0u i 非关联非关联,吐出能量吐出能量;释放电能释放电能;p 0p为正弦波，频率为为正弦波，频率为ui 的的2倍；在一个周期内，倍；在一个周期内，C吸吸收的电能等于它释放的电收的电能等于它释放的电场能。场能。设设0d sin2 10ttIUTPCTCP P=0=0，电容元件不耗能。，电容元件不耗能。1. 1. 电容元件在直流、高频电路中如何？电容元件在直流、高频电路中如何？ Q Q反映了电容元件与电源之间能量交

42、换的规模。反映了电容元件与电源之间能量交换的规模。C2C2CXUXIUIQC2. 2. 电感元件和电容元件有什么异同？电感元件和电容元件有什么异同？直流时直流时C C相当于开路，高频时相当于开路，高频时C C相当于短路。相当于短路。 L L和和C C上的电压、电流上的电压、电流，且具有，且具有L L和和C C都是都是它们都是在电路中都是它们都是在电路中都是 jZXRIUZ二、二端网络的功率二、二端网络的功率对于一个二端网络对于一个二端网络总阻抗为：总阻抗为：其电阻、电抗和复阻抗组成一个阻抗三角形，其电阻、电抗和复阻抗组成一个阻抗三角形， 称为阻抗角。称为阻抗角。( )2sin(2)uu tUt

43、001( ) ( )cos()TTuiUIpu t u t dtdtTTcos()cosuiUIUI( )2 sin(2)ii tIt( )i t( )u tZRjX设：设：则有功功率为：则有功功率为： 称称为为功功率率因因数数 0 若若 0 若若 cos定定义义 )(电电路路呈呈感感性性滞滞后后则则ui 电电路路呈呈容容性性）超超前前则则(ui亦亦称称为为功功率率因因数数角角 1 1、有功功率、有功功率 . .)(.)cos(超前超前 86603002 : :后后，例例如如值值之之后后应应标标明明超超前前或或滞滞通通常常在在 )(.cos滞滞后后 86603001 或或（容容性性）一般情况下

44、一般情况下 P UI单位：伏安（单位：伏安（VA）定义定义 S =UI 称为视在功率称为视在功率 2视在功率视在功率 或或（感感性性） 视在功率是指电源输出的额定视在功率是指电源输出的额定容量容量。是描写电源的物理量。是描写电源的物理量之一。用户必须根据用电设备的总视在功率选用与它配套的电之一。用户必须根据用电设备的总视在功率选用与它配套的电源。源。IRU+RU+LU+CU+UICULUUCLXUUU QQQCL 即即 CLQQUIQ sin式式中中称为单口网络的无功功率，单位仍为乏（称为单口网络的无功功率，单位仍为乏（var）。）。 sin| | UUUCL sinUUUCL sinUIIU

45、IUCL 3 3、无功功率、无功功率 . .Ni(t)u(t)+|cosZRUUSPR S=UI电压三角形电压三角形 .阻抗三角形阻抗三角形 .UXUURRX|Z| sinUIQ cosUIP 功率三角形功率三角形 . 22QPS4. P、Q、S、 之间的关系之间的关系 .coscos(W)PSUIsinsin(var)QSUIknkPP1knkQQ12211()()nnkkkkSPQ若二端网络内部由多个复阻抗元件组成，则若二端网络内部由多个复阻抗元件组成，则例例。和和、，求电路的，求电路的 SQPttuSV 22cos)(1F+)(tuS11H1F1H1)(ti1)(ti23iV010j2

46、50j . j0.5j2+111I2I3ISU解：应用支路电流法可得解：应用支路电流法可得 050511015021032031321IjIjIjIjIII.).(.)(A4397180 A3174 1990 A7505630 030201.III解解得得V010j2 50j . j0.5j2+111I2I3ISU W357011 2221.IIP或或 W357075001.cosIUPSvar 4360750 01.sinIUQSvar 4360505022 23222221.IIIIQ或或VA 0.563 1IUSSVA 5630 22.QPS或或 6307500（感感性性）.cos A4

47、397180 A3174 1990 A7505630030201.IIIV010j2 50j . j0.5j2+111I2I3ISU例例3.6.1有一感性负载，其额定电压有一感性负载，其额定电压UN=220V，频率，频率f=50HZ，额定功率因数为额定功率因数为0.5，满载的等效电阻，满载的等效电阻R=12。(1)试计算负载试计算负载的额定电流的额定电流IN、额定功率、额定功率PN，以及额定状态下工作时视在功率，以及额定状态下工作时视在功率S及无功功率及无功功率Q。（。（2）若将）若将一个一个C=150F F的电容器并联接于的电容器并联接于220V220V的工频交流电源上，试分析电路提供的电流

48、、视在功率、的工频交流电源上，试分析电路提供的电流、视在功率、无功功率、有功功率及功率因数；负载通过的电流、负载两端无功功率、有功功率及功率因数；负载通过的电流、负载两端的电压，有功功率、无功功率、视在功率及功率因数。（的电压，有功功率、无功功率、视在功率及功率因数。（3 3）若将同样的电容与负载串联，情况如何？若将同样的电容与负载串联，情况如何？（a)电路模型电路模型(b)并联电容并联电容(c)串联电容串联电容解解;由电路模型得由电路模型得1. 阻抗角为：阻抗角为：12240.5RLRZ 0arccos0.5600220 0U 000220 09.176024 60NNUIZ2212 9.1

49、71NNPRIWKW1.2.5PSKV AKV A222221var1.73varQSPK61121.2250 150 10CZjj cj 00220 010.38 9021.2CCUIAAZj000(9.176010.38 90 ) 5.21 28RLCIIIAA 所以所以024 60RLZ负载电流为：负载电流为：功率为：功率为：2.并联电容后：并联电容后：电容的复容抗电容的复容抗电容的电流：电容的电流：总电流：总电流：设负载电压相量为：设负载电压相量为：RXLZRL060负载阻抗为：负载阻抗为：02cos( 28 )0.88220 5.21 .1.15.SUIV AKV A0cos( 28

50、 )1.15 0.881PSKWKW0sin( 28 )0.54varQSK 00(24 6021.2)122.1RLCZZZj 功率因数和功率为：功率因数和功率为：3.电容串联后电容串联后负载电流和电压负载电流和电压 远大于负载值，因此不应该使用串联电容。远大于负载值，因此不应该使用串联电容。24 18.3439.2RLRLUZIVV000220 018.3 2.1122.1UIAAZ 三、功率因数意义三、功率因数意义 反映了二端网络的性质。反映了二端网络的性质。0对对电感性电感性电路，电路， ，习惯上称为，习惯上称为功功率因数落后率因数落后。0对对电容性电容性电路，电路， ，习惯上称为，习

51、惯上称为功功率因数超前率因数超前。 涉及到电源设备的涉及到电源设备的“利用率利用率”。电源利用率降低则若电源得到最充分利用则若SPSP1cos1cos3.7 3.7 功率因数的提高功率因数的提高一、一、 功率因数低将产生的问题功率因数低将产生的问题： 发电设备（或配电设备）的容量不能充分利用。发电设备（或配电设备）的容量不能充分利用。 例如某区安装有例如某区安装有50KVA50KVA的变压器作照明使用的变压器作照明使用, ,假设假设照明均用照明均用20W20W日光灯日光灯, ,联同镇流器一起，消耗功率为联同镇流器一起，消耗功率为28.128.1, ,其视在功率为其视在功率为77VA,77VA,

52、因此因此, ,该变压器只能供该变压器只能供 50000/77=64950000/77=649同样的变压器同样的变压器, ,就可以供就可以供 50000/40=1250 50000/40=1250 盏灯用电盏灯用电. .可见可见, ,提高功率因数提高功率因数, ,供电资源就得到更充分的利用供电资源就得到更充分的利用. .盏灯用电盏灯用电, ,若将功率因数改变为若将功率因数改变为0.7,0.7,则此时的视在功率为则此时的视在功率为: : S=28.1/0.7=40VA S=28.1/0.7=40VA 增加线路和发电机绕组的功率损失增加线路和发电机绕组的功率损失。 rIPIUPIPU2coscos一

53、定时，和当 例例, ,现有一用电设备为电感性负载现有一用电设备为电感性负载, ,其功率为其功率为P=10KW,P=10KW,功率因数为功率因数为0.6,0.6,接于接于220V50HZ220V50HZ的电源的电源, ,为其供电电源设备的容量为其供电电源设备的容量S S至少为至少为: : 1016.670.6PSKVA输电线上的电流大小为:16.6775.76cos220 0.6PPIAUU2275.760.1574I RW*221011.110.911.1150.5cos220 0.950.50.1574255PSKVAPPIAUUI RWW若输电线电阻为0.1,则线路损耗为:若将功率因数提高

54、到0.9,则线路损耗为:二、二、 功率因数不高的原因功率因数不高的原因 实际的用电设备，如电动机、变压器、日光实际的用电设备，如电动机、变压器、日光灯、电焊机等都属于感性负载。灯、电焊机等都属于感性负载。 功率因数不高的根本原因是：由于电感性负功率因数不高的根本原因是：由于电感性负载的存在。载的存在。三、三、 提高功率因数的方法提高功率因数的方法 合理使用用电设备合理使用用电设备 当用电设备（如电动机或变压器）在空载或当用电设备（如电动机或变压器）在空载或轻载时，负载的感性太重而阻性太轻，使功率因轻载时，负载的感性太重而阻性太轻，使功率因数很低。数很低。 所以，应避免电机、变压器的空载运行和大

55、所以，应避免电机、变压器的空载运行和大电机带小负载的轻载运行电机带小负载的轻载运行。 并联电容器并联电容器 以日光灯电路为例说明并联电容提高功率因数。以日光灯电路为例说明并联电容提高功率因数。LR2U灯管R1SI.220V 日光灯电路等效电路CLRU.220VI.C一一支支20W20W的光管的光管, ,实际消耗的功率实际消耗的功率P=28W,P=28W,平时由于镇流器平时由于镇流器L L的存在的存在, ,降低了电路的功率因数降低了电路的功率因数, ,无电容补偿时，功率因数无电容补偿时，功率因数为为coscos=0.365 =0.365 ，电源输送的功率就大于，电源输送的功率就大于28W28W。

56、若在输入。若在输入端并联一个电容端并联一个电容C,C,就可以提高功率因数，就可以提高功率因数，电源输送的功率电源输送的功率就降低就降低。其中电容值可由电路的相量图得出其中电容值可由电路的相量图得出UILICI 1 2 其原理是：并联电容后其原理是：并联电容后, , 原感性负载取用的电流不变原感性负载取用的电流不变, , 吸收的有功无功都不变，即负载工作状态没有发生任何变化。吸收的有功无功都不变，即负载工作状态没有发生任何变化。由于并联电容的电流领先总电流，从相量图上看由于并联电容的电流领先总电流，从相量图上看, , U I U I 的夹的夹角减小了角减小了, , 从而提高了电源端的功率因数从而

57、提高了电源端的功率因数coscos 。 设设I Ia a为为电流的有功分量电流的有功分量,I,IC C为流过电容电流的有效值为流过电容电流的有效值, ,由由右边的相量图可得右边的相量图可得: :tantanCIIaIacosCPUIaIIU CUXc 2(tantan)CIPCUU 补偿容量也可以用功率三角形确定：补偿容量也可以用功率三角形确定：)tgtg( 212UPC 1 2PQCQLQS S221 )tgtg( CUQPQQQCLCLR2U灯管R1SI.220V 日光灯电路C对于上例20W日光灯,若想将功率因数从原来的0.365提高到0.7,则需要的电容为:2(tantan)PCU200

58、228tan(arccos0.365)tan(arccos0.7)22025028(tan68 41tan45 34 )2.8220314F 按照供电规则按照供电规则: :企业用电的功率因数不低于企业用电的功率因数不低于0.9,0.9,高压高压供电企业不低于供电企业不低于0.95,0.95,但也不应该太高但也不应该太高, ,太高时再节省能源太高时再节省能源有限有限, ,但同时需要配置大量高压大电容但同时需要配置大量高压大电容。3.8 3.8 电路的谐振电路的谐振 f (kHz)UR (V) V 正弦信号源 0.00 kHz 频率计 0.000 晶体管毫伏表晶体管毫伏表 晶体管毫伏0.00 V

59、3.005.0000.87 11.000 9.000 8.760 7.0001.82 2.57 2.49 1.610.871.822.572.491.615.0007.0008.7609.00011.000R62090 33mH 0.01Fr L C当当f=8.76kHz时，时，输出电压最大。输出电压最大。串联谐振实验电路串联谐振实验电路 。电电路路发发生生谐谐振振)(CLjRZ 1 ，获获得得最最大大值值、一一定定时时，当当RUIU+U+RULj Cj IR一、一、 串联谐振串联谐振 .，使使电电感感电电容容调调节节电电源源频频率率或或调调节节RZCLLC 01 )( 0 1 CL 1. 串

60、联谐振的条件串联谐振的条件LC1 0 LCff 2102. 串联谐振电路的特征串联谐振电路的特征 +U+RULj Cj IR 1 功功率率因因数数同同相相与与，IURZ 。率率等等于于视视在在功功率率无无功功功功率率为为零零，平平均均功功 SP 谐谐振振角角频频率率：ILURUCUURCLUUUU 0RUIIUjQURLj0 UjQURCj01 ， LCUUCRRL001 CL001 CLRUU0IRLU00ILj CU001ICj UUUUCLQ品质因数品质因数QLCR+su+Lui+Ru+Cu，V30260)sin()(ttuS 例例 已知已知RLC串联电路中串联电路中R=2、L=5mH、