二次根式有关概念及性质

1、二次根式的有关概念及性质、二次根式的有关概念:1.二次根式：式子*L(a C 叫做二次根式2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式;(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中，5二，-都是最简二次根式3同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次 根式就叫做同类二次根式。如一，】；就是同类二次根式，因为=2，-=3 ，它们与的被开方数均为 2。4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如二与 T，a+八

2、与，门与门+，互为有理化因式。、二次根式的性质:1.(a C 是一个非负数，即-二02. 非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：)2=a(a 0)fa(a 0)3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对含有 4 是可开得尽方的因数，又如砾+ y)3都不是最简二次根式，而(6)值，即=|a|=-(6)4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即(a0,b)05.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即（a O,b0。三、例题：例 1.x 为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：（1）二 （2（3）_ I（4） 亠二 _+、：（ 5） 0,.XW6时原式

3、有意义。（2）vx2 0,. X2+30, x 取任意实数原式都有意义。(3)弹 d.当 x0.+ 5 0 L(5)I -1 * 0.当 x0且 xl时，原式有意义。502:-x=2当 x=2 时，原式有意义。例 2.写岀下列各等式成立的条件：(1)一=-3x( 2)=-mn 丄丨(3)=1+2a(4)丿藍-1 =J啟十J1 -言(5)厶 -：1：:：=7分析：本题考察算术平方根的概念及二次根式的性质。 -3x0, 3x 0, x 0.(2).=*=|m n|L =-m n.0 且 nW 0.=|2a+1|=1+2a丄1+2a 0, 二- 1 0 卜沁注-1 x+lO 怎 X-1I- x= .

4、(5). J/ +10 x +至_J4 4 盂十疋上=|x+5|-|2-x|=7只有 |x+5|=x+5, |2-x|=x-2 时才成立,mnc 0,成立，隐含m 0,(4)由题意得解:p：+50例 3.化简下列各式:(6)“厂1 (y3,二 L 一 二 =|3-n|=-3.=|2-x|+|2-x|+|x-3|=x-2+x-2+3-x=x-1.能 7沦g）:二- x2.(1)(2x3)(2) a2m1(m0)(3)(3)T2x3,原式=解：（ 1）+|2-x|+ -1 - : -lL- (2)m0,要使-有意义，则a0分析：本题需逆用性质(a0,b只能将根号外的正因式移至根号内（4）血一 1

5、尸=|3x-1|=1 畛在这里我们分 3x-10或 3x-10分析：本题需逆用性质(a0,b只能将根号外的正因式移至根号内(6)Vy0, 原式=二.一=2|xy| 1=-2|x|y - 1当 x0 时，原式=-2xy -；当 x0 时,原式=2xy (7)+J-I ”=+丄 =|4-x|+|x+1|若|4-x|=0,则 x=4。若|x+1|=0 则 x=-1，则本题需要将x 的取值分成三段，即分1x三段来进行讨论。当 x-1 时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x.当-1x4时，原式=x-4+x+1=2x-3.例 4.把根号外的因式移至根号内:x0分析：本题需逆用性质(a0,b只能将根号外的正因式移至根号内(2) -5 二(m 0)(4)(5) a-解：(1) 2 - = M= -(2) _5：-i =_ ： =- -A(3)T m 0, m五=、1赫蕊=寸亦形。(4)x(x 0(1)解：由已知可得： -1 x=2, y=1当 x=2, y=1 时x