高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积及应用举例课件 文

1、第三节平面向量的数量积及应用举例总纲目录教材研读1.平面向量的数量积考点突破2.向量的数量积的性质3.向量的数量积的运算律考点二平面向量数量积的应用考点一平面向量数量积的运算考点三平面向量与三角函数的综合问题4.平面向量的数量积的坐标表示1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作=a,=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab=|a|b

2、|cos.OAOB教材研读教材研读(3)规定0a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设是a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.2.向量的数量积的性质向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos .(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(4)cos =

3、 .(5)|ab|a|b|.| |a bab3.向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= .(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|= ,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则abx1x2+y1y2=0. 22xyAB222121()()x

4、xyy1.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120,则ab为()A.10 B.-10 C.10 D.-1033D答案答案 D ab=|a|b|cos 120=54cos 120=20=-10.故选D.122.已知|a|=2,|b|=6,ab=-6,则a与b的夹角为()A. B. C. D. 3632356D答案答案 D cos =-.又因为0,所以=,故选D.| |a bab6 32632563.设a=(5,-7),b=(-6,t),若ab=-2,则t的值为()A.-4 B.4 C. D.- 327327A答案答案 A由ab=-2得,5(-6)+(-7)t=-2,-7t=28,所以t=

5、-4,故选A.4.在边长为1的等边ABC中,设=a,=b,=c,则ab+bc+ca=( )A.- B.0 C. D.3BCCAAB3232答案答案 A依题意有ab+bc+ca=+=-,故选A.12121232A5.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .2答案答案2解析解析ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.6.已知平面向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|= .233答案答案 3解析解析|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2|a|b|cos+1=4-2+1=3,|a+b

6、|=.233典例典例1(1)设四边形ABCD为平行四边形,|=6,|=4.若点M,N满足=3,=2,则=()A.20 B.15 C.9 D.6(2)(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2 B.- C.- D.-1ABADBMMCDNNCAMNMPAPBPC3243考点一平面向量数量积的运算考点一平面向量数量积的运算考点突破考点突破答案答案(1)C(2)B解析解析(1)依题意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故选C.(2)以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,

7、0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC313,22(+)=2=2(-1-x,-y)=2=2.因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B.PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy1434PAPBPC3432方法技巧方法技巧向量数量积的两种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时

8、,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题1-1 (2017陕西西安八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是()A.-3 B.- C.3 D. CDBA53 2253 22答案答案 A依题意得,=(-2,-1),=(5,5),=(-2,-1)(5,5)=-15,|=,因此向量在方向上的投影是=-3,故选A.BACDBACDBA5CDBA|BA CDBA1555A1-2已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接D

9、E并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为()A.- B. C. D. AFBC581814118B答案答案 B建立如图所示的平面直角坐标系.所以=,所以=(1,0)=.故选B.AF15 3,88AFBC15 3,8818则B,C,A,所以=(1,0).易知DE=AC,FEC=ACE=60,则EF=AC=,所以点F的坐标为,1,021,0230,2BC12141413,88考点二平面向量数量积的应用考点二平面向量数量积的应用命题方向命题视角平面向量模的问题求平面向量的模或已知模求解问题平面向量的夹角问题求两向量的夹角或已知夹角求参数平面向量的垂直问题利用两向量垂直的条件求参数典例典例2(1)(

10、2018河南郑州质检)已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|=()A. B. C.57 D.61(2)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|=1,则|+|的最大值是 .357613CDOAOBOD命题方向一平面向量模的问题命题方向一平面向量模的问题答案答案(1)B(2)+17解析解析(1)由题意可得ab=|a|b|cos=3,所以|2a-3b|=,故选B.(2)设D(x,y),由=(x-3,y)及|=1,知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹是以点C为圆心的单位圆.又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-

11、1,y+),|+|=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,故的最大值为+1.即|+|的最大值是+1.32(23 )ab224|9|12aba b16813661CDCDOAOBOD33OAOBOD22(1)(3)xy3322(3 1)(03)722(1)(3)xy7OAOBOD7典例典例3(1)(2016课标全国,3,5分)已知向量=,=,则ABC=()A.30 B.45 C.60 D.120(2)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=()A.2 B. C.0 D.- BA13,

12、22BC3 1,2236333命题方向二平面向量的夹角问题命题方向二平面向量的夹角问题答案答案(1)A(2)B解析解析(1)cosABC=,向量间的夹角的取值范围是0,所以ABC=30,故选A.(2)a=(1,),b=(3,m),|a|=2,|b|=,ab=3+m,又a,b的夹角为,=cos,即=,+m=,解得m=.| |BA BCBABC32329m36| |a bab62332 9mm32329m3典例典例4(1)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1 B.abC.ab=1 D.(4a+b)(2)已知向量a=(k,3),b=

13、(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数k=()A.- B.0 C.3 D. ABACBC92152命题方向三平面向量的垂直问题命题方向三平面向量的垂直问题答案答案(1)D(2)C解析解析(1)b=-=,|b|=|=2,故A错;=22cos 60=2,即-2ab=2,ab=-1,故B、C都错;(4a+b)=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4a+b),故选D.(2)2a-3b=(2k-3,-6),由(2a-3b)c,得(2a-3b)c=0,即4k-6-6=0,解得k=3.选C.ACABBCBCBABCBCBC规律总结规律总结平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的

14、夹角:cos =,要注意0,.(2)两向量垂直的应用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),则|a|=.| |a baba a2()ab222aa bb 22xy2-1(2017课标全国课标全国理理,13,5分分)已知向量已知向量a,b的夹角为的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .答案答案2 3解析解析由题意知ab=|a|b|cos 60=21=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.1232-2

15、 (2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .7答案答案7解析解析a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.2-3若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是 .答案答案 9,2 9,32解析解析2a-3b与c的夹角为钝角,(2a-3b)c0,即(2k-3,-6)(2,1)0,4k-6-60,k3.又若(2a-3b)c,则2k-3=-12,即k=-.当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c

16、,即2a-3b与c反向.综上,k的取值范围为.92929,2 9,32典例典例5已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.3考点三平面向量与三角函数的综合问题考点三平面向量与三角函数的综合问题解析解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),ab,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x0,所以x+,从而-1cos.于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;3333563336x67,666x3266当x+=,即x=时, f(x)取到最小值-2.6563规律总结规律总结平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,先运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界