18整式的除法

1、整式的除法一、知识要点（1）单项式除以单项式的法则（2）多项式除以单项式的法则的依据（3）多项式除以单项式的运算法则二、技能要求1.掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能运用它们进行运算。2.进行整式的加、减、乘、除、乘方等比较简单的混合运算，并能运用运算律与乘法公式运算。三、重要数学思想 在学习整式除法法则和整式除法运算的过程中，初步掌握转化的数学思想方法，注意由多项式到单项 式，从未知向已知的转化。四、主要数学能力1.在推导除法法则的过程中，培养观察、分析 、综合、类比、归纳、转换、概括等思维能力。2.在整式的混合运算中，透彻理解算理，言必有据，灵活运用运算律与乘法公式，使运算

2、简便，培养 运算能力。五、学习指导1.两个单项式相除：两个单项式相除可分为三个步骤：（1）把系数相除，所得的结果作为商的系数。（2）把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式。（3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式。这里显然指的是被除式能被除式整除的情况，所以两个单项式相除，在现阶段仍是一个单项式。2例1.计算：(1) (-0.5a2b3x2)-(- ax2)4x2y(- y)4x2y2(5xmV)2r(-xy)23(2ax)2(- a4x3y3)-(-2解：(-0.5a2b3x2)-(-ax2)=25x2m-2n+4=4(- )(-2)(a2a4-a5)(x2x3-x)

3、(y3-y2)=6ax4y=6a2+4-52+3-1x3-2y5 2axy )分析：此题为两个单项式相除，运用法则计算 2=(-:)(-:)a21b3x222=-ab3i_4x2y(- y)-4x2y2 丄=4X(- )x (x2一x2)(yy-y2)丄2-2 1+1-2=-亠x y丄 =-亠xy=-亠x1x2-2=1,被除式中含有的字母b,连同它的指数作为商的一个因式b3.分析：此题为单项式乘除混合运算系数相乘除作为商的系数，相同字母相乘除用法则运算。x0y0=1(5xmV)2r(-xy)2分析：混合运算先做乘方再乘除m+2、2n 2=(5x )(y )-(-xy)2n第一步：被除式做的积的

4、乘方,=25x2m+42n2n 2n-y-x y除式是幂的乘方第三步做单项式=25x2m+4-2n2n-2n-y乘除混合运算y2n-2n=y0=1(2ax)2(- - a4x3y3)-(- a5xy2)3=4a2x2(- a4x3y3)十(-a5xy2)3分析:第一步先求(2ax)第二步用单项式乘除法则运算例2.计算：(1) (6x108)一(3x103)一(-4x10-4)(2) 9(m-n)4-3(m-n)解：(6x108)-(3x103)-(-4X10-4)=33x42=27x16=432(法一)a12b8*a9b6分析：法(一)运用两个单项式相除的法则进行计算12-9 , 8-63,

5、2=a b =a b法(二)运用积的乘方的逆变形转化成(a3b2)的同底数幂相除进行计算分析：此题可仿同底数=6x二x(-1 )(108-103-10-4)11=-亠x1083(4)=-上x108-3+41=-:x109幂的乘除混合计算进行第一步运算将10的幂的系数相乘除，10的幂相乘除第二步再做10的幂的乘法(2) 9(m-n)4-3(m-n)3343x(m-n)(m-n)=3(m-n)4-3=3(m-n)=3m-3n.分析：此题运用两个单项式相除的法则(m-n)的系数相除，(m-n)的指数相减3(m-n)不能作结果，应用乘法分配律计算例3.计算：(1) 1213-(310 x411)(2)

6、 a12b8-a9b6(3) -(-2a2)5-(-a)33解：(1) 1213-(310 x411)分析：将1213进行变形，1213=(3x4)13用积的乘方逆变形运算=(3x4)13十(310 x411)=313x413十(310 x411)=313-10 x413-11第二步可用法则展开最后将结果计算出来(法二)a12b8-a9b=(a3b2)4ra3b2)3=(a3b2)4-3=a3b2-(-2a2)5*-(-a)33分析：运算时注意符号，特别是负号较多时=-(-32a10)ra9)10-9=32a=32a14例4.设a=3,b=-,n=1.求a2n+1b3n-1一an-1b2n-3

7、的值。分析：求值问题一定先观察代数式是否能进行化简，若能进行化简应先化简再求值。解：/a2n+1b3n-1一an-1b2n-3分析：第一步至第三步应用两个单项式相除的法则进行计算=a2n+1-n+1b3n-1-2n+3an+2bn+2再应用积的乘方的逆变形为(ab)n+2,计算起来简便。长方体的高解：设长方体的高为h,其体积为-a二ah,正方体体积：a3等量关系：长方体体积=亠x正方体体积14又 -a= ,b=-,n=1将已知的a值，b值，n值代入化简后的式子(ab)n+2再求值原式=(ab)n+214=(:x - )1+22 =(_)3=匸I11=(ab)n+2例5.已知底面一边长为-a，另

8、一边长为-a的长方体的面积是棱长为a的正方体体积的,求2n+1-(n-1)=a3n-1-(2n-3)n+2=an+2 依题意可得：1 a 1 a h= a3h=二a3( - a -a)丄1=(十叮)(a3-2)丄=-aJ_答：长方体的高为-a。2.多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.不管是多项式的乘法还是多项式的除以单项式，都是应用分配律：(a+b)(mHn)=a(n)+b(m+ n) , (a+b+c) *m=a*mi+b*mHc*m将其转化为已经熟知的单项式的乘法和单项式的除法.从这里可以看岀乘、除法分配律的功用这种将尚未解决的问题转化

9、为已经解决的问题的形式的思想在数学 上称为化归思想望同学们深刻体会.例6.计算：(1)(6mn41 - min3+mln3)*min3；(2)2(x+y)34(x+y)2xy*(x+y).分析：(2)中若把被除式中的一xy变形为一(x+)将(x+y)作为一个整体，本题即可运用多 项式除以单项式的法则进行计算.? 孑 孑解:(1)(6min4I-mn3+ -min3)min32 2 2 2 254334333333 3=6mn*- mnmn*- mn +- mn*- mn32=10mn- m+1；32(2)2(x+y)4(x+y)x-y-(x+y)=2(x+y)34(x+y)2(x+y)*(x+

10、y)=2(x+y)24(x+y)122=2(x2xyy )4x4y122=2x4xy2y4x4y1例7.已知除式=3x2+2y，商式=9x46x2y+4y2，余式=x8y3,求被除式.分析：由“被除式=商乂除式+余式来求被除式若被除式能被整除，则余式为零.解： 由题可知所求被除式为(3x22y)( 9x46x2y4y2)x8y3=3x2( 9x46x2y4y2)2y ( 9x46x2y4y2)x8y3=27 x618 x4y12 x2y218yx412x2y28y3x8y3=27 x6x.例8.说明任意奇数的平方被4除，余式是1.分析： 任意奇数可表示为2n+1(n为整数).根据被除数、除数、

11、商和余数间的关系，如果能说明被除 数减去1能被4整除，则问题便得解.解： 设任意奇数为2n+1 (n为整数)，因为(2 n1)21=4 n24 n11=4 n24 n，又因为n是整数，所以4 n2+4 n是4的倍数，即4 n2+4 n能被4整除所以任意奇数被4除余数是1.测试选择题1.若 a+a-1=3,则 a2+a-2的值为()A.5 B. 7C.9D.112.如果a2+b2+c2=ab+ac+bc,贝U a、b、c的关系是()A.a=b工c B.a工b工c C.a=b=c D.a工b,a=c3.如果(n-1)n(n+1)能被6整除，那么n3+5n()A.能被5整除B.能被6整除C.不能被6

12、整除D.能被30整除4+ 203 -A.-C_0斗20江B 2X?/3+ 20XZ-42牴丄 +-D.-答案与解析解析:1、B11/a+a-1=3,. a+l =3,. (a+L )2=321 1即:a2+2XaxL- +(l- ) L9丄 a2+2+(L- )2=94.已知一多项式与单项式的积为4Vs-* 0.212y则这个多项式为V5已知多项式x2+mx+5 与X2-3X+n 的乘积中不含有x3和 x2的项，贝 U m n 的值为(A.B.m-3M- 4C.D.答案：1、B2、C3、B 4、A 5、B22 a +(L：) =9-2即 a2+W=72、C2 2 2解：Ta +b+c =ab+

13、ac+bc2 2 2 2(a +b +c )=2(ab+ac+bc)222 2a +2b +2c =2ab+2ac+2bc222 2a +2b +2c -2ab-2ac-2bc=0即：(a2-2ab+b2)+ (a2-2ac +c2)+(b2-2bc +c2)=02 2 2(a-b)+(a-c)+(b-c) =0 a=b=c3. B解： (n-1)n(n+1)能被 6 整除 (n2-1)n=n3-n能被 6 整除。33/ n +5n=n -n+6n n3-n 能被 6 整除6n 能被 6 整除 n3-n+6n 就一定能被 6 整除 n3+5n 就一定能被 6 整除。4. A由题意得:( )-2

14、严严 *5心3V% -iMyw= -Mg j4-2Ky十20-=5.B2 2解：(x +mx+5)(x -3x+n)=x4-3x3+nx2+m3-3mx2+mnx+5x2-15x+5n432=x +(m-3)x +(n-3m+5)x +(m n-15)x+5n不含 x3和 x2项m -3T- 4也可以只找到 x3和 x2项，令系数等于零，列方程组。整式的除法单项式除以单项式考点扫描掌握单项式除以单项式的运算法则，会进行单项式除法运算。名师精讲1 单项式除法法则：两个单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。2 单项式除以单

15、项式一般按以下步骤进行：(1)把系数相除，以所得结果作为商的系数。(2)把同底数幕分别相除，以所得结果作为商的因式。(3)把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式中考典例1.（四川成都）下列计算中正确的是（）A、a2+2a2=3a4B 2x3 （-x2）=-2x5C、（-2a2）3=-8a5D 6x2怜 2xm=3x2考点：幕的运算性质，单项式的乘法，单项式的除法评析：该题是一个综合性考查题，要求对各种运算法则都要熟练，特别是积的乘方，幂的乘方，及单项式除以单项式的法则。运用法则进行计算即可判定出正确选项为Bo数应相减而不是相除真题专练3451.(北京崇文区)_ a a * a

16、=。2.(山东临沂市)下列计算正确的是()A、c c3=c4B (a5)2=a7C、(a2b)3=a6bD (-2a2)2* (-4a )=13 （北京朝阳区）下列计算正确的是（）3只26336A、2x 3x =6xB、x +x =x多项式除以单项式说明：选项A 中 a 的指数应不变，不能相加，选项C 中，a 的指数应相乘，选项 D 中 x 的指1052C、x * x =x45-1-1D x * x y=x y4 （安徽省）计算x2y3*（xy）2的结果是（A、xyB、xC、y2xy答案： 1、a22、A3、D 4、C考点扫描掌握多项式除以单项式的法则，并会运用法则进行计算。名师精讲多项式除以

17、单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加。表达式为：（am+bm+cr）* n=am n+bm n+cm* n。注意：（1）多项式除以单项式的结果仍是多项式，项数与原多项式相同。（2 ）有多层括号或混合运算的习题，要按照运算顺序进行，结果要化成最简形式。说明：本节内容一般与分式结合在一起命题，单独命题较少。多项式除法技巧多项式除以多项式特殊的多项式除法（利用所学的乘法公式去做）（屮一/）+仏一=盘片&3 -b3) (a +&) - a -b.(异+2亦十仗十b)二鱼+ b, (a2- 2at + b3) + (乱辺利用竖式进行多项式除法例仁计算解：将被除式与除式均按x 降幕排列原式=(6/ -17/ +22-6) (2%-3)M -4/-心+22A-3)6A4-17A322A-6E -卅-8A3+ 0 -8x3十12/-12? + 22x_ 12/ +1张4齐齐_ 6较-6 0原式=-丄-。例2 .计算（5八卜 2_/T，pH * 2才-笺为解：先将被除式与除式均按x 的降幕（y 的升幕）排