2.量子几何与现代物理学详解

1、2、量子几何与现代物理学一个明智的科学家 应该在探索科学真理的过程中， 清醒地看到外部标准和内部标准的 应有地位，充分发挥二者的有效作用，使之珠联璧合、相得益彰，把科学认识推向前进。从 特殊的感性知识到逻辑自洽的理论体系的发展， 必须依靠数学。 没有新的逻辑自洽的数学形 式的出现， 新的物理学的普遍理论体系是不可能产生的。 物理科学所描绘的是实在的一个分 析性的方面； 经验告诉我们， 物理学所绘制的囹表使我们能够预测，有时还能控制自然界的 作用。 知识的大综合是时常进行的。 字谜画中的各个方块突然配合起来了； 不同的孤立的概 念由某一个伟大的科学家融合起来了，这时就会出现壮观的盛况牛顿创立天体

2、演化学， 麦克斯韦把光和电统一起来， 爱因斯坦把万有引力归结为空间和时间的一个共同特性， 都是 这样的情况。一切迹象都说明，还会有这样一次综合。在这样一个综合中，相对论，量子论 和波动力学可能会归入到某一个包罗万象的、统一的、单一的基本概念里去。“看到数学分布到很多领域，每个领域都需要奉献短短的一生，Einstein发现自己不 知如何是好，Einstein认为，对于一名物理学家，只要了解数学基础知识，并且知道怎么 用就足够了， 其它深奥难解的事对于物理学家没有什么价值。 到了后来， 他才认识到自己的 错误，但悔之晚矣。” 【1】20世纪理论物理学家说得最多的话题是广义相对论和量子理论，而量子几

3、何正是为现 代物理学这两大支柱整合服务的。 因为空间量子化不仅是许多物理学家曾经的猜测， 而且因 量子化概念本身的广泛应用已开启了人们的想象， 传统的量子引力方案是继承广义相对论经 典的表述方式， 即以度规场作为基本场量， 一个连续的背景时空会是量子场论中紫外发散的 根源。1971年R. Penrose首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满 足的代数关系相似，被称为spin network。1986年后，A. Ashtekar等物理学家借鉴了A. Sen的研究工作， 在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式， 即以自对偶自旋联络作 为基本场量 ，这组场量通常被称为Ashtek

4、ar变量，由此为正则量子引力的研究开创了一 番新的天地。同时T.Jacobson和L. Smolin发现Ashtekar变量的Wilson loop满足Wheeler-DeWitt方程。在此基础上C.Rovelli和Smolin提出把这种Wilson loop作为 量子引力的基本态， 从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: Loop QuantumGravity。1994年Rovelli和Smolin研究了Loop Quantum Gravity中的面积与体积算符的本征 值，结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和Penrose的spin network存在密切的对应关系。Loop

5、 Quantum Gravity因此也被称为量子几何（Quantum Geometry）。 这里它完全避免使用度规场， 从而也不再引进所谓的背景度规， 因此被称为是一种背景无关 的量子引力理论。一些物理学家认为Loop Quantum Gravity的这种背景无关性是符合量子 引力的物理本质的， 因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所 决定， 因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度规 不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。量子场论纲领认为， 场（量子场）才是第一性的实在，粒子不是永固不变的而只是派生的，通过激发和退激，粒子（

6、=场量子）在场中产生和湮灭，相互作用是通过量子场来实现的。 量子场以局域耦合和场量子的为基础。 总之，这种系统阐述方式，是植根于通过局域 耦合概念而建立的算符场的定域激发概念。 从数学角度看， 抽象的希尔伯特空间中的对称变 换群， 构成一般量子力学的数学基础， 可观察量是用其中的线性厄米算符表示的。 量子场论 所处理的是所谓的定域场（局域场） 。也就是说，场变量只在一个点空间才有定义，定域场 相当于一个算符， 定域的场算符。 量子场论确立之后， 能够用场理论的产生和湮灭算符方便 而精确地描述所有相关过程（包括玻色子、费米子的场，还包括其间的基本相互作用）。换句话说， 费米子和玻色子都被看作是一

7、个场的量子。 在场论的这种表述中， 引入产生和湮灭 算符（即a，a*或b,b*）以增加或减少在某种量子态中的粒子数。一个振子振幅的算符能 够产生或者毁灭振子的一个量子。这样， 物理上场量子的产生和湮灭过程以及哲学上的生成 论思想, 其关键性特征可以通过精致的数学形式加以刻画。 可见, 宇宙奥秘深藏于数学规律 的毕达哥拉斯主义理念,对由量子场所代表的流变的微观物理世界并没有例外。尽管在引力场几何化纲领和量子场纲领之间,从相互作用机制上说存在着深刻的区别（前者涉及宏观、外部空间,后者涉及微观、抽象空间） 。然而,引力场与量子场在场本体 论上却仍然有一致性。 曹天予在规范理论和基础物理学的几何化（1

8、987）中提出了将规范场与引力场进行细致类比的思想。 如果从规范场论的眼光来看引力场, 那么局域规范对 称性就可消除时空的平坦性,而仿射联络能够在弯曲时空中起到联络不同时空点方向的作 用。与引力场的弯曲时空相似, 物理系统的内部空间的方向在不同时空点也是不同的。 因此 局域规范对称性也要求引入规范势,这相应于规范作用,以便联络在不同时空点的内方向。 这样,规范势在规范理论的纤维丛空间中所起的作用, 恰好等同于仿射联络在广义相对论的 弯曲时空所起的作用。因此,规范相互作用应当看作一种新的几何化。Loop Quantum Gravity所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段。因 为从几

9、何上讲,Yang-Mills场的规范势本身就是纤维丛上的联络场,因此以联络作为引力 理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想。 不仅如此， 自旋联络对于研究引力 与物质场（尤其是旋量场）的耦合几乎是必不可少的框架， 因此以联络作为引力理论的基本 变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台。Rovelli和Smolin等人发现在Loop Quantum Gravity中由广义协变性， 即称为微分同胚不变性所导致的约束条件与数学上的 “节理论” 有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持。Loop Quantum Gravity与节理论之间的这种联系看似神秘， 其实在概念上

10、并不难理解， 微分同胚不变性的 存在使得Wilson loop中具有实质意义的信息具有拓扑不变性， 而节理论正是研究loop拓扑不变性的数学理论。 对Loop Quantum Gravity与物质场（比如Yang-Mills场）耦合 体系的研究显示，具有空间量子化特征的Loop Quantum Gravity确实极有可能消除普通场 论的紫外发散。我们知道一个量子系统的波函数由包含了对系统有影响的各种外场的作用。这种方程对于波函数Y是线性的，也就是说如果Y1和Y2是方程的解，那么它们的任何线性组合 也同样是方程的解。这被称为态迭加原理， 在量子理论的现代表述中作为公理出现， 是量子 理论最基本的

11、原理之一。 但是一旦引进引力相互作用， 情况就不同了。 因为由波函数所描述 的系统本身就是引力相互作用的源， 而引力相互作用又会反过来影响波函数， 这就在系统的 演化中引进了非线性耦合， 从而破坏了量子理论的态迭加原理。 不仅如此， 进一步的分析还 表明量子理论和广义相对论耦合体系的解是不稳定的。 其次， 广义相对论和量子理论在各自 “适用” 的领域中也都面临一些尖锐的问题。例如量子理论同样被无穷大所困扰，虽然由 于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅。 但从理论结构的角度看， 这些无穷大的出现预示 着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的“有效理论” 。因此广义相对论和量子理论不可

12、能是物理理论的终结， 寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更 普遍的理论是一种合乎逻辑和经验的努力。引力量子化早期的尝试,几乎用遍了所有已知的场量子化方法。 最主要的方案有两大类： 协变量子化和正则量子化。 协变量子化方法试图保 持广义相对论的协变性， 基本的做法是把度规张量分解为背景部分和涨落部份。 但不同的文 献对背景部份的选择又不尽相同，这种方法和广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相 承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空中引力子的相互作用。在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为2的无质量粒子，即引力子。由于这种分解展开使用的主要 是微扰方法， 随着一些涉及理论重整化

13、性质的重要定理被相继证明， 基本上结束了早期协变 量子引力的生命。与协变量子化方法不同， 正则量子化方法一开始就引进了时间轴， 把四维时空流形分割为三维空间和一维时间 ，从而破坏了明显的广义协变性。时间轴一旦选定，就可以 定义系统的Hamilton量（哈密顿量），并运用有约束场论中普遍使用的Dirac正则量子化 方法。 与协变量子化方法一样， 早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难， 这些困难既有 数学上的， 也有物理上的， 比如无法找到合适的可观测量和物理态。 当然量子引力还有另一 种极为流行的方案是超弦理论 。与传统的量子几何相比,量子引力只不过是超弦理论的一个 部份。 从量子引力的角度来

14、看， 传统的量子几何是正则量子化方案的发展， 而超弦理论则通 常被视为是协变量子化方案的发展。 这是由于当年受困于不可重整性， 人们曾经对协变量子 化方法做过许多推广， 比如引进超对称性， 引进高阶微商项等， 这些推广后来都殊途同归地 出现在超弦理论的微扰表述中。 因此虽然超弦理论本身的起源与量子引力无关， 但它的形式 体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展。经过十几年的发展， 目前LoopQuantum Gravity已经具有了一个数学上相当严格的框架。 除背景无关性之外，Loop Quantum Gravity与其它量子引力理论相比还具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是

15、非微扰的。一个国际合作的研究小组在1月17日出版的英国自然杂志上，报告了他们对于地球重力场量子化的观测结果。 他们让冷却到非常接近绝对零度的中子在重力场中运动， 同时 用一个探测器观测中子的下落。 结果他们发现， 中子的下落过程不是连续的， 而是从一个位 置“跳”到了另外一个位置，这一过程与理论的预测相符合，从而实际观测到了引力场的量子效应。不带电微粒子（如中子）在低真空度的管室内，在地球引力场的自由下落，不是 沿下垂线连续落下的，而是阶梯式下落的。 这表明引力场实际上也是象原子内的电磁场那样， 也有能级的，是离散的。 行星、 卫星稳定轨道的不连续分布早就表明了这点，只是人们没从这一观点上去认

16、识而已！Einstein的广义相对论场方程直接支配运动方程，而无须引入任何新的常量。事实上，Einstein的广义相对论的运动方程可以直接从表述能量动量张量的散度等于0的方程r=Tur中得出，因此electric field的方程应当直接得出量子跃迁的条件。在任何自恰的场理论基础中， 不应该在场的概念上附加任何粒子概念。 整个理论的基础应仅仅建立在偏 微分方程及其非奇性解上。【2】拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变的一门学科，1873年麦克斯韦把拓扑学的连通性理论应用于电磁学的研究。 如果考虑到拓扑空间结构没有时间轴， 那么electric field的理论基础可能不是仅仅建立

17、在偏微分方程及其非奇性解上。中微子不带quantity of electricity而具有引力质量说明其只具有度量结构，不具有拓扑结构。电磁质量与引力质量的差异性是对称的相对性的表现形式， 续分布、度量空间结构与拓扑空间结构、惯性差异等。目前，物理学在最基本的问题上还远未形成比较一致的认识，物质的最基本单元是球 粒子、 是弦、是圈还是孤立波， 各种理论有不同的说法。 四种自然力的微观作用机制也没有 建立起相应的物理力学模型， 现有的模型也基本属于数学、 几何模型。 往往人们在设想物理 模型的过程中陷入绝境时，会倒退回数学领域，即：建立与观测事实相拟合的数学、 几何模 型。哥白尼创立日心说的初衷不是因为地心说的计算与观测不符，而是系统的复杂性让人例如数值在实数集上量子分布与连难以容忍。 哥白尼创立日心说后的一百多年间， 地心说仍然处于主导地位。 除宗教的原因外， 其中也因为日心说的理论计算与观测数据符合的精度并未超越地心说。 海王星的发现， 才最 终证明了日心说的正确性，也证明了牛顿力学体系的正确性。虽然主流物理学家认为：物理力学模型只是建设物理学大厦