五年级奥数-第十二讲工程问题之牛吃草教师版

1、第十二讲 工程问题之牛吃草问题教学目标：1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他的 普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.解“牛吃草”问题的主要依据：1草的每天生长量不变；2每头牛每天的食草量不变；3草的总量二草场原有

2、的草量-新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值4新生的草量 二每天生长量 天数.同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定 1 头牛 1 天吃草量为“1 ”草的生长速度=（对应牛的头数较多天数-对应牛的头数 较少天数）-（较多天数-较少天数）;原来的草量 二对应牛的头数吃的天数-草的生长速度 吃的天数；吃的天数 二原来的草量（牛的头数-草的生长速度）；牛的头数二原来的草量吃的天数草的生长速度.“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等， 只有理解了 “牛吃草”问题的本质和解 题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题.例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例

3、 1 1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃完。 若是 21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“ 1 ”7 头牛吃 6 周共吃了27 6 =162份；23 头牛吃 9 周共吃了23 9=207份.第二种吃法比第一种吃法多吃了207-162=45份草，这 45 份草是牧场的草96 = 3周生长出来的，所以每周生长的草量为

4、45“3=15，那么原有草量为：162-6 15=72.供 21 头牛吃，若有 15 头牛去吃每周生长的草，剩下 6 头牛需要72, 6 =12（周）可将原有牧草吃 完，即它可供 21 头牛吃 12 周.V - 27 头牛 6 个星期【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长. 这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天供 25 头牛可吃几天？【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“ 1: 10 头牛吃 20 天共吃了10 20 =200份；15 头牛吃 10 天共吃了15 10 =150份.第一种吃法比第二种吃法多吃了200-150=50份草，这 50 份草是牧场的

5、草20-10=10天生长出来的，所以每天生长的草量为50亠10=5,那么原有草量为：200 -5 20=100.供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下20 头牛需要100亠20 = 5（天）可将原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天.【例 2 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供2727 头牛吃 6 6 周，或供 2323 头牛吃 9 9 周，那么它可供多少头牛吃 1818 周？【解析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“ 1”草的生长速度为（23 汉 9-27 汉 6）斗（9-6）=15，原有草量为（27-15）6 二 72 可供72-：-185=19（头）牛吃 18 周

6、【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天.那么它可供几头牛吃20 天？【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1,那么25-10=15天生长的草量为12 25-24 10 = 60，所以每天生 长的草量为60X5=4；原有草量为：24-4 10=200 .20 天里，草场共提供草200 4 20 =280,可以让280亠20 =14头牛吃 20 天.【巩固】（2007 年湖北省“创新杯”）牧场有一片青草，每天长势一样，已知 头牛96 天可以把草吃完.设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”那么每天新生长的草量为30 60 -70 24 门 60 -

7、24=10,牧场原1036心600，要吃96天，需要160小6汀20（头）牛.【巩固】 一牧场放牛 58 头，7 天把草吃完；若放牛 50 头，则 9 天吃完.假定草的生长量每日相等，每头 牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6 天可以把草吃完？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 个单位，则每天生长的草量为：（50 9-58 7f- （9 -7） =22，原有草量为：50 9 -22 9 =252, (252 22 6) 6 =64 (头)+ 23 头牛 9 个星期3 个星期* 21 头牛？个星期70 头牛 24 天把草吃完，30 头牛 60 天把草吃完，则【解10有草量为 30【巩

8、固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果 要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“ 1 ”则野果的生长速度是（21 12 23 9）“（12 一 9）=：15，原有的野果 为（23 -15） 9=72，如果要 4 周吃光野果，则需有72415 = 33只猴子一起吃【例 3 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃10 天？【解析】设 1

9、头牛 1 天的吃草量为“1 ”那么每天自然减少的草量为：20 515 6 - 6 5；=10，原有草量为：20 10 5 =150 ; 10 天吃完需要牛的头数是：150-：-10-10 =5（头）【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供 2525 头牛吃 4 4 天，或可供 1616 头牛吃 6 6 天，那么可供多少头牛吃1212 天？【解析】设 1 头牛 1 天吃的草为“1”牧场上的草每天自然减少（25 4 16 6）“（6-4）=2 ;原来牧场有草（252） 4 =108 ,12 天吃完需要牛的头数是：108“12-2=7（头）或（

10、108-12 2）“12=7 （头）。【例 4 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供20 头牛吃 5天，或可供 16 头牛吃 6 天那么，可供 11 头牛吃几天？【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“ 1,6-5 1天自然减少的草量为20 5-16 6=4，原有草量为：20 45 =120 若有 11 头牛来吃草，每天草减少14=15;所以可供 11 头牛吃120泪5=8（天）【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供 2525 头牛吃 4 4 天，或可供 1616 头牛吃 6 6 天，那么可供

11、1010 头牛吃多少天？【解析】 设 1 头牛 1 天吃的草为“1。牧场上的草每天自然减少（25 4 -16 6）“（6-4）=2原来牧场有草（252） 4 =108可供 10 头牛吃的天数是：108（10 *2）=9（天）。【例 5 5】 一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天.如果一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1 :由于一头牛一天吃草量等于5 只羊一天的吃草量，所以 100 只羊吃12 天相当于 20 头牛吃 12 天.那么每天生长的草量为1

12、6 20 -20 12 亠 20-12 =10 ,原有草量为：16 -1020 =120 10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量；25 头牛中，若有 10 头牛去 吃每天生长的草，那么剩下的15 头牛需要120-75 =8天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天.【巩固】 （2008年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将草吃完（4 只羊一天的吃草量相当于1 头牛一天的吃草量）。那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完？【解析】4 只羊一天

13、的吃草量相当于1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1,那么 14头牛 30 天吃了14 4 30 =1680单位草量，而 70 只羊 16 天吃了16 70 =1120单位草量，所以草 场在每天内增加了 （1680 -1120:（30 -1640 草量，原来的草量为1120-40 16=480草量，所 以如果安排 17 头牛和20 只羊，即每天食草 88 草量，经过 480（88 -40）=10 天，可将草吃完。【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供2020 头牛吃 1212 天，或可供 6060 只羊吃 2424 天。如果 1 1 头牛的吃草量等于 4 4

14、只羊的吃草量，那么 1212 头牛与 8888 只羊一起吃可以吃几天？【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1 :60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头 牛的吃草量，所以草的生长速度为（15242012 ） -（ 2 4 = ,1 原有草量为（2Q1 0 ） 12，1 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃 120“（12 22 _10） =5 （天）【例 6 6】 有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完.现有若干头牛吃了6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？【解析】 设 1 头

15、牛 1 天的吃草量为“1,那么每天生长的草量为 17 30 19 2430 24 =9，原有草量为：17 -930 =240.现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完， 如果不卖掉这 4 头牛， 那么原有草量需增加4 2=8才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为240 8 -8 9 =40 （头）.【巩固】 一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又增加了 2 头牛 一起吃，还可以再吃几天？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1,那么每天生长的草量为4 40_5 30 亠 40 _30 =1，

16、原有草量为：5 -1 30 =120 .如果 4 头牛吃 30 天，那么将会吃去 30 天的新生长草量以及 90 原有草量，此 时原有草量还剩120 -90 =30,而牛的头数变为 6,现在就相当于：“原有草量 30,每天生长草量 1, 那么 6 头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30“ 6-1 =6（天）.【例 7 7】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20 天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽.已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量.现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【解析】设 1 匹马 1 天吃草量为“1 ”根据

17、题意，有：15 天马和牛吃草量 二原有草量15天新生长草量20 天马和羊吃草量 =原有草量*20天新生长草量.30 天牛和羊（等于马）吃草量二原有草量30天新生长草量由（1） 2-（3）可得：30 天牛吃草量=原有草量，所以：牛每天吃草量=原有草量30;由可知，30 天羊吃草量=30天新生长草量，所以：羊每天吃草量二每天新生长草量；设马每天吃的草为3份将上述结果带入得：原有草量-60，所以牛每天吃草量-2.这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：60，23 j=12（天）.【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45 天吃完，于是马、羊吃需要

18、60 天吃完，于是牛、羊吃需要 90 天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？【解析】牛、马 45 天吃了 原有45天新长的草、牛、马 90 天吃了 2 原有90天新长的草马、羊 60 天吃了 原有60天新长的草牛、羊 90 天吃了 原有90天新长的草马 90 天吃了 原有90天新长的草所以，由、知，牛吃了90 天，吃了原有的草；再结合知，羊吃了 90 天，吃了 90 天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草.所以，知马 60 天吃完原有的草，知牛 90 天吃完原有的草.现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草1 1所需时间为

19、 1-：-（一 一）=36 天.9060所以，牛、羊、马一起吃，需36 天.模块二、“牛吃草问题”的变形【例 8 8】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内. .如果 1010 人淘水，3 3 小时淘完；如 5 5 人淘水，8 8 小时淘完. .如果要求 2 2 小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】 设 1 人 1 小时淘出的水量是“ 1 ”淘水速度是（5 8 -10 3） “（8 -3） =2，原有水量（10 - 2） 3 = 24 , 要求 2 小时淘完，要安排24“ 2- 2=14人淘水【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3 人淘水 40 分钟可以

20、淘完；6 人淘水 16 分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？【解析】设 1 人 1 分钟淘出的水量是“ 1,4） 62= 分钟的进水量为3 40 -6 16 = 24，所以每分钟的进 水量为24亠24=1，那么原有水量为：3-140 =80 . 5 人淘水需要 80 亠 5-1 =20 （分钟）把水淘完.【例 9 9】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年;或供 90 亿人生活 210 年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？【解析】（90 210 -110 90） “（210 -90） =75 亿人。【例

21、 1010】画展 8:308:30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 3 个入场口，9 9 点就不再有人排队；如果开5 5 个入场口， 8 8 点 4545 分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。【解析】设每分钟 1 个入口进入的人数为 1 个单位。8:30 到 9:00 共 30 分钟 3 个入口共进入3 30 = 90。8:30 到 8:45共 15 分钟 5 个入口共进入5 15=75, 15 分钟到来的人数90-75=15,每分钟到来1515=1。8: 30 以前原有人3 30-1 30=60。所以应排了60仁60（分钟），即第一个

22、来人在 7: 30【巩固】 画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 个入场口， 9 点 9 分就不再有人排队；如果开5 个入场口， 9 点 5 分就没有人排队.求第一个观众到达的时间.【解析】 如果把入场口看作为“牛”， 开门前原有的观众为“原有草量”， 每分钟来的观众为“草的增长速度”， 那 么本题就是一个“牛吃草”问题.设每一个入场口每分钟通过“ 1 ”份人，那么 4 分钟来的人为3 9-5 5=2，即 1 分钟来的人为2-：-4=0.5，原有的人为：3_0.5 9=22.5 这些人来到画展，所用时间为22.5亠0.5=45（分）所

23、以第一个观众到达的时间为8 点 15 分.点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样 多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了 解决 一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质.【例 1111】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 2020 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过3030 级台阶到达地面.从站台到地面有 _级台阶.【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有

24、一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台 阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯20-15=5秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：2 15-1 20=10阶，电梯的速度为10“5=2阶/秒，扶梯长度为 20 （1 2）=60 （阶）。【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3 级梯级，女孩每秒可走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100 秒，女孩走了 300 秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【解析】本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当

25、于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于 草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分：一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度 =（女孩每秒走的梯级x女孩走的时间一男孩每秒走的梯级x男孩走的时间）+（女孩走的时间一男孩走的时间）=（2 300 -3 100） （300 -100） =1.5 ,自动扶梯的梯级总数=女孩每秒走的梯级x女孩走的时间一自动扶梯的速度x女孩走的时间=2300 -1.5 300=600 -450=150（级）所以自动扶梯共有150 级的梯级。【例 1212】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行 15 千米，3

26、小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，每小时行45 千米，_分钟能追上。【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合.小明在3-1=2小时内走了15 3-35 1 =10千米，那么小明的速度为10“2=5（千米/时），追及距离为 15-5 3 =30 （千米）.汽车去追的话需3要：30 45-5（小时）=45（分钟）.4【例 1313】快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往B地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆 车分别用 7分钟、8 分钟、14 分钟追上骑车人.已知快车每分钟行800 米，慢车每分钟行 600米，中速车的速度是多少？【解析】

27、可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：（600 14 -800 7）（14 -7）=400（米/分），开始相差的路程为：（600 -400）14 =2800（米） ，所以中速车速度为：28008 *400 =750（米/分）.【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2 倍追赶乙车，5 小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追 赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【解析】分析知道甲车相当于“牛”甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的

28、草”设甲车的速度为“ 1”那么乙车5_3=2小时走的路程为2 5_3 3=1，所以乙的速度为1亠2=0.5， 追及路程为：2 -0.5 5=7.5 .如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5“ 10.5 =15（小时）.【例 1414】甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去甲、乙两车的速度分别是每小时60 千米和每小时48 千米.有一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6 小时、7 小时、8 小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度.【解析】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：（60 6 -48 7） “（7 6）=

29、24 （千米/时），全程：（60 24） 6 =504 （千米）， 丙车速度为：504亠8 - 24 =：39（千米/时）【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去小新、正南两人的速度分别是每分钟20 米和每分钟 16 米.在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6 分钟、7 分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度.【解析】当小新和风间相遇时，正南落后小新 6 20 -16 =24（米）,依题意知正南和风间走这24 米需要7_6=1（分钟），正南和风间的速度和为：24 =24（米/分），风间的速度为：24-16=8（米/分），学校到公园的距离为：24 7=

30、168（米）所以妮妮的速度为：168“8-8=13（米/分）.【例 1515】一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水 阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【解析】设一个排水阀 1 分钟排水量为“1”那么进水阀 1 分钟进水量为 1 30-2 10 30-10j=0.5， 水 池原有水量为 1 -0.530 =15 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要153 = 5（分钟）才能排完水池的水.【巩固】一个蓄水池有 1 个进水口和 15

31、 个出水口，水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时，如果打 开 9 个出水口，9 小时可以把水排空如果打开7 个出水口， 18 小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 _ 时_分水池刚好被排空.【解析】 本题是牛吃草问题的变形.设每个出水口每小时的出水量为1,则进水口每小时的进水量为：（7 18-9 9）（18-9）=5，半池水的量为：（9-5） 9=36，所以一池水的量为 72.如果打开全部 15 个出水口，排空水池所需要的时间为72 （15-5） =7.2 小时，即 7 小时 12 分钟.【例 1616】 北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并

32、且水量还在以一个不变的 速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开 一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线.根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？【解析】此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1,则水库每小时增加的水量为（1 30 -2 10） （30 -10） =0.5，原有的水量超过安全线的部分有（1-0.5） 30=15 .如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要开152, 0.5=8个泄洪闸.【巩固】（2008 年“希望杯

33、”五年级二试）有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管.开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水.后来，想打开出水管，使池 内的水全部排光.如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管， 则需6小时才能排尽池内的水若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水 管？【解析】设 1 根出水管 1 小时排水的量为“ 1”那么进水管每小时进水量为5 6 一 8 3“ 6 一 3 =2，池内原有水量为 8 -2 3 二 18 要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开18“4.52=6根出水管.【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库

34、的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游 的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相 同的，如果同时打开壶流河水库的5 个闸门 30 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的 4 个闸门 40 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24 小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门？【解析】 设 1 个闸门 1 小时的放水量为“ 1”那么每小时自然减少的水量为：40 4 30 5 - 40 30 j=1 ,实际注入水量为：5 -1 30 =120 ; 24 小时蓄水需要打开的闸门数是：120“ 247

35、=6（个）【例 1717】甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12 个工人，5 小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28 个工人，3 小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有 2 台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外 搬运面粉）【解析】设 1 人 1 小时搬运的份数为“ 1 :那么一台皮带运输机 1 小时的工作量为28 3 -12 5 “5-3=12，每个仓库存放的面粉总量为：12 12 5 =120 那么，丙仓库现有2 台皮带输送机

36、，如果要用2 小时把丙仓库内面粉搬完，需要12-2-12 2=36（人）【例 1818】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1 米，小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2 米，小方用 4 次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也 不变）【解析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2 4-1 3=5米路，所以从杯中流出的速度是15 =0.2（杯/米），于是 1 桶水原有水量等于3-3汇0.2二2.杯水，所以小方要 2.4“（1-3 0.2） =6 次才能把第三个

37、桶装满。【例 1919】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250 个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于牛在吃草” 所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1 ”，那么每天运来的砖为160 10 -250 6 -10-6 尸 25，原有砖的数量为：250 -25 6=1350 .如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的

38、砖以及 950 原有的砖，还剩1350-950=400的原有的砖未用，变成120*5=125人来砌砖，还需要：400, 125 -25 =4（天）【例 2020】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15 个工人砌砖墙，14天可以把砖用完，如果派 20 个工人，9 天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6 天后，调走6 名工人，其余工人又工作4 天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于牛在吃草” 所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1 ”，那么每天运来的砖为15 14 -20

39、 9 - 14 -9 =6，原有砖的数量为：15-6 14=126 .现在派若干名工人砌了 6 天后，调走 6 名工人，其余工人又工作4 天才砌完，如果不调走 6 名工人，那么这些工人共砌10 天可砌完126 6 10 6 4 =210，所以原有工人210-：-10 = 21名.课后练习:练习 1.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如 果每天用 4 辆汽车，则 9 天恰好运完；如果每天用5 辆汽车，则 6 天恰好运完。仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要多少天运完？【解析】设 1 辆汽车 1 天运货为“T，进货速度为(9 4 5 6) “(9

40、6)=2，原有存货为(42) 9=18，仓库 里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要18亠1=18(天)练习 2. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16 头牛可吃 15 天，或者可供 100 只羊吃6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 I 头牛的吃草量，那么 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃多少天?【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析16 头牛15 天16 X15 = 240 :原有草量+ 15 天生长的草量100 只羊(25 头牛)6 天25 X6= 150 :原有草量+ 6 天生长的草量从上易发现：1 天生长的草量=10 ;那么原有草

41、量：150 10 6 = 90;8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量，其中 10 头牛去吃新生草，那么剩下的 10 头牛吃原有草，90 只需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃 9 天。练习 3.( 2008 年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛)有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 _ 台抽水机。【

42、解析】设每台抽水机每小时抽 1 个单位的水，原计划需要 t 小时抽完则原计划8个小时抽的水量为8t,9台抽水机时抽水量为 9(t -8)10台抽水机时抽水量为 10(t -12)所以，8个小时的出水量为 8t -9(t -8) =72 -t ,12个小时的出水量为 8t -10(t -12) =120 -2t ,而泉水的出水速度是一定的，所以120 -2t =1.5 (72 -t)，解得t =24,所以每小时出水量为(72 -24 厂-8 =6，所以需要留下6台抽水机。练习 4. 一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5 5 台抽水机连续 2020 天抽干，6 6 台同样的抽水机连续1515

43、 天可抽干，若要 6 6 天抽干，要多少台同样的抽水机？【解析】设 1 台抽水机 1 天的抽水量为 1 ”则进水速度为(20 5 -15 6)亠(20-15)=2 ,原有水量为20 5 -20 2 =60,若要 6 天抽干，要60“6,2=12台同样的抽水机练习 5.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250 个工人砌砖墙，6 天可以把砖用完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于 牛在吃草”所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1 ”，那么每天运来的砖为160 10 250 6 -：T0_6j=25，原有砖的数量为：250 25 6=1350 .如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖，还剩1350950=400的 原有的砖未用，变成120 125人来砌砖，还需要：400-：-125 25 =4 （天）.月测备选【备选 1 1】一水库