2016-2017年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=2，1，0，1，2，B=x|x2+2x0，则AB=（）A1，2B2，1C1D2，1，02（5分）下列命题中的假命题是（）AxR，2x10BxN*，（x1）20CxR，lgx1DxR，tanx=23（5分）等差数列an中，若a3+a6+a9=12，则数列an的前11项和等于（）A22B33C44D554（5分）己知，则=（）ABC3D35（5分）如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯

2、视图如图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图其中真命题的个数是 （）A3B2C1D06（5分）已知非零向量，满足，且与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7（5分）设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（）A或B或2C或2D或8（5分）过点（1，1）的直线与圆x2+y24x6y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A2B4C2D59（5分）运行如图所示的算法框图，则输出的

3、结果S为（）AB0C1D10（5分）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点若，其中m，nR则m+n的取值范围是（）A（0，1）B（1，0）C（1，+）D（，1）11（5分）设Sn是等比数列an的前n项和，公比q0，则Sn+1an与Snan+1的大小关系是（）ASn+1anSnan+1BSn+1anSnan+1CSn+1anSnan+1DSn+1anSnan+112（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0x1时，f（x）=log3x记f（x）在10，10上零点的个数为m，方程f（x）=1在10，10上的实数根和为n，则有（）Am

4、=20，n=10Bm=10，n=20Cm=21，n=10Dm=11，n=21二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13（5分）已知f（x）=x3+mx，mR，若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，则m=14（5分）设a0，若展开式中的常数项为80，则a=15（5分）若变量x，y满足约束条件则的最大值为16（5分）在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，记S为最大的截面面积，T为最小的截面面积，则=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，（）当，求角B的大小；（

5、）求ABC面积最大值18（12分）在如图所示的几何体中，A1B1C1ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，ABCD，且，BDC=60°，E是C1D的中点（）求证：AE平面BB1D；（）当AE与平面ABCD所成角的正切值为时，求该几何体的体积19（12分）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从1565岁的人群中随机抽样了n人，得到如下的统计表和频率分布直方图（）写出其中的a、b及x和y的值；（）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人中没有第3组人的概率组号分组喜爱人数喜

6、爱人数占本组的频率第1组15，25）a0.10第2组25，35）b0.20第3组35，45）60.20第4组45，55）120.60第5组55，65200.4020（12分）已知椭圆E：（ab0）的离心率为，点F是其右焦点，点A是其左顶点，且|AF|=3（）求椭圆E的方程；（）过点F作不与x轴重合的直线交椭圆E于两点B、C，直线AB、AC分别交直线l：x=4于点M、N试问：在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数（）讨论函数f（x）的单调性；（）设g（x）=f（x）m若函数g（x）在区间上有且只有一个零点，求实数m的取值范围（注：e为自

7、然对数的底数）请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在极坐标系中，曲线的方程为=6cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数，R）（）求曲线的直角坐标方程和直线l的普通方程；（）设直线l交曲线于A、C两点，过点（4，1）且与直线l垂直的直线l0交曲线于B、D两点求四边形ABCD面积的最大值选修4-5：不等式选讲23已知实数a，b满足a+b=1（）求证：；（）若至少存在一个实数x，使得|xa|+|xb|5成立，求实数2a+3b的

8、取值范围2016-2017学年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2016秋安庆期末）设集合A=2，1，0，1，2，B=x|x2+2x0，则AB=（）A1，2B2，1C1D2，1，0【分析】化简集合B，根据交集的定义写出AB即可【解答】解：集合A=2，1，0，1，2，B=x|x2+2x0=x|2x0，则AB=1故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2（5分）（2014梅州一模）下列命题中的假命题是（）AxR，2x10BxN*，（x1）20CxR，l

9、gx1DxR，tanx=2【分析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D项正确由此可得本题的答案【解答】解：指数函数y=2t的值域为（0，+）任意xR，均可得到2x10成立，故A项正确；当xN*时，x1N，可得（x1）20，当且仅当x=1时等号存在xN*，使（x1）20不成立，故B项不正确；当x=1时，lgx=01存在xR，使得lgx1成立，故C项正确；正切函数y=tanx的值域为R存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B【点评】本题给出含

10、有量词的几个命题，要求找出其中的假命题着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题3（5分）（2016秋安庆期末）等差数列an中，若a3+a6+a9=12，则数列an的前11项和等于（）A22B33C44D55【分析】由等差数列an的性质可得：a3+a6+a9=12=3a6，可得a6再利用求和公式及其性质即可得出【解答】解：由等差数列an的性质可得：a3+a6+a9=12=3a6，可得a6=4则数列an的前11项和=11a6=44故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）（2016秋安庆期末）己知，则=

11、（）ABC3D3【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可【解答】解：由，a=（）=（）3，=，故选：B【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题5（5分）（2011山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图其中真命题的个数是 （）A3B2C1D0【分析】由三棱柱的三视图中，两个矩形，一个三角形可判断的对错，由四棱柱的三视图中，三个均矩形，可判断的对错，由圆柱的三视图中，两个矩形，一个圆可以判断的真假本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几

12、何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键【解答】解：存在正三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条件，故为真命题；存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故为真命题；对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故为真命题；故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键6（5分）（2016秋安庆期末）已知非零向量，满足，且与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要

13、不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】先根据向量的数量积和向量的垂直求出m的值，再根据充要条件的条件判断即可【解答】解：非零向量，满足，且与的夹角为60°，由，（m）=m=m22cos60°=0，解得m=1，“m=1”是“”的充要条件，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积和充要条件的定义，属于基础题7（5分）（2015江西校级模拟）设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（）A或B或2C或2D或【分析】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，

14、|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率【解答】解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，|PF1|+|PF2|=6m|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=；|PF1|PF2|=2m|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于=，故选：A【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征关键是利用圆锥曲线的定义来解决8（5分）（2014陕西模拟）过点（1，1）的直线与圆x2+y24x6y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A2B

15、4C2D5【分析】把圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距d的最大值，可得|AB|的最小值【解答】解：圆x2+y24x6y+4=0 即 （x2）2+（y3）2=9，表示以C（2，3）为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大而弦心距d的最大值为=，|AB|的最小值为 2=2=4，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题9（5分）（2016秋安庆期末）运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（）AB0C1D【分析】模拟程序运行数据，结合三角函数的周期为6，由于一个周期的和为0，2017=371×6+1，即可得到输出

16、值【解答】解：当n=1，S=0，即有S=cos=；n=2，即有S=+cos=0；n=3，即有S=0+cos=1；n=4，即有S=1+cos=1+（）=；n=5，即有S=+cos=+=1；n=6，即有S=1+cos2=1+1=0n=7，即有S=0+cos=；由于2017=371×6+1n=2017，即有S=0×371+=，故选：A【点评】本题考查程序框图输出值，注意运用三角函数的周期，考查运算能力，属于基础题10（5分）（2016秋安庆期末）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点若，其中m，nR则m+n的取值范围是（）A（0，1）B（1，0

17、）C（1，+）D（，1）【分析】先利用向量数量积运算性质，将，两边平方，消去半径得m、n的数量关系，利用向量加法的平行四边形法则，可判断m+n一定为负值，从而可得正确结果【解答】解：|OC|=|OB|=|OA|，1=m2+n2+2mncosAOB当AOB=60°时，m2+n2+mn=1，即（m+n）2mn=1，即（m+n）2=1+mn1，所以（m+n）21，1m+n1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=+=m+n，此时显然m0，n0，且|m|n|，m+n0，所以m+n的取值范围（1，0）故选B【点评】本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，

18、平面向量数量积运算的综合运用，属于中档题11（5分）（2016秋安庆期末）设Sn是等比数列an的前n项和，公比q0，则Sn+1an与Snan+1的大小关系是（）ASn+1anSnan+1BSn+1anSnan+1CSn+1anSnan+1DSn+1anSnan+1【分析】对q分类讨论，利用求和公式作差即可得出【解答】解：当q=1时，Sn+1an=（n+1），Snan+1=Sn+1anSnan+1=0当q0且q1时，Sn+1anSnan+1=0Sn+1anSnan+1综上可得：Sn+1anSnan+1故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、作差法、分类讨论方法，考查了推理能力与计

19、算能力，属于中档题12（5分）（2016秋安庆期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0x1时，f（x）=log3x记f（x）在10，10上零点的个数为m，方程f（x）=1在10，10上的实数根和为n，则有（）Am=20，n=10Bm=10，n=20Cm=21，n=10Dm=11，n=21【分析】利用函数的对称性，函数的奇偶性求解函数的周期，画出函数的图象，然后求解函数的零点个数【解答】解：函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（2x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，f（x+2）=f（x）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为

20、4，又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，当0x1时，f（x）=log3x可得x=1，f（1）=0，f（x）在10，10上图象如图：可得m=21，方程f（x）=1在10，10上的实数根分别关于x=7；3，1，5，9对称，实数根的和为n，n=146+2+10+18=10故选：C【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象与零点的个数问题，考查数形结合思想以及转化思想的应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13（5分）（2016秋安庆期末）已知f（x）=x3+mx，mR，若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，则m=2【分析】求出原函数的导函数，再由f（1）=0求解m

21、的值【解答】解：由f（x）=x3+mx，mR，得f（x）=2x2+m，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，f（1）=2+m=0，得m=2故答案为：2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题14（5分）（2016秋安庆期末）设a0，若展开式中的常数项为80，则a=2【分析】求出展开式的通项公式，利用常数项为80，建立方程关系即可得到结论【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为Tk+1=C5kakx102.5k，二项式的展开式中的常数项为80，当102.5k=0时，得k=4，此时常数项为C54a4=

22、80，即5a4=80，解得a=2，故答案为：2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项展开式的定理，求出展开式的通项公式是解决本题的关键15（5分）（2016秋安庆期末）若变量x，y满足约束条件则的最大值为【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率的一半求解【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）由=，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率且，的最大值为故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属中档题16（5分）（2016秋安庆期末）在正四面体ABCD中，E为

23、棱BC的中点，过E作其外接球的截面，记S为最大的截面面积，T为最小的截面面积，则=【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值、最大值，可得结论【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，设正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为2，可得外接球半径R满足2R=2，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到

24、截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=2，得到截面圆的面积最小值为T=r2=4S=R2=6，=，故答案为：【点评】本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值、最大值着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）（2016秋安庆期末）在ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，（）当，求角B的大小；（）求ABC面积最大值【分析】（）由已知及正弦定理可得sinB=，结合范围B（0，），可求B的值（）由已知及余弦定理，基本不等式可求1bc，进而利用三角形面积公式即可得解【

25、解答】解：（）a=1，由正弦定理可得：sinB=，又B（0，），B=，或（）a=1，可得：1=b2+c2bc2bcbc=bc，（当且仅当b=c=1时等号成立）SABC=bcsinA=，（当且仅当b=c=1时等号成立），即ABC面积最大值【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）（2016秋安庆期末）在如图所示的几何体中，A1B1C1ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，ABCD，且，BDC=60°，E是C1D的中点（）求证：AE平面BB1D；（）当AE与平面ABCD所成角的正切值为时，求

26、该几何体的体积【分析】（）取CD中点G，连接EG、AG，则EGCC1BB1，可得EG平面BDB1，再由ABCD，AB=，可得四边形ABDG为平行四边形，则AGBD，从而AG平面BDB1，由面面平行的判定可得平面AEG平面BDB1，则AE平面BB1D；（）由已知求得直三棱柱的高，然后由直三棱柱的体积与三棱锥B1BCD的体积作和求得几何体的体积【解答】（）证明：取CD中点G，连接EG、AG，则EGCC1BB1，EG平面BDB1，ABCD，AB=，四边形ABDG为平行四边形，则AGBDAG平面BDB1，又AGGE=G，平面AEG平面BDB1，则AE平面BB1D；（）解：在平面ABCD内，过B作BMC

27、D，垂足为M，在RtBMD中，BD=2，BDC=60°，DM=1，BM=，AE与平面ABCD所成角的正切值为，tanEAG=，又AG=BD=2，EG=1，则CC1=2几何体的体积V=【点评】本题考查面面平行的判定及性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属中档题19（12分）（2016秋安庆期末）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从1565岁的人群中随机抽样了n人，得到如下的统计表和频率分布直方图（）写出其中的a、b及x和y的值；（）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（）在（）抽

28、取的6人中随机抽取2人，求这2人中没有第3组人的概率组号分组喜爱人数喜爱人数占本组的频率第1组15，25）a0.10第2组25，35）b0.20第3组35，45）60.20第4组45，55）120.60第5组55，65200.40【分析】（）直接利用频率分布直方图，结合累积频率为1，频数=频率×样本容量，可分别求出a，b，x，y的值；（）直接利用抽样比即可求第1，2，3组每组各抽取人数（）列出（）抽取的6人中随机抽取2人是所有情况，求出这2人中没有第3组人的数目，即可求解概率【解答】解：（）第4组人数为=20人n=100人（1分）a=0.020×10×100

29、15;0.10=2，b=0.020×10×100×0.20=4，x=0.015，y=0.025（5分）（）第1组应抽×2=1人第2组应抽×4=2人第3组应抽×6=3人（9分）（）第1组抽取的1人为C，设第2组抽取的2人为A1，A2，第3组抽取的3人为B1，B2，B3，则从6人中抽取2人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2，A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C，共15种，其中这2人中没有第3组人的有3种，所以其概率为P= （13分）【点评】本题考查频率分布直方图

30、的应用，分层抽样以及古典概型的概率的求法，基本知识的考查20（12分）（2016秋安庆期末）已知椭圆E：（ab0）的离心率为，点F是其右焦点，点A是其左顶点，且|AF|=3（）求椭圆E的方程；（）过点F作不与x轴重合的直线交椭圆E于两点B、C，直线AB、AC分别交直线l：x=4于点M、N试问：在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b，c的值，则椭圆E的方程可求；（）设出BC所在直线方程x=ty+1，与椭圆方程联立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐标表示，再由求解【解答】解：（）由已知可得，解得a

31、=2，c=1，b=椭圆E的方程为；（）依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x=ty+1将其代入，整理得（4+3t2）y2+6ty9=0设B（x1，y1），C（x2，y2），y1+y2=，y1y2=直线AB的方程是y=（x+2），从而可得M（4，），同理可得N（4，）假设x轴上存在定点Q（q，0）使得=0将x1=ty1+1，x2=ty2+1代入上式，整理得（q4）29=0，解得q=1，或q=7x轴上存在定点Q（1，0）或Q（7，0），使得成立【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量数量积在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题21（12分）（2016秋安庆期末）已知函数（）讨论函数f（x）的单调性；（）设g（x）=f（x）m若函数g（x）在区间上有且只有一个零点，求实数m的取值范围（注：e为自然对数的底数）【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题转化为m=f（x）在区间上有且只有一个交点，求出f（x）在区间上的范围，求出m的范围即可【解答】解：（）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（）若函数g（x）在区间上有且只有一个零点，即m=f（x）在区间上有且只有一个交点，由（）f（x）在，）