平面图形的几何性质

1、材料力学材料力学材料力学材料力学1 1、静矩与形心、静矩与形心2 2、惯性矩、极惯性矩和惯性积、惯性矩、极惯性矩和惯性积3 3、平行移轴公式、转轴公式、平行移轴公式、转轴公式静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴心主惯性轴本章重点本章重点关键概念关键概念材料力学材料力学附录附录A A 截面的几何性质截面的几何性质A.1 面积矩和形心面积矩和形心 A.2 截面的惯性矩和惯性半径截面的惯性矩和惯性半径 A.3 平行移轴公式平行移轴公式 A.4 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩 材料力学材料力学 A A-1 -1 面积矩和形心面积矩和形

2、心一、基本概念一、基本概念1. 1. 静矩（或面积矩、一次矩）静矩（或面积矩、一次矩） z dA微面积对微面积对y轴的静矩轴的静矩dAy微面积对微面积对z轴的静矩轴的静矩dyAz ASdzAy AS整个平面图形对整个平面图形对y轴的静矩轴的静矩整个平面图形对整个平面图形对z轴的静矩轴的静矩dAzyyz常用单位：常用单位：m3 或mm3 。数数 值：值：可为正、负或 0 。材料力学材料力学等厚等厚均质均质重心：重心：ddddyAAcAAzcztAz ASzt AAAytAy ASyt AAA等于形心坐标等于形心坐标dAyzzycz cyd d mcmcz mzmy mym2.2.形心坐标公式形心

3、坐标公式3.3.静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系 yzccA zA ySS材料力学材料力学结论结论1 1 规则形状的几何图形，其形心就是它的几何中心。规则形状的几何图形，其形心就是它的几何中心。若其若其有一根对称轴，那么形心一定在这个对称轴有一根对称轴，那么形心一定在这个对称轴上；如果有两根对称轴，那么形心一定是这两个上；如果有两根对称轴，那么形心一定是这两个对称轴的交点。对称轴的交点。截面的对称轴一定是形心轴。截面的对称轴一定是形心轴。2 2 若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。零。反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴反之，若图

4、形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。必然通过图形的形心。 材料力学材料力学例例1：求图示阴影部分的面积对求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。轴的静矩。242ahaahbSy解：解：2242ahb ycA zS材料力学材料力学例例2 图示抛物线的方程为图示抛物线的方程为,计算由抛物线、计算由抛物线、y轴和轴和z轴所围成的平面轴所围成的平面图形对图形对y轴和轴和z 轴的静矩轴的静矩Sy和和Sz，并确定，并确定图形的形心图形的形心c的坐标。的坐标。221yzhbyzhCyCOydybz解：先求对解：先求对z z轴的静矩轴的静矩SzdybyhzdydA221bAbhdybyhdAA0223

5、21yzhb221byhzAzydAS取微面积取微面积dAdA材料力学材料力学yzhCyCOydybzyzCOydzbzCybAzhbdybyyhydAS022241bASyzC831542bhSyhASzyC52材料力学材料力学11 nnyziciiciiiA zA ySS由由 可知，静矩的几何意义：形心位置与图形可知，静矩的几何意义：形心位置与图形 面积的乘积。面积的乘积。 AzSAySCyCz 4组合平面（截面）图形的形心与静矩组合平面（截面）图形的形心与静矩组合图形对某一轴的静矩等于各组合图形对某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴静矩的代数和组成部分对同一轴静矩的代数和 当一个平面图形是

6、由几个简单平面图形组成，称为组当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形，其静矩为合平面图形，其静矩为材料力学材料力学组合平面（截面）的形心坐标公式为：组合平面（截面）的形心坐标公式为：1111 nniiciciyiizccnniiiizyAASSzyAAAA，材料力学材料力学112212ciicccy Ay Ay AyAAA40 10 805 10 11019.780 10 10 110mm 5 80 1065 10 11039.710 11080 10czmm例例3 试确定下图的形心位置。试确定下图的形心位置。解解 ：坐标及图形分割如图：坐标及图形分割如图801201010z

7、y12材料力学材料力学本例中的槽形截面也可看作由的矩形本例中的槽形截面也可看作由的矩形I挖去一个的矩形挖去一个的矩形II而成的。而成的。 在计算被挖去的面积时应取负值，这在计算被挖去的面积时应取负值，这种方法又称负面积法。种方法又称负面积法。 2120120 809600 mm60 mm2CAzII2110 707700 mm120 101065 mm2CAz 9600 60( 7700) 6539.7 mm96007700 CCCA yA yzAA801201010zy得得 II9600 40( 7700) 4519.7 mm96007700 CCCA xA xyAA材料力学材料力学 A-2

8、 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 1.1.惯性矩（或截面二次轴矩）惯性矩（或截面二次轴矩）22d dyzAAAAyIzIdAyzzy 工程中常把惯性矩表示为平工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的面图形的面积与某一长度平方的乘积，即乘积，即IA iyy2或iIAyyIAiiIAzzzz2或分别称为平面图形对分别称为平面图形对y轴和轴和z轴的轴的惯性半径惯性半径iiyz、（单位：长度的一次方）（单位：长度的一次方）材料力学材料力学 A-2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 2.2.极惯性矩（或截面二次极矩）极惯性矩（或截面二次极矩）AIAd2p222yz所以所以（即截面对一点的极惯性矩，

9、等于截面对以该点为原点的任意（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）两正交坐标轴的惯性矩之和。） 2p22d ()dAyzAIAyzAIIdAyzzy由于由于材料力学材料力学例例A4 求图所示圆截面及空心圆截面对形心轴的惯性矩求图所示圆截面及空心圆截面对形心轴的惯性矩Iy、Iz，惯性半径惯性半径iy、iz及极惯性矩及极惯性矩Ip。 解解:对于直径为对于直径为D的圆形截面，在距圆的圆形截面，在距圆心心C为为r处取微面积处取微面积 注意到注意到Iy=Iz，对，对y、z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 惯性半径为惯性半径为 d2dA /2423p0d2d32DADI

10、Ar 6424pDIIIzy44/64/24DDDiizyDOd材料力学材料力学对于外径为对于外径为D、内径为内径为 d的空心圆截面，的空心圆截面，其对圆心其对圆心C的极惯性矩为的极惯性矩为 对对y、z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 惯性半径为惯性半径为 /24423p/2()d2d32DAdDdIA64)(44dDIIzy44/ )(64/ )(222244dDdDdDiizyODdd材料力学材料力学3.3.惯性积惯性积（其值可为正、为负或为零（其值可为正、为负或为零) )结论：结论：截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。AzyIAyzddAyzzy由于由于z轴为对称轴，处于对称位置的轴

11、为对称轴，处于对称位置的zdA值大小相等，符号相反值大小相等，符号相反(z坐标相同，坐标相同，y坐坐标符号相反标符号相反)，因此这两个微面积对，因此这两个微面积对y、z轴的惯性积之和等于零。轴的惯性积之和等于零。 将此推广到整个截面，必有将此推广到整个截面，必有 0d AyzAyzI材料力学材料力学例例 5 求图求图A-4所示矩形截面对所示矩形截面对y轴和轴和z轴的惯性矩轴的惯性矩Iy、Iz，惯，惯性积性积Iyz及惯性半径及惯性半径iy和和iz。 解：解： 截面对形心轴截面对形心轴y的惯性矩为的惯性矩为 惯性半径为惯性半径为 12dd32/2/22bhzbzAzIhhAyzbAdd3212/3

12、hbhbhAIiyy取平行于取平行于x轴的狭长条轴的狭长条材料力学材料力学惯性半径为惯性半径为 12dd32/2/22hbyhyAyIbbAz3212/3bbhhbAIizz在任一点在任一点(y，z)处取微面积处取微面积 zyAddd 截面对截面对y、z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 0ddd/2/2-/2/2hhb-bAyzzzyyAzyI材料力学材料力学1.1.平行移轴公式推导平行移轴公式推导 左图是一面积为左图是一面积为A A的任意形状的任意形状的平面，的平面，C为其形心，为其形心，xcyc为形心坐为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为任意坐标轴为xy

13、 ,形心形心C在在oxy坐标坐标系下的坐标为系下的坐标为(a , b) 任意微面元任意微面元d dA A在两坐标系下的在两坐标系下的坐标关系为：坐标关系为：ycyazczCObdAyczczyA.3 平行移轴公式平行移轴公式cc,yybzza材料力学材料力学xcyazczCObdAyczcyxAzyAyAzAzyIAzIAyIddd22AcczyAcyAczAzyIAzIAyIccccddd22已知截面对形心轴已知截面对形心轴yc、zc的惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积分别为分别为 、 和和 下面求截面对下面求截面对y、z的惯性矩的惯性矩Iy、Iz 和惯性积和惯性积 Iyz 。cyIczIc c

14、y zI材料力学材料力学xcyazczCObdAyczcyx截面对截面对y轴的惯性矩轴的惯性矩 由于由于yc轴是截面的形心轴，轴是截面的形心轴，所以所以Syc=0，故有，故有 同理可得同理可得 cc,yybzza2222c2ddd2dd 2ycAAcAAAycycIzAzaAzAazA aAIaSa A上式为惯性矩的平行移轴公式。上式为惯性矩的平行移轴公式。 2cyya AII2czzb AII材料力学材料力学类似地，可求惯性积类似地，可求惯性积Iyz 由于由于y、z轴是截面的形心轴，轴是截面的形心轴，Syc=Szc=0，上式变为，上式变为 上式为惯性积的平行移轴公式。上式为惯性积的平行移轴公

15、式。 d()()dyzccAAIyz Ayb zaAdd ddcccAAcAAy z Abz Aay AabAc cccy zyzIbSaSabAc cyzy zIIabAxcyazczCObdAyczcyx材料力学材料力学 zC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；轴的惯性矩最小； b和和a是图形的形心是图形的形心C在在Oxy坐标系中的坐标，所以它们坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。是有正负的。注意注意在应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式时，在应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式时， yC、zC轴必须轴必须是形心轴。是形心轴。 材料

16、力学材料力学例例6：已知三角形对底边：已知三角形对底边(x1轴轴)的惯性矩为的惯性矩为bh3/12，求其对过顶，求其对过顶点的与底边平行的点的与底边平行的x2轴的惯性矩。轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3解：由于解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴角形对形心轴xC的惯性矩，再求对的惯性矩，再求对x2轴轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：的惯性矩，即进行两次平行移轴：423236362312323223232121bhbhhbhAaIIbhbhhbhAaIICCxxxx材料力学材料力学例例7求图求图

17、T型截面对于过形心的水平轴型截面对于过形心的水平轴和铅垂轴的惯性矩。和铅垂轴的惯性矩。 解解 (1)确定截面的形心位置。确定截面的形心位置。 建立参考坐标系建立参考坐标系yOz。 因因z为对称轴，故为对称轴，故yC=0 。将截面分成将截面分成、两个矩形，则有两个矩形，则有 24Imm 107.2120600Amm 4602120400ICz24IImm 108.0400200Amm 2002400IICzmm2 .323100 . 8102 . 7200100 . 8460102 . 74444IIIIIIIIIAAzAzAzCCC材料力学材料力学 (2)再求截面的惯性矩。再求截面的惯性矩。

18、以形心以形心C为原点建立坐标系为原点建立坐标系 y0轴到两个矩形形心的距离为轴到两个矩形形心的距离为 截面对截面对y0轴的惯性矩轴的惯性矩00Czymm8 .1362 .3232120400Iamm2 .12324002 .323IIa2IIIIII2IIIIIIIII000aAIaAIIIIyyyyy23232 .123400200124002008 .1361206001212060049mm1071. 3截面对截面对z0轴的惯性矩轴的惯性矩4933IIImm1043. 21220040012600120000zzzIII材料力学材料力学例例9：求图示直径为：求图示直径为d 的半圆对其自身

19、形心轴的半圆对其自身形心轴 yc的惯性矩。的惯性矩。（1 1）求形心坐标）求形心坐标22( )2b zRy2032220d( )d2d12dyAdzAzb zzSdzRzz3212283ycSddzAd解：解：yzb(z)zcCdycz（2 2）求对形心轴）求对形心轴xc c的惯性矩的惯性矩44642128yddI2442()812818cyycdddIIz由平行移轴公式得： 材料力学材料力学例例10：求图示平面图形对：求图示平面图形对y轴的惯性矩轴的惯性矩 Iyyzaadyzaad解：解：Iday()212321284ddd22823dda22823材料力学材料力学例例11：求图示截面对形心

20、轴的惯性矩。：求图示截面对形心轴的惯性矩。材料力学材料力学1先求截面的先求截面的 形心轴形心轴取参考坐标系如图，则：取参考坐标系如图，则：mmyc7 .44201006070205010060222求截面对形心轴的惯性矩：求截面对形心轴的惯性矩：zyzcycA1A246431067. 164401260100mmIIyyc12324226460 1005044.760 10012407044.7204.24 1064AAzczczcIIImm材料力学材料力学图示为一任意截面，图示为一任意截面，y、z为过任一点为过任一点O的一对正交的一对正交轴，设截面对轴，设截面对y、z轴的惯轴的惯性矩性矩Iy

21、、Iz和惯性积和惯性积Iyz均均已知。现将已知。现将y、z轴绕轴绕O点点逆钟向旋转角，得到另逆钟向旋转角，得到另一对正交轴一对正交轴y1、z1。下面求截面对下面求截面对y1、z1轴的惯性矩轴的惯性矩 、 和惯性积和惯性积 。 一、转轴公式一、转轴公式 1yI1zI11zyIA.4 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩材料力学材料力学在图所示两个坐标系中，设微面在图所示两个坐标系中，设微面积积dA的坐标之间的转换关系为的坐标之间的转换关系为 截面对截面对y1轴的惯性矩为轴的惯性矩为 A.4 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩sincossincos11yzzzyyAAyAyzAzId)sinc

22、os(d22112222cosd2sincosdsindAAAzAyz AyA2sinsincos22yzzyIII2222cos2sincossindAzyzyA材料力学材料力学同理同理可得可得 A.4 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2cos2sin211yzzyzyIIII(A14) (A15) (A16) 式式(A14)、(A15)称为称为惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式，式式(A16)称为称为惯性积的转轴公式惯性积的转轴公式。 注意式的注意式的 以逆钟向为正。以逆钟向为正。 利用三角函

23、数整理上式，得转轴公式利用三角函数整理上式，得转轴公式 ：材料力学材料力学2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。性矩。将转轴公式中的前两式：将转轴公式中的前两式：相加可得：相加可得：yxyxIIII11材料力学材料力学 从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积将随着将随着 角作周

24、期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度角度 0 0，使截面对与该角对应的新坐标轴，使截面对与该角对应的新坐标轴x0、y0的惯性积为零。的惯性积为零。依此进行如下定义：依此进行如下定义：二二. .截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩2cos2sin211yzzyzyIIIIn1.主惯性轴主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积的惯性积 n =0时，则坐标轴时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。称为主惯性轴。n推论：推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的具有一个或两个对称轴的

25、正交坐标轴一定是平面图形的n 主惯性轴。主惯性轴。材料力学材料力学1.主惯性轴主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积的惯性积 =0时，则坐标轴时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。称为主惯性轴。00zyI3.形心主惯性轴形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。4.形心主惯性矩形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形 心主惯性矩。心主惯性矩。2

26、.主惯性矩主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。目录目录材料力学材料力学三三. .主惯性轴位置的确定主惯性轴位置的确定 设坐标轴转动角度为0，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得：02cos2sin200 xyyxIII经整理，得yxxyIII22tan0四四.主惯性矩的确定主惯性矩的确定 由上面tan2 0的表达式求出cos2 0、sin2 0后，再代入惯性矩的转轴公式 ，化简后可得主惯性矩的计算公式如下：材料力学材料力学IIIIIIIIIIIIxyyxyxyxyyxyxx22224212421200结论：结论：若截面有一根对称

27、轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。材料力学材料力学五五. . 极值惯性矩极值惯性矩分别对分别对 求导数，并令其为零，得到求导数，并令其为零，得到 A.4 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩(1)(1)截面对过同一点所有坐标轴的惯性矩中，对截面对过同一点所有坐标轴的惯性矩中，对主轴的惯性矩是极大值和极小值。主轴的惯性矩是极大值和极小值。 2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIIIz

28、yyzIII22tan0(2)(2)主惯性矩即为极值惯性矩。主惯性矩即为极值惯性矩。 材料力学材料力学将主轴方位角将主轴方位角 代入式代入式 得到主惯性矩得到主惯性矩 A.4 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII022min22max2222yzzyzyyzzyzyIIIIIIIIIIII材料力学材料力学例例 试确定如图所示截面的形心主惯性矩。试确定如图所示截面的形心主惯性矩。 解解 (1) 将截面分为两个矩形，其面积将截面分为两个矩形，其面积和形心坐标分别为和形心坐标分别为 。 (2) 截面的形心

29、坐标截面的形心坐标yC、zC 21mm3001030A22mm6001060Amm2521040101Cymm52102Cymm52101Czmm302602Czmm335600300560025300212121AAyAyAyCCCmm365600300306005300212121AAzAzAzCCC材料力学材料力学(3) 建立形心坐标系建立形心坐标系yCCzC，截面，截面对形心轴对形心轴yC、zC的惯性矩和惯的惯性矩和惯性积分别为性积分别为 452323mm1008. 3300536512103060036530126010CyI452323mm1008. 130033525123010

30、6005335121060CzI45mm100 . 1300335253655600335536530CCzyI材料力学材料力学(4) 形心主轴方向角形心主轴方向角 及形心主惯性及形心主惯性矩矩 和和 00yI0zI110)08. 108. 3(100 . 1222tan550CCCCzyzyIII所以所以 或或 。 5 .2205 .112代入代入 得到形心主惯性矩为得到形心主惯性矩为 5 .22044555mm109 .3445sin)100 . 1(45cos210)08. 108. 3(210)08. 108. 3(0yI44555mm1066. 645sin)100 . 1(45co

31、s210)08. 108. 3(210)08. 108. 3(0zI材料力学材料力学rrAd2d32d2d42/032pDrrArIDA6424pDIIIzy44/64/24DDDiizy32)(d2d442/2/32pdDrrArIDdA64)(44dDIIzy44/ )(64/ )(222244dDdDdDiizy材料力学材料力学祝大家学习祝大家学习愉快愉快! !材料力学材料力学 当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形，其静矩为合平面图形，其静矩为CiiniyiniyCiinizinizzASSyASS1111niinicii

32、yCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111组合图形对某一轴的静矩等于各组合图形对某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴静矩的代数和组成部分对同一轴静矩的代数和由由 可知，静矩的几何意义：形心位置与轴的距可知，静矩的几何意义：形心位置与轴的距 离乘积大小。离乘积大小。 AzSAySCyCz 4组合平面图形的形心与静矩组合平面图形的形心与静矩材料力学材料力学2.2.形心坐标公式形心坐标公式3.3.静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系 yxccA xA ySS推论：截面对形心轴的静矩恒为推论：截面对形心轴的静矩恒为0 0，反之，亦然。，反之，亦然。d d yAcxAcxASxAAyAS

33、yAAdAxyyxcx cy材料力学材料力学例例A-3A-3：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和和y y的惯性的惯性矩。矩。 解：解：取平行于x轴的狭长条则 dA=b dy12dd32222bhybyAyIhhAx同理123hbIyyhCxdyyb3/122 3xxIbhhiAbh3/122 3yyIhbbiAbh材料力学材料力学图所示为一任意截面，图所示为一任意截面，y、z为为通过截面形心通过截面形心C的一对正交轴，的一对正交轴，y1、z1分别为与分别为与y、z平行的坐标平行的坐标轴，截面形心轴，截面形心C在坐标系在坐标系y1Oz1中的坐标为中

34、的坐标为(b，a)。已知截面对形心轴已知截面对形心轴y、z的惯性矩和惯性积分别为的惯性矩和惯性积分别为Iy、Iz和和Iyz，下面求截面对，下面求截面对y1、z1轴的惯性矩轴的惯性矩 、 和惯性和惯性积积 。1yI1zI11zyIA.3 平行移轴公式平行移轴公式材料力学材料力学在新旧坐标系中微面积在新旧坐标系中微面积dA的关系的关系截面对截面对y1轴的惯性矩轴的惯性矩 由于由于y轴是截面的形心轴，所以轴是截面的形心轴，所以Sy=0，故有，故有 同理可得同理可得 azzbyy11,1221222ddd2dd2yAAyyAAAIzAzaAzAaz A aAIaSa AAaIIyy21AbIIzz21

35、上式为惯性矩的平行移轴公式。上式为惯性矩的平行移轴公式。 材料力学材料力学类似地，可以求出截面对类似地，可以求出截面对y1、z1轴的惯性积轴的惯性积 由于由于y、z轴是截面的形心轴，轴是截面的形心轴，Sy=Sz=0，上式变为，上式变为 上式为惯性积的平行移轴公式。上式为惯性积的平行移轴公式。 注意：在应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式时，注意：在应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式时， y、z轴必轴必须是形心轴。须是形心轴。 11zyIAAzyAazbyAzyI)d)(d1111AAAAAabAyaAzbAyzddddabAaSbSIzyyzabAIIyzzy11材料力学材料力学规定：规定：上式中的

36、上式中的 的符号为：逆时针为正，顺时针为负。的符号为：逆时针为正，顺时针为负。yxyxIIII11即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。性矩。将上述转轴公式中的前两式相加可得：将上述转轴公式中的前两式相加可得：讨论：讨论：材料力学材料力学例例I6I6：计算截面的形心主惯性矩。：计算截面的形心主惯性矩。解：解：作形心坐标轴xcyc 如 图所示。（1）求形心坐标：),( 、 ),(baba（2）求对自身形心轴的惯性矩。 、 , 、

37、2211ccccyxyxIIII（3）由平行移轴公式求整个截面的 、 、 ccyxycxcIIIxyC10b10b40120a2080CCa 材料力学材料力学（4）由转轴公式得093. 122tan0ccccyxyxIII8 .113 6 .2272004422maxmm103214212 0IIIIIIIcccccccyxyxyxx4422minmm104 .574212 0IIIIIIIcccccccyxyxyxyxc0yc0=113.8xyC10b10b40120a2080CCa目录目录材料力学材料力学例例I1I1：计算由抛物线、：计算由抛物线、y y轴和轴和z z轴所围成的平面图形轴所

38、围成的平面图形对对y y轴和轴和z z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。轴的静矩，并确定图形的形心坐标。zhyb122Oyz解：解：SzAyA2dSy AzAd12102222bhybydyhybyb0221d4152bhb h24材料力学材料力学OyzydybhAAAd0221bhybyd23bh形心坐标为:52321548332422hbhbhASzbbhbhASyyCzC材料力学材料力学1. 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩(1)当当 ，即两坐标系重合时，即两坐标系重合时 ， ； A.4.2 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 2cos2sin211yzzyzyIIII 0yzzyII11(2)当时当时 ， ，因此必定有这样一对，因此必定有