2016届高考数学-江苏专用--【应用题中的瓶颈题】讲解

1、1第 3 讲应用问题中的瓶颈题”数学应用问题是高考中常见题型之一，是能否锁定 128 分的重要突破口 .常见的 应用题有：(1)函数与不等式模型；(2)函数与导数模型；(3)三角函数模型；(4)数 列模型解决实际问题的一般步骤:(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数 关系;(3)应用函数知识或数学方法解决问题：检验，作答.解应用题的一般思路 可表示如下：分类解密-专题突破_ 例 1 某工厂有工人 214 名,现要生产 1500 件产品,每件产品由 3 个 A 型零件和1 个 B 型零件配套组成,每个工人加工 5 个 A 型零件与加工 3 个 B 型零件所需的时间相同.现将工人分成两

2、组，分别加工一种零件，同时开始加工设加工 A 型零件的工人有 x 人, 在单位时间里每一个工人加工 A 型零件 5k 件，加工完 A 型零件所需时间为 g(x),加工完 B型零件所需时间为 h(x).(1)比较 g(x)与 h(x)的大小,并写出完成总任务的时间 f(x)的解析式；(2)应怎样分组，才能使完成任务用时最少？练习 如图,已知矩形油画的长为 a,宽为 b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔 的宽为 x,上下两边金箔的宽为 y,壁画的总面积为 S.(1)用 x,y,a,b 表示 S；(2)若 S 为定值,为节约金箔用量,

3、应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的 x,y 的值.- Z7 -2th1*1y(练习)_ 例 1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分 为一公共设施，不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界 为曲线f(x)=1-ax2(a0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M,N,交曲线于点 P, 设 P(t,f(t).(1)将厶 OMN(为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S(t);丄(2)若在 t=2处,S(t)取得最小值,求此时 a 的值及 S(t)的最小值.O M(例 1)练习在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入

4、水深为 30m 的水底进行 作业.其用氧量包含 3 个方面：下潜时,平均速度为 v(米/单位时间),单位时间内用 氧量为 cv2(c为正常数);在水底作业需 5 个单位时间,每个单位时间用氧量为 0.4;v返回水面时，平均速度为2(米/单位时间),单位时间用氧量为 0.2.记该潜水员在 此次考古活动中，总用氧量为 y.(1)求出 y 关于 v 的函数解析式；3（2）设 00)km 的圆形区域.轮船的航行 方向为西偏北 45且不改变航线，假设台风中心不移动.(1) r 在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？(2)当 r=60 时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米？练习(2014

5、江苏卷)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同 时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥 BCf 河岸 AB 垂直,保护区的边界为圆心 M 在线 段OAt并与 BC!切的圆,且古桥两端 O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80m.经 测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 C 正东方向 170m 处(OC 为河岸),tan /4BCO=3.(1)求新桥 BC 的长；当 O 強长时，圆形保护区的面积最大？(练习)_ 例1商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定：由该区向建设银行 贷款500（练5万元在桃园新区为学院建一栋可容纳 1000 人的学生公寓,工程

6、于 2012 年年初 动工，年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率 5%,按复 利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费 18 万元.其余部分全部在年底还建 行贷款(1)若公寓收费标准定为每名学生每年 800 元，问:到哪一年可还清建行全部贷(2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费 标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)练习 某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表 明，该企业在经销这个产品期间第 x 个月的利润函数1,1

7、EX乞 20 x N*,1 *x,21 _ x _ 60,XNf(x)=10(单位：万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得第x个月的利润的利润再投入到次月的经营中记第 x 个月的利润率为 g(x)=第x个月的资金总和，例f如,g(3)=81鮒)f.(1)求 g(i0);(2)求第X个月的当月利润率；(3)该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大？并求出该月的当月利 润率立体几何体模型_例 1 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的 中间为圆柱形，高为 l,左右两端均为半球形，半径为 r,按照设计要求容器的体积为80n3m3,且 I 2r.假设该容器的建造费用

8、仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平 方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元.设该容器的建 造费用为 y 千元.6(1)求 y 关于 r 的函数解析式,并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时半径 r 的值.【归纳提升】常见应用问题与数学模型及其处理：1. 优化问题：实际问题中的 优选”控制”等问题,常需建立不等式模型”和线 性规划”问题解决.2. 预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成数列模型”来解决.3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题，常设计成 函数 模型；转化为求函数的最值.4. 等量关系问题：建立方程模型”军决

9、.5. 测量问题:可设计成 图形模型利用几何知识解决.总之，解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言，常借助画图法抽象成数学问 题,并注意解模后的验证考点 1 函数与不等式模型的应用题【例 1】 【分析】根据题设条件分别求出 g(x)和 h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工 5k 个 A 型零件，所以 x 个工人在单位1500 3 900时间内加工 5k x 个 A 型零件.总共需要 1500X3 个 A 型零件,所以 g(x)=5kx=kx. 1500500单位时间内加工 B 型零件的个数为 3k,所以 h(x)=3k?(214-x)=k

10、(214-x).7900500192600-1400(1) g(x)-h(x)=kx-k(214-x)=kx(214-x),因为 K x214,x N,所以:当 K xh(x);当 138Wx 213 时,g(x)vh(x);即当 x 138 时，加工 B 型这一组所用 的时间多要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务时间是：900,1空x乞137,x N,kx500 ,138Ex213,x N.k(214-x)4(2)要使任务完成最快,|g(x)-h(x)| 应最小，令 g(x)-h(x)=0,得 x=1377. 因为 x N 所以需比较 x=137 和 138 时,|g(x)-

11、h(x)|的大小./i忑数嗥用分、oo亡疋处理的办更丿经比较，加工 A 型零件有 137 人,加工 B 型零件有 77 人时，完成任务的用时最少. 另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函数 f(x)的最小值.900当 Kx 137,x N 时,f(x)=kx,显然 x=137 时,f(x)最小.当 138x0).(2)因为 x,y0,所以 2bx+2ay2bx2ay,当且仅当 bx=ay 时，等号成立.从而 S4abxy+4xy+ab,(*)令 t 八xy,则 t0,上述不等式(*)可化为 4t2+4 abt+ab-S 0,所以 0t 2,ab S-2 . abS从而 xy 0)可得 f(

12、x)=-2ax,P(t,f(t).直线 MN 勺斜率 k=f(t)=-2at,则直线 MN 勺方程为 y-1+at2=-2at(x-t),令 y=0,可得 x=t+ 2at ,可得 Mlat丿；令 x=0,可得 yM=1+at2,可得 N(0,1+at2),1at21 (at21)2所以 S(t)=SOM=2x(1+at2)x2at=4at(2)当 t=2时,S(t)取得最小值,2(at21) 2at 4at-4a(at21)2(at21)(12a2t2-4a)2 2 2 2S(t)=16a t=16a t,91 I14由题意知 S2=0,即 12a2x4-4a=0,解得 a=3,10当5c1

13、25时,v=5c时,y 的最小值为 2+1210c221230cv2-12当 5c 5,即 cv125时,y=30c-v2=v2125时，下潜速度为5c时，用氧量最小为 2+120c；22当 0c0).1230cv 芒厂y=30cv+2+v 2+2；v=2+1210c12当且仅当 30cv=v,即 v=时取等号.11考点 3 三角形与三角函数模型12【例 11【分析】用 a,9表示 S 和 S2,a 固定时$是关于9的函数,然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.1 1【解答】(1) Si=2asin9 acos9=4a2sin29,设正方形边长为 x,贝UxBQ=tanr ,R

14、C=xtan9,x所以tan：+xtan9+x=a,+tan8+1希佃所以 x=ta nr=2 sin2二2asi n2 v所以 S=(2+si n2日丿=4si n22 日+4s in 2。+4.OO当 a 固定，9变化时,令 sin29=t,(0t 1),利用单调性求得 t=1 时，L【练习】【解答】(1)由题意可知，点 M 为PQ的中点,所以 OMLAD.设 OM 与 BC 勺交点为 F,则 BC=2Rsin9,OF=Rcos9.1AB=OF-2AD=Rco9-Rsin9.所以 S=AB- BC=2Rsin9(Rcos9-Rsin9)=R2(2sin9cos9-2sin29)=R2(si

15、n29-1+cos29)= 2Fsin29oIa2s in22511452=4 sin2 rsin2二45152min=4旦一t 4则S2=4.t134-R2,94.14io,nn in,3ni因为 .4,则 29+44 4,n n冗冗所以当 29+4=2,即9=8 时,S 有最大值，Sma=( -2-1)R2.冗故当9=8时,矩形 ABC 的面积 S 有最大值(V-1)R2.考点 4 解析几何模型【例 1】 【分析】建立平面直线坐标系，求出圆心到直线的距离 d,通过弦心距和半径作比较进行判断.孑忑坐标系.将、OO为犠一【解答】如图，以台风中心为原点建立平面直角坐标系 xOy.(1)由图可知轮

16、船在直线 l:x+y-80=0 上移动，原点到直线 I 的距离 d=40、2.iyso60-4030050 I J 5080 100s4060-(例 5)所以 0r40、2 所以轮船会受到台风影响航程为260 -(40 2)=40km 所以当 r=60km 时,轮船在航行途中受到影响的航 程是 40km.【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系，该类问题的解决有代数 法和几何法两种方法.【练习】【解答】方法一：(1)如图 所示,以 O 为坐标原点，00 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy.15由条件知 A(0,60),C(170,0),4直线 BC 勺斜率 kBc=-tan

17、 / BC0=-3.3又因为 AB 丄 BC 所以直线 AB 勺斜率 kAE=4.设点 B 的坐标为(a,b),b-04b-603则 kBC=a-170=-3,kAB=a-0=4,解得 a=80,b=120,所以BC=(17-8)2(0-120)2=150(m).因此新桥 BC 勺长是 150m.(练习(1)(2) 设保护区的边界圆 M 的半径为 rm,OM 二 dm(会 d 60).4由条件知，直线 BC 勺方程为 y=-3(x-170),即 4x+3y-680=0.由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0,d)到直线 BC 勺距离是 r,|3d-685680-3d即 r= 4232=5

18、.r-d 80,因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80m 所以.r-(60-d)-80,680-3d-d _80,5680-3d /-(60-d) _80,即.516解得 10 d 35.680-3d故当 d=10 寸尸5最大，即圆面积最大,所以当 OM=10 时，圆形保护区的面积最大. 方法二：(练习)(1)如图(2)所示,延长 OA,C 交于点 F.4因为 tan / FCO ,4所以 sin / FCO=5 ,3cos / FCO= .因为 OA=6O,OC=17O,680OC 850500所以 OF=OCtaMFCO=3,CF=cos FCO二3,从而 AF=OF-

19、OA=34因为 OALOC 所以 cos / AFB=sin/ FCO .400又因为 AB 丄 BC 所以 BF=AFcoZAFB=3,从而 BC=CF-BF=150.因此新桥 BC 的长是 150m.(2)设保护区的边界圆 MtBC 勺切点为 D,连接 MD 则 MDL BC 且 M 是圆 M 的半径,17并设 MD=r m,OM=dm dw60).因为OALOC 所以 sin / CFO=co? FCO.rMD MD 6803680-3d- -d -故由知 sin / CFO=F=OF-OM=3=5,所以 r=5因为 O 和 A 到圆 Mt 任意一点的距离均不少于 80m,r-d _80

20、,所以r-(60-d)亠80,解得 10 d 500(1+5%厂, 化简得 62(1.05n-1) 25X1.05n+1.所以 1.05n 1.7343,0.73430.2391两边取对数整理得 nlg1.5=0.0212=11.28,所以取 n=12.所以到 2024 年年底可还清全部贷款.(2)设每名学生和每年的最低收费标准为 x 元,因为到 2020 年底公寓共使用了 81.0-1化简得(0.1x-18)1.05-1500X1.059,=10X(18+81.2)=992.故每名学生每年的最低收费标准为 992 元.1,1乞x乞20,80 x2x,21乞x岂60.x2-x 1600当 1x

21、 500(1+5%)9,18 步所以 x 1019【点评】在经济活动中，如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在 解应用题时，是否是数列问题，一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一 定的规律,可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.【练习】【解答】(1)依题意得 f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=1,f(10)所以 g(10)=81 f(Df(2)f(9)=90当 x=1 时,g(1)=81.20当 1x 20 时,f(1)=f(2)= =f(x-1)=f(x)=1,_ f_(X)_1则 g(x)= 81 ff(2)f (x-1) =80 x,1经验证 x=1 也符合上式,故当1 x 20 时,g(x)=80 x. 当 21 x 60 时，_fx)g(x)二 81_f(1)f(2)f(20)_f(21)r(x-1)1x_10_=81 20 f (21)f(x-1)1xg(x)=21考点 6 立体几何体模型【例 1】 【分析】根据球的