2016线代B期末练习题详解

1、110得单位矩阵，记R = 110A RP2,P2二001，则 A =0丿(B) F2R，(C) P2PD PF2线性代数 B 期末练习题(2016)(一) )单项选择题1.若 A , B 为 n 阶可逆方阵，且 AB=BA，则下列等式不成立的是()1 1 1 1 1 1 11 11(A)B A二AB(B)AB =BA(C)BA = A B(D)A B B A2 .若由 AB=AC 必能推出 B=C( A，B，C 均为 n 阶矩阵)则 A 必须满足()(A)A丰O(B)A=O(C)|A 式 0(D)眄 03 设 A , B 均为 n 阶矩阵，且满足等式 AB=O,则必有()(A)|A =0,或

2、=0( B) A= O ,或 B=O(D)|A+ 冋=o4 .设 A 为 nxn 阶矩阵，如果 r(A)3 -：4,：4s线性无关(C):1：2,2：33：44 -1线性无关(D):1亠：:2,2：33-：44-二1线性无关6.设 n 元齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 AX=0 有非零解的充分必要条件是()(A) r= n(B) r n(D) r n7. n 元线性方程组AX=b , r (A ,b) n,那么方程 AX=b(A)无穷多组解(B)有唯一解(C)无解(D)不确定8.设A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第一列，得到矩 阵 B,再交换 B 的第二行

3、与第三行(C) A+B=O29.下列命题正确的是()(A) 若向量组线性相关,则其任意一部分向量也线性相关(B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关，则整个向量组必线性无关(D) 向量组中部分向量线性相关，则整个向量组必线性相关10. 设向量组：1,：2，,s的秩为 r,则(A) 必定 r4 =1,-1,2,0的秩为(A ) 1( B) 2(C) 3( D) 4 14.设 A 为 n 阶方阵，且|A=0，则(A) A 中任一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(B) A 必有两行(列)对应元素乘比例(C) A 中必存在一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合

4、(D) A 中至少有一行(列)向量为零向量 15 .向量组1,2,i,s线性相关的充要条件是()(A)1,2,，s中有一零向量(B)12,，s中任意两个向量的分量成比例(C)： ,2,，s中有一向量是其余向量的线性组合3(D)r,2,，s中任意一个向量均是其余向量的线性组合16若向量可由向量组1,2,，亠线性表出，则()(A)存在一组不全为零的数k-,k2,ks,使等式：二匕宀k22亠亠kss成立(B) 存在一组全为零的数,k2,ks,使等式 2i- k2：2亠 亠ks：s成立(C) 向量：，1,2,，s线性相关(D)对一：的线性表示不唯一17 .对于 n 元方程组，正确的命题是()(A) 如

5、 AX=O 只有零解，则 AX=b 有唯一解(B) AX=O 有非零解，则 AX=b 有无穷解(C) AX=B 有唯一解的充要条件是A =0(D) 如 AX=b 有两个不同的解，则 AX=b 有无穷多解18 设矩阵Am n的秩为 r(A)=m1 *2,2 *3,3 *1(C)：1一2,：2一：3,(D)11-233八2,20.已知是非齐次线性方程组AX二b的两个不同的解，：、，是导出组AX=0 的基本解系，k1,k2为任意常数，则AX =b的通解是()心2(A)(C)“1卡2(：1：2)22R口01-02k1：1k2(：1：2)-4(B)K：1k2(：1 -：2)2-(D)心1k21一I)52

6、1 向量组线性无关，且可由向量组 ，空,，让线性表示，则且有 rs,则()(A) (n熾性无关(B)(n)线性相关(C) (I熾性无关(D)(I)线性相关25.设仆2,，n是 n 个 m 维向量，且 nm,则此向量组1,2，n必定()(A)线性相关(B)线性无关(C)含有零向量(D)有两个向量相等26 矩阵 A 适合条件()时，它的秩为 r(A)A 中任何 r+1 列线性相关(B) A 中任何 r 列线性相关(C) A 中有 r 列线性无关(D) A 中线性无关的列向量最多有r 个27 .若 mxn 阶矩阵 A 中的 n 个列线性无关 则 A 的秩()(A)大于 m(B)大于 n(C)等于 n

7、(D)等于 m28 .若矩阵 A 中有一个 r 阶子式 D丰0,且 A 中有一个含 D 的 r+1 阶子式等于零，则一定有R (A)()(A)r(B)vr(C)=r(D) =r+129 要断言矩阵 A 的秩为 r，只须条件()满足即可(A) A 中有 r 阶子式不等于零(B) A 中任何 r+1 阶子式等于零(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于r(D) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r30 R(A)=n 是 n 元线性方程组 AX=b 有唯一解()(A)充分必要条件(B)充分条件-1、心(C)必要条件(D)无关的条件131.矩阵 A=的特征值为 0,2,则 3A 的特征值为( )-1

8、1丿(A)2,2;(B) 0,6;(C) 0,0;(D) 2,6;32 A=1T ，则21 2A+A2的特征值为()1-1 1丿r(1,2,，r)必()r( -1, -2 / ,让)(A)大于等于(B)大于(C)小于22设n 元齐(D)小于等于，n)T,那么矩阵 A 的秩为()(D)以上都不是23 设矩阵 A=A.2D.- 1，:十(I)中每一个向量都可由向量组：1, -2，- s(H)线性表出,(C) r(A)=n(B) r(A)=n-124 设 n 维向量组等价，则九=(1,2,6(A)2,2;(B) 2-2;(C) 0,0;(D) 4-4;6.7233. A 满足关系式A -2A E =

9、 0，贝 V A 的特征值是(A)入=2(B)扎=-2-1-2(C) x = 1(D)扎=234.已知一 2 是 A=2X-2的特征值，其中b丰0 的任意常数，则 x=()_22b)(A) 2(B) 4(C) 2(D) 474-135.已知矩阵 A=47-1有特征值鮎=人2=3,扎3= 12，则x=()-4-4X 1(A) 2(B)-4(C) 2(D) 4(提示：用 特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题16)36.设 A 为三阶矩阵，有特征值为1,-1, 2,则下列矩阵中可逆矩阵是()(A) E-A(B) E+A(C) 2E-A(D) 2E+A(二)计算题与填空题3.设

10、A为 3 阶矩阵，且|A|二2,则行列式| A - 3A1| =组12线性表出。10 0311-1 10 050 1 13 120 1 1=0 0 11 1 1,0 0 1J4,矩阵A =的秩最大为,最小为(4,2 )5 设=：1 k=1-32T=(2-1 1，k=()时 1 可被向量1.A3-5A 6I =0,贝U A(4A2-5I)2.设 A 是3 4矩阵,R A =2,B二01-121-1-12 ,则 R(BA)=-b(-1/2)(-8)8答案：广114、16425J168如果| A 3E |=0，则矩阵A一定有特征值9.设0=(1 2 2$,1=(1 1 1，o(2=(1 1 1，3=

11、(1 -1 1 f.则卩是否为10.确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解Xr_x2_2x3+3X4=0X1- 3X2 - 5X3 2X _17X210 x37x4二b答：当a =1,b =4时，解为当a = -1,b =4时，解为1、7、21-31“1200丿2-1-b答案：(1)打=1,入2=一1,嘉=3 ,对应于打=1的全部特征向量是& (0,1,0T,k0;T对应于2二1的全部特征向量是k21,0,1,k2=0；T对应于3=3的全部特征向量是k3 -1,0,1,k3=0.1 = 0, 2 = 3 = 1,对应于加=0的全部特征向量是k11,k1为非零常数；对应于，

12、2= 3- 1的全部特征向量为12.三阶矩阵A的特征值为 人=1,2=2,嘉=3,则A=(的特征值为().14.已知向量组P0、k22卄3-2ek2, k3是不同时为零的常数。*k 101、13.设矩阵A =1 2 1有一个特征向量为-21,2,4为一个极大无关组，3 -2 04,5二：1 Of I15.设向量组：j= l,k,_1 ,：2二k 1,2,1 ,：3二1,-1, k,(1)k为何值时，：1/-2 线性相关？线性无关？k为何值时，：-1-23 线性相关？线性无关?(3)当：123 线性相关时，将:-3表示为：12 的线性组合.答案：(1)k 二-2 时线性相关，k = -2 时线性

13、无关；(2)k = -1, -2或2时线性相关；k=-1且k=-2且k = 2时线性无关;(3)当k - -1时，：3- 0；当k = 2时,*32116 矩阵A=315的迹为_。( 7)3 2 3定义：对于n阶方阵A=(aj)，矩对角线元素之和称为方阵trA工如a?ann,定义 2.15如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记作A；B17 已知码=(1,4,O,2)T02=(2,7,1,3)T,S=(0,1,1,a)T,B=(3,10,b,4)T,问(1)a,b取何值时，:不能由:：匕八乜线性表示?A的迹，记为trA，即13当b =2时,R(1,2,3)nR(1,23)

14、= 一 不能由1,2,3线性表示;当 b =2 时,(2)a,b取何值时,(冷I =)(120 :3(120、471 :10J011 -01-仁b00a -：123 a :4, 000 b-丿(1)-可由1,2,3线性表示？并写出此表示式1420-（2k 11（k 2-2 3,k为任意常数；(三)证明题：1.设A为m n矩阵，B为n s矩阵，且AB =0，证明r A r B n.证 设(1, 2JH,s)，则AB =(Ar AplH, A J，由AB =0得Ai=0,i =1,2J|, s，所以矩阵B的列向量都是方程组Ax =0的解.设rA=r，女口r -0，则结论显然成立.女口r = n,则方程组Ax =0仅有零解，故B =0，从而有r A r B =n.如0 : r : n,则方程组Ax = 0的基础解系中有n - r个线性无关解向量.由于B的列都 能由基础解系线性表示，由定理知，r B 2, 3 |：）=1,2,3线性表示；R(：j2,3)=R(1,2,3|：),：可由若a若a1,：2,：3|：）q 0 0-r0 1 020 0 102 0 0r,得12：15题结果知，r(A) r(A*)乞n。所以r(A*)岂n - r(A)乞n1,所以| A*|=0。3 对于矩阵A, B，证明：r(A, B)汀(A) r(B).证 将矩阵A, B按列分块，A =