第6章结构动力问题的有限元法(2学时)

1、有限元基础第六章 结构动力问题的有限元法刘艳芳Email: Add: 工程训练中心西配楼406Tel： 8233 8121刘艳芳，交通运输工程系， 第六章 结构动力问题的有限元法章节内容 介绍如何应用有限元法求解结构的动力问题？动力学基本方程、质量矩阵、阻尼矩阵；结构的自由振动和结构的动力响应问题；动力学问题的解法。章节目录6.1 概述6.2 结构动力方程6.3 结构的自由振动刘艳芳，交通运输工程系， 6.1 概述n静力分析假设载荷和结构的响应随时间的变化非常缓慢。结构的响应：位移、应变、应力和力，与时间无关。静力分析用于计算固定不变的载荷对结构或部件的影响。n动力分析考虑载荷和结构的响应随时

2、间的变化而变化。结构的响应：位移、应变、应力和力是时间的函数；除此之外，还有速度、加速度。动力分析用于求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。刘艳芳，交通运输工程系， 6.1 概述n工程意义结构振动是研究机械设备运动和力学问题的重要基础。振动问题引起的机械故障率高达6070，特别是运动机械。机械系统向高参数化发展，振动和噪声问题日益突出。事故典型：n1940年，美国的Tacoma Narrows吊桥在中速风载下，桥身发生严重的扭转振动和垂直振动而导致崩塌。n1972年，日本海南电厂的一台66万KW汽轮发电机组，在试车中因为发生异常振动而全机毁坏，长达51m的主轴断裂飞射，联轴节及汽轮机叶片竟然

3、穿透厂房飞落到百米之外。振动分析和振动设计成为产品设计中的一个关键环节。刘艳芳，交通运输工程系， 6.1 概述n动力问题的类型瞬态分析：用于分析结构在随时间变化的载荷作用下的动力响应模态分析：用于分析结构的固有频率和模态（振型）谐响应分析：用于分析结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应响应谱分析：用于求解结构在冲击载荷下的响应随机振动分析：用于分析结构对随机激励的响应显式动力分析：用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n单自由度振动系统 设物体的质量为m，阻尼系数为c，弹簧刚度为k，受到随时间变化的激振力F(t)作用。 则其动力方程为：)(tFk

4、zzczm 加速度速度位移刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程举例：单质量弹簧阻尼振动器zkzk刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程举例：单质量弹簧阻尼振动器解析解：刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n有限元动力分析基本步骤单元离散（网格划分）单元特性分析n单元位移模式n单元节点载荷n单元动力平衡方程1.整体分析刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n单元位移模式假定位移模式为：单元形函数矩阵N仅是点的坐标的函数，与时间无关；单元节点位移e既是点的坐标的函数，又是时间的函数；单元内任一点的位移f既是点的坐标的函数，又是时间的函数。单元的速度：单元的加速度

5、：显然，单元的速度和加速度：既是点的坐标的函数，又是时间的函数。刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n单元节点载荷载荷：来自于外界的激振力、惯性力和阻尼力n激振力：无论是集中载荷还是分布载荷，都按照静力分析的虚功等效原则移置到单元的节点上。n单位体积的惯性力： 为材料的密度为材料的密度n单位体积的阻尼力： 为材料的阻尼系数为材料的阻尼系数n单元质量矩阵和单元阻尼矩阵都是对称矩阵。单元质量矩阵单元阻尼矩阵刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n单元平衡方程 或者写成：动力分析与静力分析的区别！单元刚度矩阵和静力分析中的完全一样。刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n整

6、体平衡方程整体质量矩阵、整体阻尼矩阵和整体刚度矩阵都是对称矩阵。节点载荷列阵节点位移列阵节点加速度列阵节点速度列阵整体刚度矩阵整体质量矩阵整体阻尼矩阵刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n动力方程的简化与静力分析相比，结构有限元动力分析的计算量非常大。简化途径：n单元质量矩阵（一致质量矩阵）n举例：平面3节点三角形单元杆单元梁单元1.组装后的整体质量矩阵为带状对称矩阵（稀疏矩阵）刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n动力方程的简化与静力分析相比，结构有限元动力分析的计算量非常大。简化途径：n单元质量矩阵（一致质量矩阵）n简化办法：假设单元的质量集中在各节点上。 因此，某一节

7、点的加速度不引起其它节点的惯性力。形成的单元质量矩阵为对角矩阵，组装后的整体质量矩阵也是对角矩阵。1.简化后的质量矩阵称为 集中质量矩阵。刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n动力方程的简化与静力分析相比，结构有限元动力分析的计算量非常大。简化途径：n阻尼矩阵2.当密度和阻尼系数都为常数时，单元阻尼矩阵和单元质量矩阵是成比例关系的。刘艳芳，交通运输工程系， 6.2 结构动力方程n动力方程的简化与静力分析相比，结构有限元动力分析的计算量非常大。简化途径：n阻尼矩阵n简化办法(1) 用单元质量矩阵m和单元刚度矩阵k的线性组合来表示单元阻尼矩阵。和与结构的固有频率和阻尼比有关。刘艳芳，交通

8、运输工程系， 6.2 结构动力方程n动力方程的简化与静力分析相比，结构有限元动力分析的计算量非常大。简化途径：n阻尼矩阵n简化办法(2) 假设单元阻尼矩阵正比于单元刚度矩阵。刘艳芳，交通运输工程系， 6.3 结构的自由振动n弹性体振动的有限元法系统的振动特性：固有频率和固有振型经验证明，阻尼对结构的固有频率和振型影响很小，可以忽略。 因此，在没有激振力的情况下，物体的动力平衡方程（无阻尼振动方程）为： 解析解：各节点的振幅向量（固有振型）固有频率相位角刘艳芳，交通运输工程系， 6.3 结构的自由振动n无阻尼自由振动方程各节点的振幅不可能全为零。 因此，可得结构固有频率的方程：一般解刘艳芳，交通运输工程系， 6.4 结构的动力响应n结构系统的动力响应根据结构无阻尼自由振动的频率和振型，可以求解结构的振动方程，求出结构各节点在强迫振动时的瞬态位移，并进而求得各单元在振动时的瞬态应力。n求解方法振型叠加法：适用于线性系统基本思想：将n阶自由度系统的动力方程，经振型模态矩阵变换，化为互不耦合的n个单自由度问题，进行逐个求解后，再叠加得到动力响应的结果。逐步积分法：适用于非线性问题的求解基本思想：把时间离散化，由初始状态开始逐步求出每一个时间间隔上的状态向量（位移、速度、加速度），最后求出的状态向量就是结构系统动力响应的解。 刘